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p. 1-9

Partie 1 : Analyse

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Ch. 1
Suites

Ch. 2
Fonctions

Ch. 3
Dérivation

Partie 2 : Statistiques et probabilités

Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5
Variables aléatoires

Automatismes

Partie 3 : Géométrie

Ch. 6
Trigonométrie

Ch. 7
Produit scalaire

Ch. 8
Nombres complexes

Partie 4 : Analyse

Ch. 9
Compléments sur la dérivation

Ch. 10
Primitives

Révisions Genially

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Chapitre 1

Cours 2

Suites arithmétiques

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Faites défiler pour voir la suite.

A
Définition et représentation graphique

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Définition

Une suite

(u_{n})

est une suite arithmétique lorsqu'il existe un nombre réel

r

tel que, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = u_{n} + r

.

Le nombre

r

est appelé raison de la suite arithmétique.

On a schématiquement :

u_{0} ⟶ + r u_{1} ⟶ + r u_{2} ⟶ + r \dots ⟶ + r u_{n} ⟶ + r u_{n + 1} ⟶ + r \dots

Notation

La raison d'une suite arithmétique est généralement notée

r

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Exemples

1. Soit

(u_{n})

une suite vérifiant, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = u_{n} + 3

.
La suite

(u_{n})

est une suite arithmétique de raison

r = 3

.

2. Soit

(v_{n})

une suite vérifiant, pour tout entier naturel

n

v_{n + 1} = v_{n} - 2

.
La suite

(v_{n})

est une suite arithmétique de raison

r = - 2

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Propriété

Soit

(u_{n})

une suite arithmétique de raison

r

.

Alors la représentation graphique de

(u_{n})

correspond à un nuage de points alignés.

Remarque

On parle alors de croissance (ou décroissance) linéaire.

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Application et méthode - 4

Représenter les termes d'une suite arithmétique

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Énoncé

Calculer, puis représenter, les cinq premiers termes de la suite arithmétique

(u_{n})

de raison

5

et de premier terme

u_{0} = - 7

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Méthode

Une suite arithmétique $(u_{n})$ admet une relation de récurrence de la forme $u_{n + 1} = u_{n} + r$ .

Ici, la raison de la suite est $r = 5$ .

On utilise ensuite la relation de récurrence afin de calculer les quatre autres termes.

On place dans un repère les points de coordonnées $(n; u_{n})$ .

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Solution

On a

u_{0} = - 7

, puis

u_{1} = u_{0} + 5 = - 7 + 5 = - 2

.
Ainsi,

u_{2} = u_{1} + 5 = - 2 + 5 = 3

.
On a donc

u_{3} = u_{2} + 5 = 3 + 5 = 8

.
Enfin,

u_{4} = u_{3} + 5 = 8 + 5 = 13

.
Ainsi, les points de coordonnées

(0; - 7)

;

(1; - 2)

;

(2; 3)

;

(3; 8)

(4; 13)

appartiennent au nuage de points représentant la suite.

Représenter les termes d'une suite arithmétique

Pour s'entraîner : exercices

47 p. 25

79 p. 28

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B
Sens de variation d'une suite arithmétique

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Propriété

Soit

(u_{n})

une suite arithmétique de raison

r

Si $r > 0$ , alors la suite $(u_{n})$ est strictement croissante.

Si $r < 0$ , alors la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.

Si $r = 0$ , alors la suite $(u_{n})$ est constante.

Remarque

Cette propriété est vraie, quelle que soit la valeur du premier terme

u_{0}

de la suite

(u_{n})

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Démonstration

La suite

(u_{n})

étant arithmétique de raison

r

, on peut écrire, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = u_{n} + r

. Ainsi, on en déduit que

u_{n + 1} - u_{n} = r

Si $r > 0$ , alors $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ . La suite $(u_{n})$ est donc croissante.

Si $r < 0$ , alors $u_{n + 1} - u_{n} < 0$ . La suite $(u_{n})$ est donc décroissante.

Si $r = 0$ , alors $u_{n + 1} - u_{n} = 0$ . La suite $(u_{n})$ est donc constante.

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Application et méthode - 5

Déterminer les variations d'une suite arithmétique

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Énoncé

Déterminer les variations des suites arithmétiques

(u_{n})

(v_{n})

définies par les relations suivantes.

1.

u_{n + 1} = u_{n} + 1 et u_{0} = 6

.

2.

v_{n + 1} = v_{n} - 4 et v_{0} = 0

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Méthode

On écrit la relation de récurrence $u_{n + 1} = u_{n} + r$ .

On identifie la raison $r$ de la suite.

En étudiant le signe de la raison, on en déduit si la suite est croissante (raison positive), décroissante (raison négative) ou constante (raison nulle).

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Solution

(u_{n})

est une suite arithmétique de raison

1 > 0

(u_{n})

est donc croissante.

2.

(v_{n})

est une suite arithmétique de raison

- 4 < 0

(v_{n})

est donc décroissante.

Pour s'entraîner : exercices

45 et 46 p. 25

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Ch. 8Nombres complexes

Ch. 9Compléments sur la dérivation

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Suites arithmétiques

A Définition et représentation graphique

Représenter les termes d'une suite arithmétique

Méthode

B Sens de variation d'une suite arithmétique

Démonstration

Déterminer les variations d'une suite arithmétique

Méthode

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Suites

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Fonctions

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Dérivation

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Trigonométrie

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Produit scalaire

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Primitives

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Définition et représentation graphique

B
Sens de variation d'une suite arithmétique