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2. Parallélisme, perpendicularité
P.120-122

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Mathématiques - Pas à pas


2. Parallélisme, perpendicularité




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► Lorsque deux droites distinctes se coupent, on dit qu’elles sont sécantes. L’endroit où elles se coupent est leur point d’intersection. 

► Si deux droites ne sont pas sécantes ou sont confondues on dit qu’elles sont parallèles. 
▸ Notation : dd // dd’
Attention ! ▸
Ces deux droites n’ont pas l’air d’être parallèles, mais on ne les voit pas se couper !

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► Quand deux droites se coupent en formant 4 angles superposables, on appelle ces angles des angles droits. 

Remarque ▸ Quand deux droites forment un angle droit, les trois autres angles sont forcément droits aussi.

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Deux droites qui se coupent en formant un angle droit sont dites perpendiculaires. 

▸ Notation : ddd \perp d’

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Exercice 7 : Pas parallèles.

1
Que peut-on dire de deux droites qui ne sont pas parallèles?



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Exercice 8 : Point commun.

1
Que peut-on dire de deux droites qui ont plus d’un point commun?



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Exercice 9 : Pas sécantes.

1
Deux droites qui ne sont pas sécantes peuvent-elles être perpendiculaires?



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► Étant donné un point et une droite, il existe une et une seule droite perpendiculaire à la droite passant par le point donné.

Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles.

► On le résume de la manière suivante: si d ⊥ Δ et si d’ ⊥ Δ alors d // d’. 

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Refaire : Utiliser cette propriété pour montrer que des droites sont parallèles. 

Dans la situation suivante, justifier que d1d_1et d4d_4 sont parallèles.


\quadd1d_1 est perpendiculaire à d2d_2 : d1d2d_1 \perp d_2.
\quadd4d_4 est perpendiculaire à d2d_2 : d4d2d_4 \perp d_2.
\quad▸ On sait que si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles.
\quad▸ Donc d1d_1 et d4d_4 sont parallèles.

Refaire : Utiliser cette propriété pour montrer que des droites sont parallèles.

Refaire : Utiliser cette propriété pour montrer que des droites sont parallèles.
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Exercice 10 : Parallèles.

Graphique lié à l'exercice 1
1
Montrer que les droites dd et Δ\Delta sont parallèles.



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Exercice 11 : Parallèles.

Graphique lié à l'exercice 2
1
Montrer que les droites d1d_1 et d2d_2 sont parallèles.



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Propriété : Lorsque deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est perpendiculaire à l’une de ces deux droites, alors cette troisième droite est aussi perpendiculaire à l’autre droite.

► On le résume de la manière suivante : si d // d’ et si Δ ⊥ d alors Δ ⊥ d’. 

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Refaire : Utiliser cette propriété pour montrer que ces deux droites sont perpendiculaires.

On sait que d1d_1 et d4d_4 sont parallèles. Justifier que d2d_2 et d4d_4 sont perpendiculaires.


\quadd1d_1 est parallèle à d4d_4 : d1//d4d_1 // d_4
\quadd2d_2 est perpendiculaire à d1d_1 : d2d1d_2 \perp d_1.
\quad▸ On sait que si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre.
\quad▸ Donc d2d_2 et d4d_4 sont perpendiculaires.

Refaire : Utiliser cette propriété pour montrer que ces deux droites sont perpendiculaires.

Refaire : Utiliser cette propriété pour montrer que ces deux droites sont perpendiculaires.

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Exercice 12 : Perpendiculaires.

Graphique lié à l'exercice 3
1
Montrer que les droites d1d_1 et d2d_2 sont perpendiculaires.



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Exercice 13 : Perpendiculaires.

Graphique lié à l'exercice 4
1
Montrer que les droites d2d_2 et d4d_4 sont perpendiculaires.



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En combinant les propriétés précédentes, on peut obtenir la propriété suivante.

Propriété : Si deux droites sont parallèles à la même droite alors ces deux droites sont aussi parallèles entre elles.

▸ On le résume en : si dd // dd' et dd' // dd'' alors dd // dd''.

Refaire :  Montrer que les droites d1d_1 et d3d_3 sont parallèles.

▸ On sait que d1d_1 // d2d_2 et que d2d_2 // d3d_3.
► En utilisant la propriété précédente, on sait que d1d_1 et d3d_3 sont parallèles.

Refaire :  Montrer que les droites d1d_1 et d3d_3 sont parallèles.

Refaire :  Montrer que les droites $$d_1$$ et $$d_3$$ sont parallèles.

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Exercice 14 : Parallèles.

Graphique lié à l'exercice 5
1
Montrer que les droites dd et Δ\Delta sont parallèles.



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Exercice 15 : Parallèles.

Graphique lié à l'exercice 6
1
Montrer que les droites (AD) et (EB) sont parallèles.



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