Pierre veut acheter une nouvelle carte graphique pour son ordinateur et surveille les prix d'une certaine carte dans sa boutique préférée. La première semaine, la carte coûte 134,50 €.

a. La semaine suivante, le prix de la carte a doublé. Quel est son nouveau prix ?
b. La troisième semaine, le prix de la carte a été multiplié par 0,7. Quel est son nouveau prix ?
c. A-t-il augmenté ou baissé par rapport à la deuxième semaine ?
d. Quelle opération effectuer pour passer directement du prix de la première semaine à celui pratiqué la troisième semaine ?

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La multiplication de deux facteurs s'appelle le produit.
Propriété de commutativité : le produit ne dépend pas de l'ordre dans lequel on a multiplié les facteurs :
- 4 × 5 = 5 × 4
Propriété d'associativité : le produit ne dépend pas de la façon dont on a regroupé les facteurs.
- 2 × 3 × 4 = 6 × 4 = 24
- 2 × 3 × 4 = 2 × 12 = 24

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Remarques :

Quand on multiplie par un nombre plus grand que 1, on augmente :
- 4 \times 2\text{,}3 = 9\text{,}2.
Quand on multiplie par un nombre plus petit que 1, on diminue :
- 80 \times 0\text{,}6 = 48.

Remarque :
Pour tout nombre a, on a toujours a \times 1 = 1 \times a = a.

Par exemple, 1 \times 3 \text{,}4 = 3 \text{,}4 \times 1 = 3 \text{,}4 .

Remarque :
Tout nombre multiplié par 0 est nul : a \times 0 = 0 \times a = 0.

Par exemple, 22 \: 010 \text{,} 74 \times 0 = 0.

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Double : multiplication par 2.
Triple : multiplication par 3.
Quadruple : multiplication par 4.

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Exercice 1
Calculer

1. 1 \text{,} 6 \times 5

2. 3 \text{,} 2 \times 4

3. 4 \text{,} 1 \times 8

4. 4 \times 8 \text{,} 3

5. 128 \text{,} 36 \times 0

6. 1 \times 741 \text{,} 3887

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Exercice 2
Donner de tête le résultat des opérations suivantes

1. 1 \text{,} 28 \times 9 \text{,} 17 \times 0 \times 1 \text{,} 23

2. 2 \text{,} 3 \times (7 \text{,} 8 - 7 \text{,} 8) \times 2

3. (8 \text{,} 9 + 2 \text{,} 3 - 11 \text{,} 2) \times 8 \text{,} 6

4. 7 \text{,} 1 \times 1 \times 10

5. 8 \text{,} 2 \times (3 - 2)

6. 5 \text{,} 6 \times (3 \text{,} 4 + 6 \text{,} 2 - 8 \text{,} 6) \times 10

7. 78 \times (18 \text{,} 9 - 8 \text{,} 9) \times 10

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Exercice 3
Donner le résultat des multiplications suivantes

1. 45 \text{,} 2 \times 7 \text{,} 38 \times 4 \text{,} 12

2. 4 \text{,} 58 \times 0 \text{,} 39 \times 5 \text{,} 62

3. 8 \text{,} 26 \times 3 \text{,} 97 \times 4 \text{,} 85 \times 1 \text{,} 23

4. 5 \text{,} 23 \times 9 \text{,} 41 \times 1 \text{,} 23 \times 2 \text{,} 1

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Calculer astucieusement un produit

Calculer le plus astucieusement possible 4 \times 125 \times 25 \times 8.

On regroupe les facteurs qui donnent un produit facile à calculer.
Ici 4 × 25 = 100 et 8 × 125 = 1 000.
4 × 125 × 25 × 8 = 4 × 25 × 125 × 8 = 100 × 1 000 = 100 000.

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Exercice 4
Calculer le plus astucieusement possible les produits suivants

1. 4 \times 25 \times 8 \times 0 \text{,} 125

2. 5 \times 4 \times 20 \times 0 \text{,} 25

3. 5 \times 0 \text{,} 25 \times 20 \times 0 \text{,} 4

4. 5 \times 0 \text{,} 8 \times 40 \times 0 \text{,} 125 \times 3

5. 0 \text{,} 4 \times 7 \times 0 \text{,} 025 \times 8 \times 50

6. 9 \times 4 \times 8 \times 2 \text{,} 5 \times 0 \text{,} 5

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B
La division décimale

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Cécile et Camille comparent le poids de leurs cartables. Camille dit que son cartable, qui pèse 5,6 kg, est 1,6 fois plus lourd que celui de Cécile. Combien pèse le cartable de Cécile ?

Remarque :
Lorsque l'on effectue la division décimale, le calcul devrait se poursuivre jusqu'au bout, c'est-à-dire jusqu'à ce que le reste s'annule. Mais on ne peut pas toujours poursuivre le calcul d'une division décimale jusqu'à son bout : il peut se prolonger indéfiniment. Dans ce cas, on ne peut pas calculer son résultat exact.

Illustration : deux fillettes comparent le poids de leurs cartables sur une balançoire.

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Le quotient est le résultat de la division d'un dividende par un diviseur.

Schéma de division : 7,2 (dividende) divisé par 4 (diviseur) égale 1,8 (quotient).

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Remarque :
Le quotient 7\text{,}2 \div 4 est le nombre x vérifiant 4 \times x = 7\text{,}2.
Ainsi 4 \times (7\text{,}2 \div 4) = 7\text{,}2.

4 \times 1\text{,}8 = 7 \text{,}2
7\text{,}3 \times x = 25\text{,}16 que vaut x ? C'est 24\text{,}82 \div 7\text{,}3 = 3\text{,}4

Attention !
a \div b n'est défini que si b \neq 0 ! En effet, on ne peut diviser par 0.

Attention !
Il ne faut pas confondre le quotient d'une division décimale (c'est son résultat) et le quotient d'une division euclidienne (c'est un nombre entier).

Attention !
La division n'est pas commutative, on ne peut pas inverser dividende et diviseur : 4 \div 3 n'est pas égal à 3 \div 4.

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Moitié : division par 2, ou multiplication par 0,5.
Tiers : division par 3.
Quart : division par 4, ou multiplication par 0,25.

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Exercice 5
Calculer mentalement

1. 6 \div 3

2. 6 \text{,} 6 \div 3

3. 5 \text{,} 5 \div 11

4. 8 \text{,} 4 \div 2

5. 10 \text{,} 1 \div 10

6. 3 \text{,} 6 \div 4

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Exercice 6
Dans chaque cas, dire quelle opération faire, puis l'effectuer

1. Le produit de 5,7 par 6.

2. Le produit de 1,3 par 0,06.

3. Le quotient de 7,8 par 2.

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Exercice 7
Compléter avec le nombre correspondant et indiquer l'opération effectuée pour trouver le résultat.

1. 3 \times 5,6 =

2. 4 \times

= 15,7

3.

\times 7 = 16,8

4. 12 \times

= 8,25

5. 12,1 \times 5,4 =

\times 3 = 15,6

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Utiliser une division décimale

Marc achète un lot de 12 cahiers qui lui coûte au total 15,6 €. Combien lui coûte un cahier ?

On veut connaître le nombre (le prix du cahier) qui multiplié par 12 donne 15,6.
On calcule 15,6 \div 12 = 1,3.
Un cahier coûte donc 1,3 €.

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Exercice 8
Timothée court 3 000 m et fait 12 tours de stade

1. Quelle est la longueur de la piste de ce stade ?

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Exercice 9
Anthony achète 12 pots de fleur, qui pèsent en tout 15,9 kg.

1. Quel est le poids de chaque pot ?

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Mathématiques 6e

1. Maitriser les opérations et leurs propriétés

ALa multiplication

Découvrir

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Exercice 1Calculer

Exercice 2Donner de tête le résultat des opérations suivantes

Exercice 3Donner le résultat des multiplications suivantes

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Exercice 4Calculer le plus astucieusement possible les produits suivants

BLa division décimale

Découvrir

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Exercice 5Calculer mentalement

Exercice 6Dans chaque cas, dire quelle opération faire, puis l'effectuer

Exercice 7Compléter avec le nombre correspondant et indiquer l'opération effectuée pour trouver le résultat.

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Exercice 8Timothée court 3 000 m et fait 12 tours de stade

Exercice 9Anthony achète 12 pots de fleur, qui pèsent en tout 15,9 kg.

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A
La multiplication

Exercice 1
Calculer

Exercice 2
Donner de tête le résultat des opérations suivantes

Exercice 3
Donner le résultat des multiplications suivantes

Refaire
Calculer astucieusement un produit

Exercice 4
Calculer le plus astucieusement possible les produits suivants

B
La division décimale

Exercice 5
Calculer mentalement

Exercice 6
Dans chaque cas, dire quelle opération faire, puis l'effectuer

Exercice 7
Compléter avec le nombre correspondant et indiquer l'opération effectuée pour trouver le résultat.

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Utiliser une division décimale

Exercice 8
Timothée court 3 000 m et fait 12 tours de stade

Exercice 9
Anthony achète 12 pots de fleur, qui pèsent en tout 15,9 kg.