2. Propriétés des quadrilatères usuels

Décalquer les figures suivantes et les recopier sur le cahier.

a. Coder chaque figure en utilisant les instruments de mesure (règle graduée et équerre).
b. Repérer à l’œil nu les axes de symétrie et les tracer pour chaque figure.
c. Regrouper ces figures dans plusieurs catégories, en fonction des observations précédentes. Des figures pourront éventuellement appartenir à plusieurs catégories.
d. Expliquer le choix des catégories. Les élèves de la classe ont-ils tous choisi les mêmes catégories ?

Retenir ► Définition : Un quadrilatère est une figure ayant quatre côtés.

a. Construire un triangle ABC, isocèle en A, avec AB = 5 cm et BC = 3 cm.
b. Construire le symétrique de A par rapport à (BC).
c. Repérer à l’œil nu les axes de symétrie. Lesquels sont-ils ?
d. Vérifier par pliage que les droites repérées sont bien des axes de symétrie.

► Définition : Un losange ABCD est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux : AB = BC = CD = DA.

Remarques ▸ On peut voir plusieurs triangles isocèles dans un losange :
▸ Ces triangles ont un axe de symétrie en commun : la droite (AC). > Grâce aux propriétés de la symétrie axiale, on sait que (AC) est la médiatrice de [BD]

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► Un losange ABCD possède deux diagonales : ce sont les segments [AC] et [BD].
► Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

Remarque ▸ Dans un losange, après avoir tracé les diagonales, on peut voir quatre triangles rectangles. Ils ont les mêmes dimensions !

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► Un losange ABCD possède deux axes de symétrie : les droites (AC) et (BD).

Remarque ▸ Un losange peut parfois posséder plus de deux axes de symétrie, c’est alors un carré avec quatre axes de symétrie, mais jamais moins !

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Montrer que les angles $\widehat{\text{BAD}}$ et $\widehat{\text{DCB}}$ sont égaux.
$\quad$▸ On sait que (BD) est un axe de symétrie : C est le symétrique de A par rapport à (BD).
$\quad$▸ B et D sont situés sur l’axe de symétrie : B est le symétrique de B, D est le symétrique de D.
$\quad$▸ Donc le symétrique de l’angle $\widehat{\text{BAD}}$ est l’angle $\widehat{\text{DCB}}$.
$\quad$▸ Or la symétrie conserve les angles. 
► Donc les angles $\widehat{\text{BAD}}$ et $\widehat{\text{DCB}}$ sont égaux.

Refaire : Étudier les angles d'un losange.

► Dans le losange ABCD, on a $\widehat{\text{BAD}} = \widehat{\text{DCB}}$ et $\widehat{\text{CBA}} = \widehat{\text{ADC}}$.

► Dans un losange, les côtés opposés sont parallèles. 
▸ (AD) // (BC) et (AB) // (DC).

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Exercice 5 : Angles.

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Montrer que $\widehat{\text{ADC}} = \widehat{\text{CBA}}$.

a. Construire un triangle ABC, rectangle en A, tel que AB = 4 cm et AC = 3 cm.
b. Construire ensuite le triangle BCD, rectangle en D, tel que BD = 3 cm et CD = 4 cm.
c. Quelle figure obtient-on ?
d. Repérer à l’œil nu les axes de symétrie, combien sont-ils ?
e. Vérifier par pliage ou à l’aide du papier calque que les droites repérées sont bien des axes de symétrie.
f. Mesurer les angles $\widehat{\text{ABD}}$ et $\widehat{\text{DCA}}$.

► Définition : Un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.

Exemple ▸ Le rectangle ABCD.

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Montrer que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.

▸ La droite (AD) est perpendiculaire à la droite (DC) et la droite (BC) est perpendiculaire à la droite (DC). ▸ Or deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles.
► Ainsi (AD) est parallèle à (BC) : (AD) // (BC).

► Les côtés opposés d’un rectangle sont parallèles.  
► Un rectangle possède deux axes de symétrie : ce sont les médiatrices de ses côtés. 

Remarque ▸ Un rectangle peut parfois posséder plus d’axes de symétrie, c’est alors un carré avec quatre axes de symétrie, mais jamais moins.

Exemple ▸ Les axes de symétrie du rectangle ABCD sont les droites rouge et bleue.

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Montrer que AD = BC.
▸ Dans la symétrie d’axe bleu, B est le symétrique de A et C est le symétrique de D. ▸ Donc le symétrique de [AD] est [BC].

► Or la symétrie conserve les distances : AD = BC.

Refaire : Étudier les longueurs des côtés d’un rectangle.  

► Dans un rectangle, les côtés opposés sont de même longueur.

► Dans la symétrie d’axe bleu, B est le symétrique de A et D est le symétrique de C.
$\quad$▸ Or la symétrie conserve les distances.
$\quad$▸ Ainsi AC = BD.

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▶ Dans un rectangle ABCD, les segments [BD] et [AC] sont appelés les diagonales. Elles sont de même longueur et se coupent en leur milieu.

Remarque ▸ En général (sauf dans le cas d’un carré), les diagonales d’un rectangle ne sont pas des axes de symétrie.

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▶ Les diagonales et les axes de symétrie d’un rectangle sont tous sécants en un même point.

Exemple ▸ O est le point d’intersection des diagonales [AC] et [BD] et des axes de symétrie (les droites rouge et bleue).

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Montrer que OD = OC.

$\quad$▸ Dans la symétrie par rapport à la droite orange, O est le symétrique de O et C est le symétrique de D.
$\quad$▸ Donc le symétrique de [OD] est [OC].
$\quad$▸ Or la symétrie conserve les distances.
► Ainsi OD = OC.

Refaire : Étudier les diagonales d’un rectangle.

Exercice 6 : Parallèles.

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Montrer que (CD) // (AB).

Exercice 7 : Dans la figure ci-contre.

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Montrer que AB = DC.

Exercice 8 : Dans la figure ci-contre.

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Montrer que OD = OA et que OC = OB.

► Un carré est à la fois un losange et un rectangle. Tout carré possède donc toutes les propriétés des losanges et des rectangles. Un carré est donc un quadrilatère qui possède :

$\quad$▸ quatre angles droits ;
$\quad$▸ quatre côtés de même longueur.
► Un carré possède toujours quatre axes de symétrie : 

$\quad$▸ les deux médiatrices de ses côtés ;
$\quad$▸ ses deux diagonales.
► Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires, de même longueur et se coupent en leur milieu. 

► Les côtés opposés d’un carré sont parallèles.

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► Tracer sur une feuille deux droites sécantes $d$ et $d'$. Construire une droite parallèle à $d\text{,}$ et une autre droite parallèle à $d'$. Quelle figure obtient-on ?

► Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

► Les droites (AC) et (BC) sont parallèles.

► ABCD est donc bien un parallélogramme.

Refaire : Sachant que (AB) // (CD), le quadrilatère suivant est-il un parallélogramme ?

Exercice 9 : Parallélogrammes.

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Sur les figures ci-contre, les droites forment-elles des parallélogrammes ?