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2. Propriétés des quadrilatères usuels
P.179-184

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Mathématiques - Pas à pas


2. Propriétés des quadrilatères usuels




Découvrir

Décalquer les figures suivantes et les recopier sur le cahier.

a. Coder chaque figure en utilisant les instruments de mesure (règle graduée et équerre).
b. Repérer à l’œil nu les axes de symétrie et les tracer pour chaque figure.
c. Regrouper ces figures dans plusieurs catégories, en fonction des observations précédentes. Des figures pourront éventuellement appartenir à plusieurs catégories.
d. Expliquer le choix des catégories. Les élèves de la classe ont-ils tous choisi les mêmes catégories ?


Retenir ► Définition : Un quadrilatère est une figure ayant quatre côtés.

A. Losange

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a. Construire un triangle ABC, isocèle en A, avec AB = 5 cm et BC = 3 cm.
b. Construire le symétrique de A par rapport à (BC).
c. Repérer à l’œil nu les axes de symétrie. Lesquels sont-ils ?
d. Vérifier par pliage que les droites repérées sont bien des axes de symétrie.

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► Définition : Un losange ABCD est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux : AB = BC = CD = DA.

Remarques ▸ On peut voir plusieurs triangles isocèles dans un losange :
Ces triangles ont un axe de symétrie en commun : la droite (AC). > Grâce aux propriétés de la symétrie axiale, on sait que (AC) est la médiatrice de [BD]

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► Un losange ABCD possède deux diagonales : ce sont les segments [AC] et [BD].
► Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

Remarque ▸
Dans un losange, après avoir tracé les diagonales, on peut voir quatre triangles rectangles. Ils ont les mêmes dimensions !

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► Un losange ABCD possède deux axes de symétrie : les droites (AC) et (BD).

Remarque ▸ Un losange peut parfois posséder plus de deux axes de symétrie, c’est alors un carré avec quatre axes de symétrie, mais jamais moins !

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Refaire : Étudier les angles d’un losange. 

Montrer que les angles BAD^\widehat{\text{BAD}} et DCB^\widehat{\text{DCB}} sont égaux.
\quad▸ On sait que (BD) est un axe de symétrie : C est le symétrique de A par rapport à (BD).
\quad▸ B et D sont situés sur l’axe de symétrie : B est le symétrique de B, D est le symétrique de D.
\quad▸ Donc le symétrique de l’angle BAD^\widehat{\text{BAD}} est l’angle DCB^\widehat{\text{DCB}}.
\quad▸ Or la symétrie conserve les angles. 
► Donc les angles BAD^\widehat{\text{BAD}} et DCB^\widehat{\text{DCB}} sont égaux.

Refaire : Étudier les angles d'un losange.

Refaire : Étudier les angles d'un losange.

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► Dans le losange ABCD, on a BAD^=DCB^\widehat{\text{BAD}} = \widehat{\text{DCB}} et CBA^=ADC^\widehat{\text{CBA}} = \widehat{\text{ADC}}.

► Dans un losange, les côtés opposés sont parallèles. 
▸ (AD) // (BC) et (AB) // (DC).

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Exercice 5 : Angles.

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1
Montrer que ADC^=CBA^\widehat{\text{ADC}} = \widehat{\text{CBA}}.



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B. Rectangle

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a. Construire un triangle ABC, rectangle en A, tel que AB = 4 cm et AC = 3 cm.
b. Construire ensuite le triangle BCD, rectangle en D, tel que BD = 3 cm et CD = 4 cm.
c. Quelle figure obtient-on ?
d. Repérer à l’œil nu les axes de symétrie, combien sont-ils ?
e. Vérifier par pliage ou à l’aide du papier calque que les droites repérées sont bien des axes de symétrie.
f. Mesurer les angles ABD^\widehat{\text{ABD}} et DCA^\widehat{\text{DCA}}.

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► Définition : Un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.

Exemple ▸ Le rectangle ABCD.

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Refaire : Établir le parallélisme des côtés d’un rectangle.

Montrer que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.

▸ La droite (AD) est perpendiculaire à la droite (DC) et la droite (BC) est perpendiculaire à la droite (DC). ▸ Or deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles.
► Ainsi (AD) est parallèle à (BC) : (AD) // (BC).

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► Les côtés opposés d’un rectangle sont parallèles.  
► Un rectangle possède deux axes de symétrie : ce sont les médiatrices de ses côtés. 

Remarque ▸ Un rectangle peut parfois posséder plus d’axes de symétrie, c’est alors un carré avec quatre axes de symétrie, mais jamais moins.

Exemple ▸ Les axes de symétrie du rectangle ABCD sont les droites rouge et bleue.

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Refaire : Étudier les longueurs des côtés d’un rectangle.  

Montrer que AD = BC.
▸ Dans la symétrie d’axe bleu, B est le symétrique de A et C est le symétrique de D. ▸ Donc le symétrique de [AD] est [BC].

► Or la symétrie conserve les distances : AD = BC.

Refaire : Étudier les longueurs des côtés d’un rectangle.  

Refaire : Étudier les longueurs des côtés d’un rectangle.  

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► Dans un rectangle, les côtés opposés sont de même longueur.

► Dans la symétrie d’axe bleu, B est le symétrique de A et D est le symétrique de C.
\quad▸ Or la symétrie conserve les distances.
\quad▸ Ainsi AC = BD.

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▶ Dans un rectangle ABCD, les segments [BD] et [AC] sont appelés les diagonales. Elles sont de même longueur et se coupent en leur milieu.

Remarque ▸ En général (sauf dans le cas d’un carré), les diagonales d’un rectangle ne sont pas des axes de symétrie.

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▶ Les diagonales et les axes de symétrie d’un rectangle sont tous sécants en un même point.

Exemple ▸ O est le point d’intersection des diagonales [AC] et [BD] et des axes de symétrie (les droites rouge et bleue).

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Refaire : Étudier les diagonales d’un rectangle.

Montrer que OD = OC.

\quad▸ Dans la symétrie par rapport à la droite orange, O est le symétrique de O et C est le symétrique de D.
\quad▸ Donc le symétrique de [OD] est [OC].
\quad▸ Or la symétrie conserve les distances.
► Ainsi OD = OC.

Refaire : Étudier les diagonales d’un rectangle.

Refaire : Étudier les diagonales d’un rectangle.

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Exercice 6 : Parallèles.

Graphique lié à l'exercice undefined
1
Montrer que (CD) // (AB).



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Exercice 7 : Dans la figure ci-contre.

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1
Montrer que AB = DC.



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Exercice 8 : Dans la figure ci-contre.

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1
Montrer que OD = OA et que OC = OB.



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C. Carré

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► Un carré est à la fois un losange et un rectangle. Tout carré possède donc toutes les propriétés des losanges et des rectangles. Un carré est donc un quadrilatère qui possède :

\quad▸ quatre angles droits ;
\quad▸ quatre côtés de même longueur.
► Un carré possède toujours quatre axes de symétrie : 

\quad▸ les deux médiatrices de ses côtés ;
\quad▸ ses deux diagonales.
► Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires, de même longueur et se coupent en leur milieu. 

► Les côtés opposés d’un carré sont parallèles.

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D. Parallélogramme

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► Tracer sur une feuille deux droites sécantes dd et dd'. Construire une droite parallèle à d,d\text{,} et une autre droite parallèle à dd'. Quelle figure obtient-on ?

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► Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Refaire : Sachant que (AB) // (CD), le quadrilatère suivant est-il un parallélogramme ?

► Les droites (AC) et (BC) sont parallèles.

► ABCD est donc bien un parallélogramme.

Refaire : Sachant que (AB) // (CD), le quadrilatère suivant est-il un parallélogramme ?

Refaire : Sachant que (AB) // (CD), le quadrilatère suivant est-il un parallélogramme ?
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Exercice 9 : Parallélogrammes.

1
Sur les figures ci-contre, les droites forment-elles des parallélogrammes ?



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