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1. Parallélépipède rectangle
P.212-215

Mathématiques - Pas à pas


1. Parallélépipède rectangle




A. Représentation

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a. Prendre une brique de lait. Quelle est la forme de chacune de ses faces ?
b. Quelles sont les faces qui ont exactement la même forme et la même taille ?

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► Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un solide possédant 6 faces, dont tous les angles sont des angles droits.

\quad▸ Le pavé droit ABCDEFGH.
\quad▸ On ne voit pas le point E, il est derrière le pavé
\quad▸ La perspective cavalière permet de représenter ce que l’on ne voit pas en réalité.
Remarque ▸ Sur les côtés, les angles droits sont vus de biais. On a l’impression qu’ils ne sont pas droits, mais ils le sont bien !

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► Un parallélépipède rectangle possède :
\quad▸ 6 faces ;
\quad▸ 8 sommets ;
\quad▸ 12 arêtes.
► Un cube est un parallélépipède rectangle dont toutes les arêtes sont de même longueur. Toutes les faces d’un cube sont alors des carrés !
\quad▸ Un dé à 6 faces est un cube.

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Refaire : Représenter un pavé droit en perspective cavalière.

Refaire : Représenter un pavé droit en perspective cavalière.

► Représenter en perspective cavalière un parallélépipède rectangle de dimensions 3 cm, 5 cm et 8 cm. On construit un rectangle dont les côtés mesurent 3 cm et 5 cm.

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► La perspective cavalière permet de représenter des parties d’un pavé qui ne seraient pas visibles autrement. 

► On peut donc représenter :

▸ les sommets ;

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▸ les arêtes de même longueur, qui sont parallèles ;


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▸ les 24 angles droits ;


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▸ les faces parallèles.

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► Deux faces voisines sont perpendiculaires.
► Deux arêtes issues d’un même sommet sont perpendiculaires.

\quadRemarques ▸ En perspective cavalière, les droites réellement parallèles sont effectivement représentées par des droites parallèles.
\quad Les dimensions des arêtes ainsi que les angles choisis vus de face sont respectés. Les autres dimensions et les autres angles droits ne sont pas respectés.

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Exercice 1 : Représenter en perspective cavalière des parallélépipèdes de dimensions.

1
3 cm, 4 cm et 5 cm



2
4 cm, 7 cm et 12 cm



3
5 cm, 5 cm et 5 cm



4
8 cm, 2 cm et 9 cm



B. Construction

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Prendre un parallélépipède rectangle en carton (par exemple une boîte de mouchoirs) et le découper selon les arêtes desssinées en bleu.

► Quelle forme obtient-on, une fois le pavé déplié ?

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► Un patron permet de représenter à plat un solide. Une fois recopié, il suffit de découper et de plier le patron pour obtenir le solide.

Remarque ▸ Il existe plusieurs patrons possibles pour un même solide.

Exemple ▸ Voici deux patrons du même parallélépipède rectangle. Les faces opposées sont coloriées de la même couleur.

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► Dans un patron, les faces et les arêtes sont représentées en vraie grandeur.

► Pour un parallélépipède rectangle, les faces sont des rectangles.

► En perspective cavalière, des segments parallèles sont forcément représentés parallèlement.

► En perspective cavalière, des segments perpendiculaires ne sont pas forcément représentés perpendiculairement.

Refaire : Mesurer les dimensions d’un pavé droit sur son patron.

Quelles sont les dimensions du pavé droit associé à ce patron ?


\quad▸ Sur ce patron, il y a des arêtes de trois longueurs différentes. On les mesure avec la règle.       
\quad▸ Les dimensions du parallèpipède rectangle sont donc de 1,2 cm par 0,8 cm par 0,4 cm.

Refaire : Mesurer les dimensions d’un pavé droit sur son patron.

Refaire : Mesurer les dimensions d’un pavé droit sur son patron.
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Exercice 2 : Reproduire, découper et plier les patrons ci-dessous afin d’obtenir deux parallélépipèdes rectangles.

Graphique lié à l'exercice 1
1
On pourra les agrandir.



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Exercice 3 : Quelles sont les dimensions...

Graphique lié à l'exercice 2
1
... associées au patron a.?



2
... associées au patron b.?



3
... associées au patron c.?



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