1. Présentation des fractions

De la fraction « partage » à la fraction « quotient » : le guide-âne. 

a. Décalquer le guide-âne. On pourra le prolonger si nécessaire.
b. Tracer un demi-axe et y repérer une unité.
c. Diviser cette unité en 7 grâce au guide-âne. Quelle fraction obtient-on ?
d. Reporter 8 fois cette portion. Quelle fraction obtient-on ?
e. Reporter 8 fois l’unité pour représenter 9.
f. Diviser le segment de longueur 9 unités en 7 grâce au guide-âne. Quelle fraction obtient-on ?

► Effectuer $9 \div 7$ avec une calculatrice. Qu’obtient-on ?

Découvrir : le guide-âne

► Une fraction peut être vue de trois manières différentes.
$\quad$▸ Comme une proportion.
$\quad$> La fraction $\dfrac{9}{7}$ : on a divisé une quantité en 7 portions. Chaque portion représente $\dfrac{1}{7}$. 9 portions représentent $9 \times \dfrac{1}{7} = \dfrac{9}{7}$.
$\quad$▸ Comme un nombre.
$\quad$> La fraction $\dfrac{9}{7}$ est un nombre dont une valeur approchée au centième est 1,29 : $\dfrac{9}{7} \approx 1 \text{,} 29$.
$\quad$▸ Comme un quotient.
$\quad$> La fraction $\dfrac{9}{7}$ est le quotient de 9 par 7.
► Écrire une fraction, c’est juste écrire différemment un quotient.

Rappels ▸ Le quotient de $a$ par $b$ $(a \div b)$ est le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$.
▸ Ainsi $\dfrac{a}{b} = a \div b$ et $b \times \dfrac{a}{b} = a$.

Retenir : Vocabulaire

Attention : Le dénominateur ne peut jamais être nul.

Remarque ▸ Tout nombre décimal peut s’écrire sous forme de fraction, c’est l’écriture fractionnaire.

Exemple ▸ $2\text{,}57 = \dfrac{257}{100}$

Remarque ▸ Toute fraction n’est pas un nombre décimal. Par exemple $\dfrac{1}{7}$ ne peut s’écrire autrement que $\dfrac{1}{7}$. Si on en veut une valeur exacte, on est obligé d’en garder une écriture fractionnaire. Par contre, si on en veut une valeur approchée, on peut écrire $\dfrac{1}{7} \approx 0 \text{,} 143$.
Attention : n’est pas une égalité !

Remarque ▸ Si $b \neq 0$ on a toujours $\dfrac{b}{b} = 1$ car $b \times 1 = b$.

Donner une écriture décimale de la fraction suivante : $\dfrac{7}{14}$.

▸ On cherche un nombre $x$ tel que $14 \times x = 7$. ▸ On effectue la division 7 $\div$ 14 qui donne 0,5. ▸ $\dfrac{7}{14} = 0\text{,}5$. On a bien $14 \times 0,5 = 7$.

Exercice 1 : Vrai ou faux ?

1

Dans la fraction $\dfrac{7}{3}$, le nombre 7 est le numérateur.

Faux

Vrai

2

$0 \times \dfrac{27}{0} = 27$

Ce n'est pas possible.

Faux

Vrai

3

Dans la fraction $\dfrac{7}{3}$, le nombre 3 est le dénominateur.

Vrai

Faux

Exercice 2 : Donner une écriture décimale des fractions suivantes. Vérifier le résultat comme précédemment.

1

$\dfrac{2}{4}$

2

$\dfrac{8}{10}$

3

$\dfrac{12}{5}$

4

$\dfrac{17}{4}$

5

$\dfrac{36}{32}$

6

$\dfrac{135}{16}$

7

$\dfrac{4\:712}{32}$

8

$\dfrac{94}{32}$

9

$\dfrac{15\:444}{33}$

► Il existe plusieurs méthodes pour placer une fraction sur un axe. Par exemple, pour placer $\dfrac{4}{7}$ : ▸ Soit diviser 4 unités en 7. ▸ Soit diviser 1 unité en 7 et la reporter 4 fois au compas.

► Pour diviser une unité, on peut utiliser au choix : ▸ Le quadrillage ▸ Un « guide-âne » ▸ Une règle graduée
Remarque ▸ Il est ainsi possible de déterminer l'égalité de deux fractions.
Exemple ▸ $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{5}{10}$ se placent au même endroit sur la droite, ils sont donc égaux.

Refaire : Partager une unité avec une règle graduée.

Partager en 7 l’unité représentée sur l’axe.

▸ On mesure l’unité : 4,2 cm. ▸ On divise cette mesure par 7 : 4,2 cm $\div$ 7 = 0,6 cm. ▸ On place la première graduation à 0,6 cm. ▸ On reporte la graduation.

Refaire : partager une unité avec une règle graduée.

Exercice 3 : Recopier les axes gradués suivants.

1

Placer les fractions données : $\dfrac{1}{9}$ ; $\dfrac{4}{9}$ ; $\dfrac{6}{9}$

2

Placer les fractions données : $\dfrac{14}{57}$ ; $\dfrac{16}{57}$ ; $\dfrac{19}{57}$

3

Placer les fractions données : $\dfrac{1}{3}$ ; $\dfrac{4}{3}$ ; $\dfrac{5}{3}$

Exercice 4 : Écrire les nombres A et B sous forme de fraction.

1

Écrire les nombres A et B sous forme de fraction pour l'axe 1.

Exercice 5 : Recopier l'axe gradué suivant et y placer les fractions données.

1

$\dfrac{3}{4} ; \dfrac{5}{4} ; \dfrac{7}{4}$

2

$\dfrac{5}{11} ; \dfrac{8}{11} ; \dfrac{19}{11}$