Modélisation quadratique

Une fonction f définie sur \mathbb{R} est une fonction polynôme du second degré lorsqu'il existe trois réels a, b et c, avec a \ne 0, pour lesquels, pour tout réel x, f(x) = ax^2 + bx + c.

1. Un polynôme du second degré écrit sous la forme ax^2 + bx + c avec a \neq 0 est écrit sous forme développée.

2. La fonction carré étudiée en classe de seconde est une fonction polynôme du second degré particulière en posant a = 1, b = 0 et c = 0.

• On peut réécrire f_1(x) sous la forme ax^2 + bx + c en posant a = 1, b = -5 et c = 1. Donc f_1 est une fonction polynôme du second degré.


• On peut réécrire f_2(x) sous la forme ax^2 + bx + c en posant a = -1, b = 0 et c = 2. Donc f_2 est une fonction polynôme du second degré.


• On peut réécrire f_3(x) sous la forme ax^2 + bx + c en commençant par développer l'expression : (x + 2)^2 = x^2 + 2 \times 2x + 2^2 = x^2 + 4x + 4. On a pu réécrire f_3(x) sous la forme ax^2 + bx + c en posant a = 1, b = 4 et c = 4. Donc f_3 est une fonction polynôme du second degré.

1. Si ce n'est pas déjà fait, on commence par développer et réduire l'expression.

2. On identifie ensuite les coefficients a, b et c de ax^2 + bx + c. On prend garde aux signes de ces coefficients.

La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est appelée une parabole.

Exemples :

Soit \mathcal{P} la parabole représentant une fonction polynôme du second degré. Alors \mathcal{P} admet un axe de symétrie vertical.

Soit f la fonction polynôme de second degré définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^2 - 4x + 3. On note \mathcal{P} sa représentation graphique.
Déterminer l'axe de symétrie de \mathcal{P}.

La fonction f est une fonction polynôme du second degré donc sa parabole représentative admet un axe de symétrie.
Ici, on pose c = 3 et on cherche les deux points de la parabole d'ordonnée égale à 3.
On résout donc : f(x) = 3.
Or f(x) = 3 \iff x^2 - 4x + 3 = 3
\iff x^2 - 4x = 0
\iff x(x - 4) = 0
\iff x = 0 \text{ ou } x = 4

Les points de la parabole d'abscisses 0 et 4 ont la même ordonnée (qui vaut 3).
L'axe de symétrie est donc la droite d'équation x = \frac{0 + 4}{2}, soit x = 2.

1. L'axe de symétrie étant une droite verticale, il admet une équation de la forme x = k.
2. On doit trouver deux points de la parabole situés à même ordonnée.
3. La symétrie axiale impose que l'axe de symétrie passe par le milieu des abscisses des deux points trouvés.
4. En pratique, en notant le polynôme du second degré sous la forme f(x) = ax^2 + bx + c, on cherche souvent à résoudre l'équation f(x) = c pour trouver les deux points de la parabole d'ordonnée c.

On a démontré lors de la méthode précédente que cette parabole admet un axe de symétrie d'équation x = 2.
Or : f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.
Donc le sommet de la parabole a pour coordonnées (2 ; -1).

On a déjà déterminé les coordonnées du sommet de la parabole : (2 ; -1). Or a = 1 > 0 donc la fonction est décroissante puis croissante.

1. On détermine les coordonnées du sommet de la parabole associée à la fonction polynôme du second degré.

2. On identifie le signe du coefficient a pour obtenir le sens de variation de la fonction.

3. On construit le tableau de variations.

Soit f un polynôme du second degré. Une racine de f est une valeur d'annulation de f.

Soit f un polynôme du second degré. Soient a, b et c les trois réels tels que, pour tout réel x, f(x) = ax² + bx + c.
Le polynôme f peut :

• ne pas admettre de racine réelle ;
• admettre une seule racine réelle x₀ et f admet alors une forme factorisée : f(x) = a(x - x₀)² ;
• admettre deux racines réelles distinctes x₁ et x₂ et f admet alors une forme factorisée : f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) ;