Chapitre 1
Cours
Calcul numérique
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Multiples et diviseurs
Fiche correspondante
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Définitions
On considère deux nombres entiers a et b avec b non nul. Lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul, il existe un entier naturel q tel que {a = b \times q}. On dit alors que a est divisible par b, que a est un multiple de b ou encore que b est un diviseur de a.
Exemples à compléter :
1. 12 = 3 \times 4, donc 12 est un
2. 48=6 \times 8, donc 6 est un
3. 42=7 \times 6, donc 42 est
4. 35 n'est pas divisible par
PropriétésCritères de divisibilité d'un nombre entier
Un nombre entier est divisible :1. par 2 si le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
2. par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
3. par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5.
4. par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
5. par 10 si le chiffre des unités est 0.
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Méthode
Comparer deux fractions
1. On peut comparer directement deux fractions de même dénominateur ou deux fractions de même numérateur : \frac{2}{7}<\frac{5}{7} et \frac{2}{3}>\frac{2}{7}.
2. On peut comparer à un troisième nombre (souvent 1 ou 0,5) : \frac{9}{7}>1 et \frac{5}{6}<1, donc \frac{9}{7}>\frac{5}{6}.
3. On peut calculer le quotient (exact ou arrondi) : \frac{37}{7} \approx 5,3 et \frac{72}{16}=4,5, donc \frac{37}{7}>\frac{72}{16}.
Propriété
La valeur d'une fraction ne change pas lorsqu'on multiplie (ou lorsqu'on divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. Autrement dit, pour tous nombres a, b et k avec b \neq 0 et k \neq 0 :
\frac{a}{b}=\frac{a \times k}{b \times k}=\frac{a \div k}{b \div k} .
Exemples à recopier et compléter :
\frac{3}{7}=\frac{3 \times 4}{7 \times \ldots}=\frac{\ldots}{\ldots}
\frac{14}{6}=\frac{14 \div \ldots}{6 \div 2}=\frac{\ldots}{\ldots}
\frac{2}{3}=\frac{2 \times \ldots}{3 \times \ldots}=\frac{10}{15}
Méthode
Additionner ou soustraire deux fractions
Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut les écrire avec le même dénominateur. On effectue ensuite l'opération avec les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.
Si a, b et c sont trois entiers avec c \neq 0, alors \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c} et \frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}.
Exemples à recopier et compléter :
{\color{red}{\frac{7}{8}}} + {\color{blue}{\frac{5}{6}}} = {\color{red}{\frac{7 \times \ldots}{8 \times 3}}} + {\color{blue}{\frac{5 \times \ldots}{6 \times 4}}} = \frac{\ldots}{\ldots} + \frac{\ldots}{\ldots} = \frac{\ldots}{\ldots}
{\color{red}{\frac{1}{4}}} + {\color{blue}{\frac{1}{5}}} = {\color{red}{\frac{1 \times \ldots}{4 \times 5}}} + {\color{blue}{\frac{1 \times \ldots}{5 \times 4}}} = \frac{\ldots}{\ldots} + \frac{\ldots}{\ldots} = \frac{\ldots}{\ldots}
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Effectuer des divisions décimales
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Méthode
Effectuer une division décimale
Pour effectuer la division de deux nombres décimaux a et b, avec b \neq 0, on l'écrit sous la forme \frac{a}{b}.
On transforme ensuite cette écriture pour avoir un dénominateur entier, puis on calcule la division obtenue.
Exemple à compléter :
0,15 \div 0,3 = \frac{\ldots}{\ldots} = \frac{\ldots {\color{blue}\times 10}}{\ldots {\color{blue}\times 10}} = \frac{\ldots}{\ldots} = \ldots \div \ldots = \ldots
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Propriétés calculatoires
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Propriété Propriétés opératoires
Dans un calcul, on priorise les opérations entre parenthèses, puis les multiplications et les divisions (de gauche à droite) et enfin les additions et les soustractions (de gauche à droite).
Exemple à compléter :
La dernière opération effectuée étant une addition, on peut dire que \mathrm{A} est une somme.
\mathrm{A} = 10 + 6 \times \underbrace{(2+3)}_{\substack{\text { parenthèses } \\ \text { prioritaires }}} = 10 + \underbrace{6 \times \ldots}_{\substack{\text { multiplication } \\ \text { prioritaire }}} = 10 + \ldots = \ldots
La dernière opération effectuée étant une addition, on peut dire que \mathrm{A} est une somme.
Définitions
- Développer un produit, c'est le transformer en une somme ou une différence.
- Factoriser une somme ou une différence, c'est la transformer en un produit.
Exemple à compléter :
\mathrm{A} = {\color{blue}27} \times 98 = {\color{blue}27} \times(100 \ {\color{red}-}\ 2) = {\color{blue}27} \times \ldots {\color{red}-}\ {\color{blue}27} \times \ldots = \ldots - \ldots = \ldots
\mathrm{B} = {\color{blue}13} \times 38\ {\color{red}+}\ {\color{blue}13} \times 62 = {\color{blue}13} \times (38\ {\color{red}+}\ 62) = {\color{blue}13} \times \ldots = \ldots
\mathrm{A} = {\color{blue}27} \times 98 = {\color{blue}27} \times(100 \ {\color{red}-}\ 2) = {\color{blue}27} \times \ldots {\color{red}-}\ {\color{blue}27} \times \ldots = \ldots - \ldots = \ldots
\mathrm{B} = {\color{blue}13} \times 38\ {\color{red}+}\ {\color{blue}13} \times 62 = {\color{blue}13} \times (38\ {\color{red}+}\ 62) = {\color{blue}13} \times \ldots = \ldots
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Puissances
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Définition
On considère un nombre a. Pour écrire plus simplement, on note {a \times a = a^2}.
Le nombre a^2 se lit « a au carré » et le nombre a^3 se lit « a au cube ».Les nombres a^2 et a^3 sont des puissances de a et le 2 et le 3 sont des exposants.
Exemples à compléter :
• 8^2 =
• 10^3 =
Remarque : Pour calculer une aire, on multiplie deux longueurs entre elles. Si elles sont toutes deux exprimées en cm, l'aire est alors exprimée en cm^2 puisque cm \times cm = cm^2.
Propriété
Les puissances sont prioritaires devant les multiplications et les divisions.
Exemples à compléter :
• 3 \times 2^2 =
• 3 + 2^2 \times 5 = 3\ +
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