Mathématiques 6e

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Du primaire au collège
Ch. 1
Manipuler les nombres entiers
Ch. 2
Les nombres décimaux
Ch. 3
Addition, soustraction
Ch. 4
Multiplication, division décimale
Ch. 5
Fractions
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Construction de droites
Construction de droites
Ouverturep. 115
1. La règle
Coursp. 116-119
2. Parallélisme, perpendicularité
Coursp. 120-122
3. Tracer une perpendiculaire
Coursp. 123
4. Tracer une parallèle
Coursp. 124
Construction de droites
Coursp. 125
Exercices
Exercicesp. 126-127
Fiches de révision - Exclusivité numérique
Fiches de révision - Exclusivité numérique
Exercices de révision - Exclusivité numérique
Exercices de révision - Exclusivité numérique
Ch. 8
Distances et cercles
Ch. 9
Angles
Ch. 10
Symétrie axiale
Ch. 11
Triangles, rectangles et losanges
Ch. 12
Aire et périmètre
Ch. 13
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Chapitre 7
Pas à pas

1. La règle

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A
Alignement et droites

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Découvrir

Prendre une feuille de papier blanc et placer deux points. On veut dessiner un trait le plus droit possible entre ces deux points. Voici plusieurs manières de le tracer :
  • à main levée ;
  • avec une règle ;
  • avec un rapporteur ;
  • avec le bord d'un livre.

a. Quelle solution est la plus pratique ?
b. Qu'est-ce qu'une règle permet de faire d'autre ?
Placeholder pour Dessin: enfant écrit, adulte mécontent le surveille.Dessin: enfant écrit, adulte mécontent le surveille.
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Retenir

  • Un plan est comme une feuille de papier étendue à l'infini, dans toutes les directions et posée à plat.
  • On appelle point l'endroit où se coupent deux lignes.
  • Deux lignes qui se coupent sont dites sécantes et le point où elles se coupent s'appelle le point d'intersection.
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Exemple :

Placeholder pour Illustration: deux lignes courbes. En haut, lignes non sécantes. En bas, lignes sécantes avec point d'intersection.Illustration: deux lignes courbes. En haut, lignes non sécantes. En bas, lignes sécantes avec point d'intersection.
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Retenir

  • La croix précise l'emplacement d'un point
  • La lettre précise son nom
Placeholder pour Schéma: flèches rouges indiquent un lien de C vers A. Croix noires symbolisent une exclusion de B.Schéma: flèches rouges indiquent un lien de C vers A. Croix noires symbolisent une exclusion de B.
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Retenir

  • Une règle (graduée ou non) permet de tracer un trait « droit ».
  • Des points sont alignés si on peut virtuellement faire passer un « trait droit » à travers ces points, c'est-à-dire avec une règle !
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Exemple :
  • Dans le jeu d'échecs suivant, les points représentent des pièces. Les points placés sur les droites rouges sont alignés.
  • Par contre, ci-dessous, tous les pions ne sont pas alignés ! Par exemple P_4, P_3 et P_2.
Placeholder pour Diagramme d'échecs montrant des lignes rouges croisant le plateau et des pions violets.Diagramme d'échecs montrant des lignes rouges croisant le plateau et des pions violets.

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Une droite représente tous les points qui sont alignés ensemble. On la représente par un trait « droit ».
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Exemple :Ces points sont alignés, ils sont sur une droite, mais ce n'est pas toute la droite, il y a une infinité de points qui sont alignés avec eux : ils forment une droite.
Placeholder pour Image graphique : croix noires alignées en diagonale sur fond blanc.Image graphique : croix noires alignées en diagonale sur fond blanc.

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Retenir

Quand on a tracé un trait droit, on peut toujours le continuer de chaque côté. 
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Remarque : 
  • Ce n'est pas l'extrémité de la droite !
  • La droite n'a pas d'extrémité : comme on dessine sur une feuille, il faut bien s'arrêter !
Placeholder pour Schéma: ligne oblique avec flèche pointant vers le bas, illustrant une direction descendante ou une diminution.Schéma: ligne oblique avec flèche pointant vers le bas, illustrant une direction descendante ou une diminution.
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La droite qui passe par les points A et B se note : (AB) ou (BA), c'est la même chose.
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Remarque : 
  • On utilise des parenthèses pour désigner une droite qui passe par les points A et B (A et B sont des points, on les écrit donc avec des lettres majuscules).
  • Quand on nomme une droite on utilise des lettres minuscules, ou parfois des lettres grecques (par exemple \Delta). On ne met pas de parenthèses !

Placeholder pour Schéma : deux droites parallèles (AB) et (d) sont représentées.Schéma : deux droites parallèles (AB) et (d) sont représentées.
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Vocabulaire : Si un point A est sur une droite d on dit que A appartient à d et on note A ∈ d. Sinon A n'appartient pas à d et on note A ∉ d.
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Exemple : A \in d et B \notin d.
Placeholder pour Diagramme géométrique : droite (d) avec points A et B.Diagramme géométrique : droite (d) avec points A et B.
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Refaire
Tracer une droite et placer un point

Placer 2 points A et B et représenter la droite (AB). Représenter un point C qui n'appartienne pas à la droite (AB).
  • On place deux points sur le plan.
  • On représente la droite (AB) en traçant à la règle une ligne qui contient A et B.
  • On place un point C clairement hors de cette ligne.
Placeholder pour Schéma géométrique : droite (AB) avec crayon, points A, B et C.Schéma géométrique : droite (AB) avec crayon, points A, B et C.
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Exercice 1
Placer trois points D, E et F

Tracer les droites (DE) et (DF). Placer un point G tel que G appartienne à (DE) mais pas à (DF).
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Exercice 2
Placer les points M, N et O

Tracer les droites (MN), (NO) et (OM). Y a-t-il un point appartenant à (MN) et à (NO) ?
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B
Demi-droites

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Découvrir

Avec une droite, on ne peut exprimer autre chose que l'alignement. Dans l'exemple de l'échiquier, comment représenter l'ensemble des points alignés avec les pièces de la ligne du haut, et qui se trouvent « à droite » du premier fou ?
Placeholder pour Schéma illustrant une ligne rouge traversant un plateau de jeu, avec des pions violets numérotés. Représentation visuelle d'un algorithme ou d'un processus.Schéma illustrant une ligne rouge traversant un plateau de jeu, avec des pions violets numérotés. Représentation visuelle d'un algorithme ou d'un processus.

  • Ici, le premier cavalier et la première tour ne sont pas « à droite » du fou \text{F}_1. On a coupé la droite précédente en deux au niveau du fou.
  • Si l'on partage une droite en deux, on obtient une demi-droite. Une demi-droite a une extrémité (ici : le fou \text{F}_1) et s'étend sans fin de l'autre côté.
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Retenir

  • On note la demi-droite qui part de A et passe par B : [AB).
    • On a un crochet du côté de A : c'est l'extrémité.
    • On a une parenthèse du côté de B : il n'y a pas d'extrémité, la demi-droite s'étend à l'infini.
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Exemple :
  • On représente ici la demi-droite [AB).
  • Et ici on représente la demi-droite [BA).
Placeholder pour Diagramme géométrique illustrant deux demi-droites, [AB) et [BA), définies par les points A et B.Diagramme géométrique illustrant deux demi-droites, [AB) et [BA), définies par les points A et B.
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Exercice 3
Placer trois points A, B et C

Tracer [AB) et [CB). Placer un point D qui appartienne à [AB) mais pas à [CB).
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Exercice 4
Placer quatre points E, F, G et H

Tracer les demi-droites [EF), [FG), [GH) et [HE).
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C
Segments

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Découvrir

  • On peut aussi se demander : quels sont les points situés entre les deux fous ? Comment les représente-t-on ?

  • Le segment représente tous les points situés entre \text{F}_1 et \text{F}_2. C'est comme si on avait coupé une droite en deux endroits et gardé la partie du milieu. Un segment a donc deux extrémités !
Placeholder pour Schéma: grille avec points violets et ligne rouge, illustrant un processus ou un algorithme.Schéma: grille avec points violets et ligne rouge, illustrant un processus ou un algorithme.
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Retenir

On note le segment qui joint A à B [AB] ou [BA], c'est la même chose.
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Exemple : On représente ici le segment [BA].
[AB] ou [BA] : c'est pareil !

Placeholder pour Diagramme: segment AB, ligne épaisse oblique reliant les points A et B.Diagramme: segment AB, ligne épaisse oblique reliant les points A et B.
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Tracer un segment

Placer deux points E et F et représenter le segment [EF].
  • On place deux points E et F sur le plan.
  •  Avec une règle, on relie E et F.


Placeholder pour Dessin : règle jaune inclinée, crayon traçant une ligne. Points E et F indiquent les extrémités de la ligne.Dessin : règle jaune inclinée, crayon traçant une ligne. Points E et F indiquent les extrémités de la ligne.
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Exercice 5
Placer trois points G, H et I

Tracer la demi-droite [GI), le segment [HI] et placer un point J qui n'appartienne pas à [HI].
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Exercice 6
Placer cinq points G, H, I, J et K puis représenter (HI); [KG); [IJ]; [GI)

Y placer un point L qui appartienne à [IJ] mais pas à (HJ).
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