Dans un pari sportif de type 1N2, le joueur parie en faveur de l'équipe 1, d'un match nul ou de l'équipe 2. Il peut combiner ce pari avec un pari sur le nombre de buts marqués. On estime les probabilités de gagner de l'équipe 1 à 0,25 et de l'équipe 2 à 0,4. De plus, on estime qu'il y aura au moins trois buts avec 36 % de chances, indépendamment du résultat du match.

On définit les événements :

• \text{A} : « L'équipe 1 gagne. » ;
• \text{B} : « L'équipe 2 gagne. » ;
• \text{N} : « Le match est nul. » ;
• \text{C} : « Au moins trois buts ont été marqués. ».

1. Grâce à notre outil d'édition d'image, compléter l'arbre de probabilité ci‑dessous.

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2. Calculer la probabilité que l'équipe 1 gagne et qu'au plus deux buts aient été marqués.

3. Calculer et interpréter la probabilité de l'événement \{\overline{\mathrm{N}} \cap \mathrm{C}\}.

4. Le gain du joueur est calculé en multipliant sa mise par la cote du pari remporté. Les cotes suivantes ont été attribuées à chaque pari.

\mathrm{A} \cap \mathrm{C}	6
\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{C}}	5,4
\mathrm{B} \cap \mathrm{C}	4,2
\mathrm{B} \cap \overline{\mathrm{C}}	4,2
\mathrm{N} \cap \mathrm{C}	4,8
\mathrm{N} \cap \overline{\mathrm{C}}	3,9

Un joueur parie 10 € sur une combinaison choisie au hasard. On suppose que le joueur remporte le pari. Soit \text{X} la variable aléatoire définie par son gain. La table de loi de probabilité de \text{X} est donnée ci‑dessous.

Gain (€)	Probabilité
60	0,09
54	0,16
42	0,4
48	0,126
39	0,224

Justifier la valeur 0,16.

5. Calculer et interpréter \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 50).

On lance deux dés équilibrés à six faces.
Soit \text{X} la variable aléatoire définie par la somme des résultats des dés.

1. Quelles sont les valeurs prises par \text{X} ?

2. Compléter le tableau suivant en indiquant la somme des résultats des deux dés.


3. Expliquer pourquoi il est plus probable d'obtenir la somme 7 que la somme 6.

4. Dans les années 1620, beaucoup de jeux de dés étaient pratiqués à la cour de Florence. Le duc de Toscane aurait remarqué que la somme de trois dés valait plus souvent 10 que 9, ce qu'il ne comprenait pas puisqu'il existe autant de manières d'atteindre 9 que de manières d'atteindre 10 en additionnant trois entiers inférieurs ou égaux à 6.

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Expliquer pourquoi les sommes reliées en rouge ont les mêmes probabilités d'apparition.

5. Expliquer pourquoi il est plus probable d'obtenir deux 3 et un 4 que trois 3.

6. En déduire pourquoi la somme 10 est obtenue plus souvent que la somme 9 en trois lancers de dés.

Pour décoder un message chiffré par permutation monoalphabétique (c'est‑à‑dire que chaque lettre de l'alphabet est remplacée par une autre selon une table de correspondance), on peut procéder par analyse des fréquences d'apparition des lettres. Dans la langue française, la lettre E apparaît avec une fréquence de 15 % en moyenne. En analysant les 100 premières lettres d'un message codé, on est amené à supposer que le E est codé par la lettre S. Cependant, il n'y a aucun S dans les 25 lettres suivantes du message ! Cela remet‑il en cause l'hypothèse précédente ?

1. Justifier que l'expérience aléatoire qui consiste à choisir 25 lettres et à regarder si c'est un E définit un schéma de Bernoulli. Préciser ses paramètres.

2. Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun E dans un texte de 25 lettres.

3. On admet que la fréquence de E dans un texte de n lettres appartient à l'intervalle \left[0,15-\frac{1}{\sqrt{n}} \: ; 0,15+\frac{1}{\sqrt{n}}\right] avec 95 % de chances. Que peut‑on en déduire sur la fréquence de E dans un texte de 25 lettres ?

4. En déduire les inconvénients de cette méthode.

On souhaite comparer deux jeux d'argent. Soient \text{X} et \text{Y} les variables aléatoires correspondant au gain du joueur en euro pour le premier et le second jeu. Les lois de probabilité de \text{X} et de \text{Y} sont données dans les tableaux suivants.



1. Calculer \mathrm{E}(\mathrm{X}) et \mathrm{E}(\mathrm{Y}). Interpréter ces résultats.

2. Comparer \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 0) et \mathrm{P}(\mathrm{Y} \leqslant 0).

3. Comparer \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 10) et \mathrm{P}(\mathrm{Y} \geqslant 10).

4. D'après les résultats précédents, quel jeu est le plus risqué ?

Afin de proposer différents tarifs, une assurance auto propose d'ajouter en option, sur la formule classique, l'assurance contre le vol et le vandalisme, et une franchise pour les bris de glace.

1. Combien de formules différentes cela fait‑il ?

2. 30 % des clients choisissent l'assurance contre le vol et 25 % prennent la franchise bris de glace. Ces deux choix sont supposés indépendants. On choisit un assuré au hasard et on note respectivement \text{V} et \text{F} les événements « La personne est assurée contre le vol. » et « La personne a la franchise bris de glace. ».

Grâce à notre outil de retouche d'image, compléter l'arbre de probabilité ci‑dessous.

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3. Quelle est la probabilité que la personne soit assurée contre le vol et les bris de glace ? Quelle est la probabilité qu'elle ne soit assurée ni pour l'un ni pour l'autre ?

4. La formule sans option coûte 420 € à l'année. La franchise pour les bris de glace coûte 80 € et l'assurance contre le vol coûte 50 €.

Soit \text{X} la variable aléatoire associée au coût en euro de l'assurance du client choisi. Compléter le tableau suivant, donnant la loi de probabilité de \text{X}.

Coût (€)	Probabilité
420	0{,}525
	0{,}225
500
550	0{,}075

5. Sur 1 000 contrats, quel chiffre d'affaires moyen cette assurance peut‑elle espérer réaliser ?

Un robot se déplace dans une ville où les rues forment un quadrillage carré en choisissant aléatoirement à chaque intersection s'il continue vers le nord ou vers l'est. À chaque intersection, il va vers le nord avec la probabilité 0,42 et vers l'est avec la probabilité 0,58. On s'intéresse aux positions auxquelles le robot peut arriver en trois déplacements en partant de \text{A}.

1. Justifier que cette expérience définit un schéma de Bernoulli. Préciser ses paramètres.

2. Sur le schéma, quels sont les points que le robot peut atteindre en trois déplacements ? Ces positions sont‑elles équiprobables ? Expliquer.

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Pour réduire la proportion de filles dans un pays totalitaire, le roi décide que chaque famille aura au maximum quatre enfants et devra arrêter de procréer dès la naissance d'un garçon. On considère que la probabilité pour un enfant d'être une fille est de 0,51 et qu'elle ne dépend pas du sexe de l'enfant précédent. Ouvrir une feuille de calcul.

1. Entrer en A1 la formule \color{purple}\bf{ =ALEA.ENTRE.BORNES(1; 100)} et l'étirer jusqu'en D1 pour générer quatre nombres aléatoires. Compléter la formule suivante, à entrer en E1, pour simuler la naissance d'un enfant suivant le nombre aléatoire généré en A1, en affichant 1 pour une fille et 0 pour un garçon : \color{purple}\bf{=S I (A 1 \lt = \ldots ; 1 ; 0 )}.

2. Entrer la formule suivante en F1 et la copier en G1 et en H1 : \color{purple}\bf{=SI(OU(E 1=0 ; E 1=“”) ; “” ; SI(B 1 \lt =51 ; 1 ; 0))}. Cette formule donne une case vide si la case E1 contient 0 ou est vide et simule la naissance d'un autre enfant sinon.

3. Quelle formule peut‑on entrer en I1 afin de compter le nombre d'enfants de la famille ainsi modélisée ? On pourra utiliser la commande \color{purple}\bf{NB.SI}.
Quelle formule peut-on entrer en J1 pour compter le nombre de filles ?

4. Recopier cette ligne sur 1 000 lignes. D'après ces résultats, la législation a‑t‑elle permis de réduire la proportion de filles dans cette génération ?

On joue trois fois de suite à un jeu de hasard où la probabilité de gagner est égale à 0,25.

1. Justifier que cette expérience définit un schéma de Bernoulli et en préciser les paramètres.
À ce jeu, le joueur récupère sa mise à laquelle s'ajoute une somme égale à sa mise s'il gagne, et perd sa mise sinon.

2. Quelle est la probabilité de perdre les deux premières parties ? Si on a misé 2 € à chacune de ces deux parties, combien doit‑on miser à la troisième pour espérer récupérer cette somme ?

3. On décide de doubler la mise après une défaite et de s'arrêter après une victoire. On cherche à savoir si cette stratégie permet de ne pas perdre d'argent si on ne gagne qu'à la troisième partie.

a. On note m la valeur misée en euro. Quelle somme peut‑on gagner au maximum en trois parties selon cette stratégie ? Quelle est la probabilité de la gagner ?

b. Quelle somme peut‑on perdre au maximum ? Avec quelle probabilité cela arrive‑t‑il ?

On joue à la roulette en pariant sur un seul numéro chaque fois (parmi les nombres entiers entre 0 et 36). On a donc 1 chance sur 37 de gagner.

1. Ce jeu aléatoire définit‑il une épreuve de Bernoulli ?

2. On joue trois parties indépendantes. Construire l'arbre de probabilité décrivant les trois parties.

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3. Quelle est la probabilité de perdre les trois parties ?

4. Quelle est la probabilité de ne gagner que la troisième ?

5. Compléter la formule suivante afin de simuler une partie en affichant 1 avec la probabilité \frac{1}{37} et 0 sinon :

Dans une forêt de 50 000 hêtres, on estime que 4 % des arbres sont porteurs d'une maladie. On attribue un numéro à chacun et on en choisit 100 au hasard. On suppose que cette expérience peut être assimilée à un tirage avec remise. Le succès est l'événement : « L'arbre est malade. ».

1. Expliquer pourquoi cette expérience correspond à un schéma de Bernoulli. Quels sont ses paramètres ?

2. Soit \text{X} la variable aléatoire associée au nombre d'arbres malades dans l'échantillon.

a. Calculer, puis interpréter \mathrm{P}(\mathrm{X}=0).

b. En déduire \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 1). Arrondir à 10^-3 près.

Un questionnaire demande de répondre par vrai ou par faux à trois questions. Le barème attribue un nombre de points a par réponse juste et un nombre de points négatif b par réponse fausse. Comment choisir a et b pour que, en répondant au hasard aux questions, l'espérance de la note soit égale à -3 ?

On résume la loi d'une variable aléatoire \text{X} dans le tableau suivant.


Modifier une unique valeur prise par \text{X} pour augmenter l'espérance de cette variable aléatoire de 1.

On veut envoyer une lettre à Alice, une lettre à Bob et une lettre à Cyril. On met une lettre au hasard dans chaque enveloppe, sans regarder à qui elle est destinée. Quelle est la probabilité que les trois lettres arrivent chacune au bon destinataire ?

Une urne contient n + 4 boules : 4 noires et n blanches. Un joueur tire sans remise deux boules dans l'urne et regarde leurs couleurs. Il gagne 15 € pour chaque boule noire tirée et perd 30 € pour chaque boule blanche tirée.

On note \text{G} la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur sur un tirage.

Pour quelle(s) valeur(s) de n le jeu est‑il équitable, c'est‑à‑dire d'espérance de gain nulle ?