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Mathématiques 6e 2016

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Du primaire au collège
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Les nombres décimaux
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Addition, soustraction
Ch. 4
Multiplication, division décimale
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Ch. 6
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Construction de droites
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Symétrie axiale
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Triangles, rectangles et losanges
Ch. 12
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Ch. 13
Volumes
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Ouverturep. 211
1. Parallélépipède rectangle
Coursp. 212-215
2. Volume d’un pavé droit
Coursp. 216-217
3. Prisme et pyramide
Coursp. 218
4. Cylindre, cône, boule
Coursp. 219-220
Volumes
Coursp. 221-222
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Exercicesp. 223-228
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Chapitre 13
Pas à pas

1. Parallélépipède rectangle

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A
Représentation

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Découvrir

a. Prendre une brique de lait. Quelle est la forme de chacune de ses faces ?
b. Quelles sont les faces qui ont exactement la même forme et la même taille ?


Placeholder pour Illustration carton de lait : vache, fond bleuIllustration carton de lait : vache, fond bleu
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Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un solide possédant 6 faces, dont tous les angles sont des angles droits.

  • Le pavé droit ABCDEFGH.
    Placeholder pour Diagramme : deux représentations d'un cube. À gauche, faces colorées. À droite, lignes pointillées indiquent la profondeur.Diagramme : deux représentations d'un cube. À gauche, faces colorées. À droite, lignes pointillées indiquent la profondeur.

  • On ne voit pas le point E, il est derrière le pavé.
  • La perspective cavalière permet de représenter ce que l'on ne voit pas en réalité.

 
Remarque : 
Sur les côtés, les angles droits sont vus de biais. On a l'impression qu'ils ne sont pas droits, mais ils le sont bien !
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  • Un parallélépipède rectangle possède :
    • 6 faces ;
    • 8 sommets ;
    • 12 arêtes.
    Placeholder pour Diagramme: parallélépipède rectangle, ses faces, arêtes et sommets sont indiqués.Diagramme: parallélépipède rectangle, ses faces, arêtes et sommets sont indiqués.

  • Un cube est un parallélépipède rectangle dont toutes les arêtes sont de même longueur. Toutes les faces d'un cube sont alors des carrés !
    • Un dé à 6 faces est un cube.
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Refaire
Représenter un pavé droit en perspective cavalière

Représenter en perspective cavalière un parallélépipède rectangle de dimensions 3 cm, 5 cm et 8 cm.
On construit un rectangle dont les côtés mesurent 3 cm et 5 cm.

Placeholder pour Schéma: étapes de dessin d'un pavé droit en perspective. Vue de dessus, perspective cavalière, arêtes visibles et cachées.Schéma: étapes de dessin d'un pavé droit en perspective. Vue de dessus, perspective cavalière, arêtes visibles et cachées.
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Exercice 1
Représenter en perspective cavalière des parallélépipèdes de dimensions

1. 3 cm, 4 cm et 5 cm
2. 4 cm, 7 cm et 12 cm
3. 5 cm, 5 cm et 5 cm
4. 8 cm, 2 cm et 9 cm
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  • La perspective cavalière permet de représenter des parties d'un pavé qui ne seraient pas visibles autrement.
  • On peut donc représenter :
    • les sommets
    • les arrêtes de même longueur, qui sont parallèles;

Placeholder pour Schéma : transformations géométriques d'un parallélépipède, illustrées par trois figures avec lignes rouges et pointillés.Schéma : transformations géométriques d'un parallélépipède, illustrées par trois figures avec lignes rouges et pointillés.


les 24 angles droits ;

Placeholder pour Illustration : pavé géométrique multicolore, découpé en petits cubes, ligne pointillée diagonale.Illustration : pavé géométrique multicolore, d�écoupé en petits cubes, ligne pointillée diagonale.


les faces parallèles.

Placeholder pour Illustration : trois parallélépipèdes coupés en deux par une diagonale.Illustration : trois parallélépipèdes coupés en deux par une diagonale.
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  • Deux faces voisines sont perpendiculaires.
  • Deux arêtes issues d'un même sommet sont perpendiculaires.
Placeholder pour Diagramme: deux parallélépipèdes rectangles, un orange, un blanc, lignes perpendiculaires illustrant des angles.Diagramme: deux parallélépipèdes rectangles, un orange, un blanc, lignes perpendiculaires illustrant des angles.
 
Remarque : 
  • En perspective cavalière, les droites réellement parallèles sont effectivement représentées par des droites parallèles.
  • Les dimensions des arêtes ainsi que les angles choisis vus de face sont respectés. Les autres dimensions et les autres angles droits ne sont pas respectés.
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B
Construction

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Découvrir

Prendre un parallélépipède rectangle en carton (par exemple une boîte de mouchoirs) et le découper selon les arêtes desssinées en bleu.

Quelle forme obtient-on, une fois le pavé déplié ?

Placeholder pour Dessin géométrique : parallélépipède rectangle en perspective, lignes pleines et pointillées indiquant la profondeur.Dessin géométrique : parallélépipède rectangle en perspective, lignes pleines et pointillées indiquant la profondeur.
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Un patron permet de représenter à plat un solide. Une fois recopié, il suffit de découper et de plier le patron pour obtenir le solide.

Placeholder pour Illustration : déconstruction géométrique d'un cube en trois étapes, lignes colorées.Illustration : déconstruction géométrique d'un cube en trois étapes, lignes colorées.

Remarque : 
Il existe plusieurs patrons possibles pour un même solide.

Exemple : Voici deux patrons du même parallélépipède rectangle. Les faces opposées sont coloriées de la même couleur.

Placeholder pour Diagramme géométrique : deux parallélépipèdes rectangles, violet, orange et vert, décomposés puis recomposés.Diagramme géométrique : deux parallélépipèdes rectangles, violet, orange et vert, décomposés puis recomposés.
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Exercice 2
Reproduire, découper et plier les patrons ci-dessous afin d'obtenir deux parallélépipèdes rectangles

Placeholder pour Diagramme : formes géométriques colorées (violet, orange, vert) assemblées de deux manières différentes.Diagramme : formes géométriques colorées (violet, orange, vert) assemblées de deux manières différentes.
On pourra les agrandir.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin
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  • Dans un patron, les faces et les arêtes sont représentées en vraie grandeur.
  • Pour un parallélépipède rectangle, les faces sont des rectangles.
  • En perspective cavalière, des segments parallèles sont forcément représentés parallèlement.
  • En perspective cavalière, des segments perpendiculaires ne sont pas forcément représentés perpendiculairement.
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Mesurer les dimensions d'un pavé droit sur son patron

Quelles sont les dimensions du pavé droit associé à ce patron ?
  • Sur ce patron, il y a des arêtes de trois longueurs différentes. On les mesure avec la règle.    
  • Les dimensions du parallèpipède rectangle sont donc de 1,2 cm par 0,8 cm par 0,4 cm.
Placeholder pour Schéma : patron d'un pavé droit (0,7cm x 0,3cm x 1cm)Schéma : patron d'un pavé droit (0,7cm x 0,3cm x 1cm)
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Exercice 3
Quelles sont les dimensions...

Placeholder pour Diagramme: 3 modèles de construction différents, blocs carrés.Diagramme: 3 modèles de construction différents, blocs carrés.

1. ... associées au patron a.?
2. ... associées au patron b.?
3. ... associées au patron c.?
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