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1. Propriétés des triangles usuels
P.176-178

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Mathématiques - Pas à pas


1. Propriétés des triangles usuels




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► Un triangle est un polygone formé de trois points (les sommets) et de trois côtés. On le désigne souvent par ses sommets.

Remarque ▸ Un triangle a trois angles, BAC^\widehat{\text{BAC}}, CBA^\widehat{\text{CBA}} et ACB^\widehat{\text{ACB}}.

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a. Décalquer les figures suivantes et les recopier sur le cahier. 
b. Coder chaque figure en utilisant les instruments de mesure (règle graduée et équerre).
c. Repérer à l’œil nu les axes de symétrie et les tracer pour chaque figure.
d. Regrouper ces figures dans plusieurs catégories, en fonction des observations précédentes. Des figures pourront éventuellement appartenir à plusieurs catégories.
e. Expliquer le choix des catégories. Les élèves de la classe ont-ils tous choisi les mêmes catégories ?

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A. Triangle rectangle

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► Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle droit.  
\quad▸ On dit que le triangle ABC est rectangle en A. Cela permet de savoir où est l’angle droit !  
\quadRemarque ▸ Il ne peut y avoir qu’un seul angle droit dans un triangle.
\quadRemarque ▸ Ce n’est pas parce qu’un triangle est rectangle qu’il a un (ou des) axes de symétrie.

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Refaire : Repérer des triangles rectangles.

Nommer tous les triangles rectangles que l’on peut construire avec les sommets A, B, C, D, E et F. 

► On repère les angles droits : ils sont situés sur les points D et B.
► Pour le sommet D, on peut construire le triangle BCD, rectangle en D.
► Pour le sommet B, on peut construire :
\quad ▸ le triangle BCA, rectangle en B ;
\quad▸ le triangle BEA, rectangle en B ;
\quad▸ le triangle BCF, rectangle en B ;
\quad▸ le triangle BEF, rectangle en B.

Refaire : Repérer des triangles rectangles.

Refaire : Repérer des triangles rectangles.

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Exercice 1 : Reproduire chaque figure.

Graphique lié à l'exercice 1
1
Nommer les triangles rectangles qui apparaissent dans la figure a.



2
Nommer les triangles rectangles qui apparaissent dans la figure b.



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B. Triangle isocèle

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a. En utilisant un logiciel de géométrie dynamique, construire un triangle ABC tel que AB = AC.
b. Tracer la médiatrice de [BC]. Que remarque-t-on ?
c. Afficher les mesures des angles ABC^\widehat{\text{ABC}} et ACB^\widehat{\text{ACB}}. Que remarque-t-on ?
d. Les propriétés remarquées sont-elles conservées quand on déforme le triangle ?

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Définition : Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés de longueurs égales.
▸ On dit que le triangle ABC est isocèle en A. Cela veut dire que AB = AC !
Propriété : Un triangle ABC isocèle en A possède un axe de symétrie : c’est la médiatrice de [BC].

Remarque ▸ Un triangle isocèle peut parfois posséder plus d’un axe de symétrie, dans ce cas, c’est un triangle équilatéral, mais jamais moins.

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► Dans la symétrie par rapport à la droite rouge, A est le symétrique de A et C est le symétrique de B.
\quad▸ Donc l’angle BCA^\widehat{\text{BCA}} est le symétrique de l’angle ABC^\widehat{\text{ABC}}.
\quad▸ On sait que la symétrie conserve les angles.
\quad▸ On a donc par symétrie : ABC^=BCA^\widehat{\text{ABC}} = \widehat{\text{BCA}}.
► Un triangle isocèle possède deux côtés égaux et deux angles égaux.
► Si un triangle possède deux angles égaux, alors il est isocèle !

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Refaire : Repérer des triangles isocèles.

Repérer les triangles isocèles dans cette figure et prouver que CDE^=DEC^\widehat{\text{CDE}} = \widehat{\text{DEC}}.
\quad▸ On repère les segments de même longueur : AB = AC et CD = CE.
\quad▸ Donc ABC est isocèle en A et CDE est isocèle en C.
\quad▸ Dans le triangle CDE (isocèle en C), les deux angles qui n’ont pas C comme sommet sont égaux.

► Donc CDE^=DEC^\widehat{\text{CDE}} = \widehat{\text{DEC}}.

Refaire : Repérer des triangles isocèles.

Refaire : Repérer des triangles isocèles.
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Exercice 2 : Repérer les triangles isocèles dans cette figure.

Graphique lié à l'exercice 2
1
Montrer que ABD^=BDA^\widehat{\text{ABD}} = \widehat{\text{BDA}}.



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Exercice 3 : Repérer les triangles isocèles dans cette figure.

Graphique lié à l'exercice 3
1
Montrer que EHI^=HIE^\widehat{\text{EHI}} = \widehat{\text{HIE}}.



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C. Triangle équilatéral

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► Un triangle équilatéral est un triangle qui possède trois côtés de même longueur : il est isocèle en chacun de ses sommets.

Propriété : Un triangle équilatéral possède toujours trois axes de symétrie : ce sont les médiatrices de chaque côté.
\quad▸ Dans ce triangle équilatéral ABC, les trois droites rouges sont les axes de symétrie du triangle.

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Refaire : Étudier les angles d’un triangle équilatéral.

Montrer que CAB^=BCA^\widehat{\text{CAB}} = \widehat{\text{BCA}}.
\quad▸ Le triangle ABC est isocèle en B.
\quad▸ Dans un triangle isocèle en B, les deux angles dont le sommet n’est pas B sont égaux.
► Ainsi CAB^ = BCA^\widehat{\text{CAB}} = \widehat{\text{BCA}}.

Refaire : Étudier les angles d’un triangle équilatéral.

Refaire : Étudier les angles d’un triangle équilatéral.

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► Propriété : Les trois angles d’un triangle équilatéral ABC sont égaux. 

CAB^ =ABC^=ACB^\widehat{\text{CAB}} = \widehat{\text{ABC}} = \widehat{\text{ACB}}

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Exercice 4 : Angles.

Graphique lié à l'exercice 4
1
Montrer que ABC^=BCA^\widehat{\text{ABC}} = \widehat{\text{BCA}}.



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