De la fraction « partage » à la fraction « quotient » : le guide-âne. 

a. Décalquer le guide-âne. On pourra le prolonger si nécessaire.
b. Tracer un demi-axe et y repérer une unité.
c. Diviser cette unité en 7 grâce au guide-âne. Quelle fraction obtient-on ?
d. Reporter 8 fois cette portion. Quelle fraction obtient-on ?
e. Reporter 8 fois l’unité pour représenter 9.
f. Diviser le segment de longueur 9 unités en 7 grâce au guide-âne. Quelle fraction obtient-on ?

► Effectuer $9÷7$ avec une calculatrice. Qu’obtient-on ?

► Une fraction peut être vue de trois manières différentes.
▸ Comme une proportion.
> La fraction $\frac{9}{7}$ : on a divisé une quantité en 7 portions. Chaque portion représente $\frac{1}{7}$. 9 portions représentent $9\times \frac{1}{7}=\frac{9}{7}$.
▸ Comme un nombre.
> La fraction $\frac{9}{7}$ est un nombre dont une valeur approchée au centième est 1,29 : $\frac{9}{7}\approx 1\text{,}29$.
▸ Comme un quotient.
> La fraction $\frac{9}{7}$ est le quotient de 9 par 7.
► Écrire une fraction, c’est juste écrire différemment un quotient.

Rappels ▸ Le quotient de $a$ par $b$ $(a÷b)$ est le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$.
▸ Ainsi $\frac{a}{b}=a÷b$ et $b\times \frac{a}{b}=a$.

Attention : Le dénominateur ne peut jamais être nul.

Remarque ▸ Tout nombre décimal peut s’écrire sous forme de fraction, c’est l’écriture fractionnaire.

Exemple ▸ $2\text{,}57=\frac{257}{100}$

Remarque ▸ Toute fraction n’est pas un nombre décimal. Par exemple $\frac{1}{7}$ ne peut s’écrire autrement que $\frac{1}{7}$. Si on en veut une valeur exacte, on est obligé d’en garder une écriture fractionnaire. Par contre, si on en veut une valeur approchée, on peut écrire $\frac{1}{7}\approx 0\text{,}143$.
Attention : n’est pas une égalité !

Remarque ▸ Si $b\ne 0$ on a toujours $\frac{b}{b}=1$ car $b\times 1=b$.

Donner une écriture décimale de la fraction suivante : $\frac{7}{14}$.

▸ On cherche un nombre $x$ tel que $14\times x=7$. ▸ On effectue la division 7 $÷$ 14 qui donne 0,5. ▸ $\frac{7}{14}=0\text{,}5$. On a bien $14\times 0,5=7$.

Exercice 1 : Vrai ou faux ?

1

Dans la fraction $\frac{7}{3}$, le nombre 7 est le numérateur.

Faux

Vrai

2

$0\times \frac{27}{0}=27$

Ce n'est pas possible.

Faux

Vrai

3

Dans la fraction $\frac{7}{3}$, le nombre 3 est le dénominateur.

Vrai

Faux

Exercice 2 : Donner une écriture décimale des fractions suivantes. Vérifier le résultat comme précédemment.

1

$\frac{2}{4}$

2

$\frac{8}{10}$

3

$\frac{12}{5}$

4

$\frac{17}{4}$

5

$\frac{36}{32}$

6

$\frac{135}{16}$

7

$\frac{4712}{32}$

8

$\frac{94}{32}$

9

$\frac{15444}{33}$

► Il existe plusieurs méthodes pour placer une fraction sur un axe. Par exemple, pour placer $\frac{4}{7}$ : ▸ Soit diviser 4 unités en 7. ▸ Soit diviser 1 unité en 7 et la reporter 4 fois au compas.

► Pour diviser une unité, on peut utiliser au choix : ▸ Le quadrillage ▸ Un « guide-âne » ▸ Une règle graduée
Remarque ▸ Il est ainsi possible de déterminer l'égalité de deux fractions.
Exemple ▸ $\frac{1}{2}$ et $\frac{5}{10}$ se placent au même endroit sur la droite, ils sont donc égaux.

Partager en 7 l’unité représentée sur l’axe.

▸ On mesure l’unité : 4,2 cm. ▸ On divise cette mesure par 7 : 4,2 cm $÷$ 7 = 0,6 cm. ▸ On place la première graduation à 0,6 cm. ▸ On reporte la graduation.

Exercice 3 : Recopier les axes gradués suivants.

1

Placer les fractions données : $\frac{1}{9}$ ; $\frac{4}{9}$ ; $\frac{6}{9}$

2

Placer les fractions données : $\frac{14}{57}$ ; $\frac{16}{57}$ ; $\frac{19}{57}$

3

Placer les fractions données : $\frac{1}{3}$ ; $\frac{4}{3}$ ; $\frac{5}{3}$

Exercice 4 : Écrire les nombres A et B sous forme de fraction.

1

Écrire les nombres A et B sous forme de fraction pour l'axe 1.

Exercice 5 : Recopier l'axe gradué suivant et y placer les fractions données.

1

$\frac{3}{4};\frac{5}{4};\frac{7}{4}$

2

$\frac{5}{11};\frac{8}{11};\frac{19}{11}$