Mathématiques 6e

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Du primaire au collège

Ch. 1

Manipuler les nombres entiers

Ch. 2

Les nombres décimaux

Ch. 3

Addition, soustraction

Ch. 4

Multiplication, division décimale

Ch. 5

Fractions

Ch. 6

Proportionnalité

Ch. 7

Construction de droites

Ch. 8

Distances et cercles

Ch. 9

Angles

Ch. 10

Symétrie axiale

Ch. 11

Triangles, rectangles et losanges

Ch. 12

Aire et périmètre

Ch. 13

Volumes

Chapitre 4

Pas à pas

1. Maitriser les opérations et leurs propriétés

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A
La multiplication

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Découvrir

Pierre veut acheter une nouvelle carte graphique pour son ordinateur et surveille les prix d'une certaine carte dans sa boutique préférée. La première semaine, la carte coûte 134,50 €.

a. La semaine suivante, le prix de la carte a doublé. Quel est son nouveau prix ?
b. La troisième semaine, le prix de la carte a été multiplié par 0,7. Quel est son nouveau prix ?
c. A-t-il augmenté ou baissé par rapport à la deuxième semaine ?
d. Quelle opération effectuer pour passer directement du prix de la première semaine à celui pratiqué la troisième semaine ?

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Retenir

La multiplication de deux facteurs s'appelle le produit.

Le zoom est accessible dans la version Premium.
Propriété de commutativité : le produit ne dépend pas de l'ordre dans lequel on a multiplié les facteurs :
- $4 \times 5 = 5 \times 4$
Propriété d'associativité : le produit ne dépend pas de la façon dont on a regroupé les facteurs.
- $2 \times 3 \times 4 = 6 \times 4 = 24$
- $2 \times 3 \times 4 = 2 \times 12 = 24$

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Remarques :

Quand on multiplie par un nombre plus grand que 1, on augmente :
- $4 \times 2, 3 = 9, 2 .$
Quand on multiplie par un nombre plus petit que 1, on diminue :
- $80 \times 0, 6 = 48$ .

Remarque :
Pour tout nombre

a

, on a toujours

a \times 1 = 1 \times a = a

Par exemple, $1 \times 3, 4 = 3, 4 \times 1 = 3$ .

Remarque :
Tout nombre multiplié par 0 est nul :

a \times 0 = 0 \times a = 0

Par exemple, $22010, 74 \times 0 = 0$ .

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Double : multiplication par 2.
Triple : multiplication par 3.
Quadruple : multiplication par 4.

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Exercice 1
Calculer

1, 6 \times 5

3, 2 \times 4

4, 1 \times 8

4 \times 8, 3

128, 36 \times 0

1 \times 741, 3887

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Exercice 2
Donner de tête le résultat des opérations suivantes

1, 28 \times 9, 17 \times 0 \times 1, 23

2, 3 \times (7, 8 - 7, 8) \times 2

(8, 9 + 2, 3 - 11, 2) \times 8, 6

7, 1 \times 1 \times 10

8, 2 \times (3 - 2)

5, 6 \times (3, 4 + 6, 2 - 8, 6) \times 10

78 \times (18, 9 - 8, 9) \times 10

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Exercice 3
Donner le résultat des multiplications suivantes

45, 2 \times 7, 38 \times 4, 12

4, 58 \times 0, 39 \times 5, 62

8, 26 \times 3, 97 \times 4, 85 \times 1, 23

5, 23 \times 9, 41 \times 1, 23 \times 2, 1

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Refaire
Calculer astucieusement un produit

Calculer le plus astucieusement possible

4 \times 125 \times 25 \times 8

On regroupe les facteurs qui donnent un produit facile à calculer.
Ici $4 \times 25 = 100$ et $8 \times 125 = 1000$ .
$4 \times 125 \times 25 \times 8 = 4 \times 25 \times 125 \times 8 = 100 \times 1000 = 100000$ .

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Exercice 4
Calculer le plus astucieusement possible les produits suivants

4 \times 25 \times 8 \times 0, 125

5 \times 4 \times 20 \times 0, 25

5 \times 0, 25 \times 20 \times 0, 4

5 \times 0, 8 \times 40 \times 0, 125 \times 3

0, 4 \times 7 \times 0, 025 \times 8 \times 50

9 \times 4 \times 8 \times 2, 5 \times 0, 5

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B
La division décimale

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Découvrir

Cécile et Camille comparent le poids de leurs cartables. Camille dit que son cartable, qui pèse 5,6 kg, est 1,6 fois plus lourd que celui de Cécile. Combien pèse le cartable de Cécile ?

Remarque :
Lorsque l'on effectue la division décimale, le calcul devrait se poursuivre jusqu'au bout, c'est-à-dire jusqu'à ce que le reste s'annule. Mais on ne peut pas toujours poursuivre le calcul d'une division décimale jusqu'à son bout : il peut se prolonger indéfiniment. Dans ce cas, on ne peut pas calculer son résultat exact.

Illustration de deux petites filles qui pèsent leurs cartables sur une balançoire

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Le quotient est le résultat de la division d'un dividende par un diviseur.

Dans 7,2 divisé par 4 = 1,8. 7,2 est le dividende, 4 est le diviseur et 1,8 est le quotient

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Remarque :
Le quotient

7, 2 \div 4

est le nombre

x

vérifiant

4 \times x = 7, 2

.
Ainsi

4 \times (7, 2 \div 4) = 7, 2

$4 \times 1, = 7, 2$
$7, 3 \times x = 25, 16$ que vaut $x$ ? C'est $24, 82 \div 7, 3 = 3, 4$

Attention !

a \div b

n'est défini que si

b \neq = 0

! En effet, on ne peut diviser par 0.

Attention !
Il ne faut pas confondre le quotient d'une division décimale (c'est son résultat) et le quotient d'une division euclidienne (c'est un nombre entier).

Attention !
La division n'est pas commutative, on ne peut pas inverser dividende et diviseur :

4 \div 3

n'est pas égal à

3 \div 4

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Moitié : division par 2, ou multiplication par 0,5.
Tiers : division par 3.
Quart : division par 4, ou multiplication par 0,25.

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Exercice 5
Calculer mentalement

6 \div 3

6, 6 \div 3

5, 5 \div 11

8, 4 \div 2

10, 1 \div 10

3, 6 \div 4

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Exercice 6
Dans chaque cas, dire quelle opération faire, puis l'effectuer

1. Le produit de 5,7 par 6.

2. Le produit de 1,3 par 0,06.

3. Le quotient de 7,8 par 2.

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Exercice 7
Compléter avec le nombre correspondant et indiquer l'opération effectuée pour trouver le résultat.

1. 3

\times

5,6 =

2. 4

\times

= 15,7

3.

\times

7 = 16,8

4. 12

\times

= 8,25

5. 12,1

\times

5,4 =

\times

3 = 15,6

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Utiliser une division décimale

Marc achète un lot de 12 cahiers qui lui coûte au total 15,6 €. Combien lui coûte un cahier ?

On veut connaître le nombre (le prix du cahier) qui multiplié par 12 donne 15,6.
On calcule $15, 6 \div 12 = 1, 3 .$
Un cahier coûte donc 1,3 €.

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Exercice 8
Timothée court 3 000 m et fait 12 tours de stade

1. Quelle est la longueur de la piste de ce stade ?

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Exercice 9
Anthony achète 12 pots de fleur, qui pèsent en tout 15,9 kg.

1. Quel est le poids de chaque pot ?

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Calculer le plus astucieusement possible les produits suivants

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Exercice 2Donner de tête le résultat des opérations suivantes

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