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p. 1-9

Partie 1 : Analyse

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Ch. 1
Suites

Ch. 2
Fonctions

Ch. 3
Dérivation

Partie 2 : Statistiques et probabilités

Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5
Variables aléatoires

Automatismes

Partie 3 : Géométrie

Ch. 6
Trigonométrie

Ch. 7
Produit scalaire

Ch. 8
Nombres complexes

Partie 4 : Analyse

Ch. 9
Compléments sur la dérivation

Ch. 10
Primitives

Révisions Genially

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Chapitre 1

Cours 3

Suites géométriques

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A
Définition et représentation graphique

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Définition

Une suite numérique à termes strictement positifs

(u_{n})

est une suite géométrique lorsqu'il existe un réel

q

tel que, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = q \times u_{n}

.

Le nombre

q

est appelé la raison de la suite géométrique

(u_{n})

.

On a schématiquement :

u_{0} ⟶ \times q u_{1} ⟶ \times q u_{2} ⟶ \times q \dots ⟶ \times q u_{n} ⟶ \times q u_{n + 1} ⟶ \times q \dots

Remarque

On se limite ici aux suites géométriques à termes strictement positifs.

Notation

La raison d'une suite géométrique est généralement notée

q

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Exemple

Soit

(u_{n})

une suite vérifiant, pour tout entier naturel

n

, la relation de récurrence

u_{n + 1} = 6 u_{n}

.
La suite

(u_{n})

est alors une suite géométrique de raison

q = 6

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Définition

On dit que le nuage de points associé à la représentation graphique d'une suite géométrique témoigne d'une croissance (ou décroissance) exponentielle.

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Application et méthode - 6

Représenter graphiquement les termes d'une suite géométrique

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Énoncé

Calculer, puis représenter, les cinq premiers termes de la suite géométrique

(u_{n})

de raison

3

et de premier terme

u_{0} = \frac{2}{3}

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Méthode

Une suite géométrique $(u_{n})$ vérifie une relation de récurrence de la forme $u_{n + 1} = q u_{n}$ .

On identifie la raison $q$ de la suite ainsi que son premier terme $u_{0}$ .

On utilise ensuite la relation de récurrence afin de calculer les quatre autres termes.

On place enfin les points de coordonnées $(n; u_{n})$ .

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Solution

La suite

(u_{n})

étant géométrique de raison

3

, on peut écrire, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = 3 u_{n}

.
On utilise alors la relation de récurrence.
On a déjà

u_{0} = \frac{2}{3}

.
Ainsi,

u_{1} = 3 u_{0} = 3 \times \frac{2}{3} = 2

.
On a donc

u_{2} = 3 u_{1} = 3 \times 2 = 6

.
Ensuite,

u_{3} = 3 \times u_{2} = 3 \times 6 = 18

.
Enfin,

u_{4} = 3 \times u_{3} = 3 \times 18 = 54

.
Ainsi, les points de coordonnées

(0; \frac{2}{3})

;

(1; 2)

;

(2; 6)

;

(3; 18)

(4; 54)

appartiennent au nuage de points représentant la suite.

Graphique montrant une suite géométrique : points rouges sur quadrillage.

Pour s'entraîner : exercices

48 et 49 p. 25

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B
Sens de variation d'une suite géométrique

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Propriété

Soit

(u_{n})

une suite géométrique strictement positive de raison

q > 0

Si $q > 1$ , alors la suite $(u_{n})$ est strictement croissante.
Si $0 < q < 1$ , alors la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.
Si $q = 1$ , alors la suite $(u_{n})$ est constante.

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Démonstration

Soit

(u_{n})

une suite géométrique à termes strictement positifs de raison

q

.

La suite vérifie donc la relation de récurrence suivante :

u_{n + 1} = q u_{n}

, d'où

q = \frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

Si $q > 1$ , alors $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} > 1$ . Les termes étant strictement positifs, on obtient $u_{n + 1} > u_{n}$ .
La suite $(u_{n})$ est donc strictement croissante.

Si $0 < q < 1$ , alors $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} < 1$ . Les termes étant strictement positifs, on obtient $u_{n + 1} < u_{n}$ .
La suite $(u_{n})$ est donc strictement décroissante.

Si $q = 1$ , alors $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = 1$ , soit $u_{n + 1} = u_{n}$ . La suite $(u_{n})$ est donc constante.

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Exemples

1. Soit

(u_{n})

une suite géométrique de raison

3

vérifiant

u_{0} > 0

.
On a alors, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = 3 u_{n}

.
La raison

3

étant strictement supérieure à

1

, on en déduit que la suite

(u_{n})

est strictement croissante.
2. Soit

(v_{n})

une suite géométrique de raison

0, 4

vérifiant

v_{0} > 0

.
On a alors, pour tout entier naturel

n

v_{n + 1} = 0, 4 v_{n}

.
La raison

0, 4

étant strictement comprise entre

0

1

, on en déduit que la suite

(v_{n})

est strictement décroissante.

Remarque

Multiplier une quantité par

0, 4

revient à lui retirer

60

%. Il est donc logique d'obtenir une suite décroissante.

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Application et méthode - 7

Déterminer les variations d'une suite géométrique

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Énoncé

Déterminer le sens de variation des suites

(u_{n})

(v_{n})

définies par les relations suivantes.

1.

u_{n + 1} = 1, 5 u_{n} et u_{0} = 1

.
2.

v_{n + 1} = \frac{2}{5} v_{n} et v_{0} = 3

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Solution

1. On sait que, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = 1, 5 u_{n}

.
Ainsi, la suite

(u_{n})

est géométrique de raison

1, 5

avec

u_{0} > 0

.
Or

1, 5 > 1

, donc la suite

(u_{n})

est strictement croissante.

2. On sait que, pour tout entier naturel

n

v_{n + 1} = \frac{2}{5} v_{n}

.
Ainsi, la suite

(v_{n})

est géométrique de raison

\frac{2}{5}

avec

v_{0} > 0

.
Or,

0 < \frac{2}{5} < 1

, donc la suite

(v_{n})

est strictement décroissante.

Pour s'entraîner : exercices

52 et 53 p. 25

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Méthode

On écrit la relation de récurrence $u_{n + 1} = q u_{n}$ .
On identifie la raison $q$ de la suite.
On compare $q$ à $1$ et on en déduit si la suite est strictement croissante (si $q > 1$ ), strictement décroissante (si $0 < q < 1$ ) ou constante (si $q = 1$ ).

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Ch. 1Suites

Ch. 2Fonctions

Ch. 3Dérivation

Ch. 4Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

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Automatismes

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Ch. 7Produit scalaire

Ch. 8Nombres complexes

Ch. 9Compléments sur la dérivation

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Révisions Genially

Suites géométriques

A Définition et représentation graphique

Représenter graphiquement les termes d'une suite géométrique

Méthode

B Sens de variation d'une suite géométrique

Démonstration

Déterminer les variations d'une suite géométrique

Méthode

Ch. 1
Suites

Ch. 2
Fonctions

Ch. 3
Dérivation

Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

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Variables aléatoires

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Trigonométrie

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Produit scalaire

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Nombres complexes

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Compléments sur la dérivation

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Primitives

A
Définition et représentation graphique

B
Sens de variation d'une suite géométrique