Mathématiques 6e

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Du primaire au collège

Ch. 1

Manipuler les nombres entiers

Ch. 2

Les nombres décimaux

Ch. 3

Addition, soustraction

Ch. 4

Multiplication, division décimale

Ch. 5

Fractions

Ch. 6

Proportionnalité

Ch. 7

Construction de droites

Ch. 8

Distances et cercles

Ch. 9

Angles

Ch. 10

Symétrie axiale

Ch. 11

Triangles, rectangles et losanges

Ch. 12

Aire et périmètre

Ch. 13

Volumes

Chapitre 7

Pas à pas

2. Parallélisme, perpendicularité

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Lorsque deux droites distinctes se coupent, on dit qu'elles sont sécantes. L'endroit où elles se coupent est leur point d'intersection.
Si deux droites ne sont pas sécantes ou sont confondues on dit qu'elles sont parallèles.
- Notation : $d$ // $d^{'}$

Attention ! Ces deux droites n'ont pas l'air d'être parallèles, mais on ne les voit pas se couper !

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Quand deux droites se coupent en formant 4 angles superposables, on appelle ces angles des angles droits.

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Remarque :
Quand deux droites forment un angle droit, les trois autres angles sont forcément droits aussi.

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Deux droites qui se coupent en formant un angle droit sont dites perpendiculaires.

Notation : $d ⊥ d^{'}$

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Exercice 7
Pas parallèles

Que peut-on dire de deux droites qui ne sont pas parallèles?

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Exercice 8
Point commun

Que peut-on dire de deux droites qui ont plus d'un point commun?

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Exercice 9
Pas sécantes

Deux droites qui ne sont pas sécantes peuvent-elles être perpendiculaires ?

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Étant donné un point et une droite, il existe une et une seule droite perpendiculaire à la droite passant par le point donné.
Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles.
On le résume de la manière suivante: si d ⊥ Δ et si d' ⊥ Δ alors d // d'.

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Utiliser cette propriété pour montrer que des droites sont parallèles

Dans la situation suivante, justifier que

d_{1}

d_{4}

sont parallèles.

$d_{1}$ est perpendiculaire à $d_{2}$ : $d_{1} ⊥ d_{2}$ .
$d_{4}$ est perpendiculaire à $d_{2}$ : $d_{4} ⊥ d_{2}$ .
On sait que si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles.
Donc $d_{1}$ et $d_{4}$ sont parallèles.

Figure: Deux droites parallèles, une droite perpendiculaire entre elles et une quatrième droite traversant les trois précédentes

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Exercice 10
Parallèles

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Montrer que les droites

d

Δ

sont parallèles.

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Exercice 11
Parallèles

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Montrer que les droites

d_{1}

d_{2}

sont parallèles.

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Propriété : Lorsque deux droites sont parallèles et qu'une troisième droite est perpendiculaire à l'une de ces deux droites, alors cette troisième droite est aussi perpendiculaire à l'autre droite.
On le résume de la manière suivante : si d // d' et si Δ ⊥ d alors Δ ⊥ d'.

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Utiliser cette propriété pour montrer que ces deux droites sont perpendiculaires

On sait que

d_{1}

d_{4}

sont parallèles. Justifier que

d_{2}

d_{4}

sont perpendiculaires.

$d_{1}$ est parallèle à $d_{4}$ : $d_{1} / / d_{4}$ .
$d_{2}$ est perpendiculaire à $d_{1}$ : $d_{2} ⊥ d_{1}$ .
On sait que si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre.
Donc $d_{2}$ et $d_{4}$ sont perpendiculaires.

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Exercice 12
Perpendiculaires

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1. Montrer que les droites

d_{1}

d_{2}

sont perpendiculaires.

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Exercice 13
Perpendiculaires

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1. Montrer que les droites

d_{2}

d_{4}

sont perpendiculaires.

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En combinant les propriétés précédentes, on peut obtenir la propriété suivante.

Propriété : Si deux droites sont parallèles à la même droite alors ces deux droites sont aussi parallèles entre elles.
- On le résume en : si $d$ // $d^{'}$ et $d^{'}$ // $d^{''}$ alors $d$ // $d^{''}$ .

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Montrer que les droites $d_{1}$ et $d_{3}$ sont parallèles

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On sait que $d_{1}$ // $d_{2}$ et que $d_{2}$ // $d_{3}$ .

En utilisant la propriété précédente, on sait que $d_{1}$ et $d_{3}$ sont parallèles.

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Exercice 14
Parallèles

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1. Montrer que les droites

d

Δ

sont parallèles.

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Exercice 15
Parallèles

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1. Montrer que les droites (AD) et (EB) sont parallèles.

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2. Parallélisme, perpendicularité

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Exercice 7
Pas parallèles

Exercice 8
Point commun

Exercice 9
Pas sécantes

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Utiliser cette propriété pour montrer que des droites sont parallèles

Exercice 10
Parallèles

Exercice 11
Parallèles

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Utiliser cette propriété pour montrer que ces deux droites sont perpendiculaires

Exercice 12
Perpendiculaires

Exercice 13
Perpendiculaires

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Montrer que les droites $d_{1}$ et $d_{3}$ sont parallèles

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Parallèles

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Exercice 11Parallèles

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Exercice 12Perpendiculaires

Exercice 13Perpendiculaires

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