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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 1
Cours 2
Suites arithmétiques
18 professeurs ont participé à cette page
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A
Définition et représentation graphique
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Définition
Une suite (u_n) est une suite arithmétique lorsqu'il existe un nombre réel r tel que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=u_{n}+r.
Le nombre r est appelé raison de la suite arithmétique.
On a schématiquement : u_{0} \stackrel{+r}{\longrightarrow} u_{1} \stackrel{+r}{\longrightarrow} u_{2} \stackrel{+r}{\longrightarrow} \ldots \stackrel{+r}{\longrightarrow} u_{n} \stackrel{+r}{\longrightarrow} u_{n+1} \stackrel{+r}{\longrightarrow} \ldots
Le nombre r est appelé raison de la suite arithmétique.
On a schématiquement : u_{0} \stackrel{+r}{\longrightarrow} u_{1} \stackrel{+r}{\longrightarrow} u_{2} \stackrel{+r}{\longrightarrow} \ldots \stackrel{+r}{\longrightarrow} u_{n} \stackrel{+r}{\longrightarrow} u_{n+1} \stackrel{+r}{\longrightarrow} \ldots
Notation
La raison d'une suite arithmétique est généralement notée r.
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Exemples
1. Soit (u_n) une suite vérifiant, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=u_{n}+3.
La suite (u_n) est une suite arithmétique de raison r = 3.
2. Soit (v_n) une suite vérifiant, pour tout entier naturel n, v_{n+1}=v_{n}-2.
La suite (v_n) est une suite arithmétique de raison r = -2.
La suite (u_n) est une suite arithmétique de raison r = 3.
2. Soit (v_n) une suite vérifiant, pour tout entier naturel n, v_{n+1}=v_{n}-2.
La suite (v_n) est une suite arithmétique de raison r = -2.
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Propriété
Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r.
Alors la représentation graphique de (u_n) correspond à un nuage de points alignés.
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Remarque
On parle alors de croissance (ou décroissance) linéaire.
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Application et méthode - 4
Représenter les termes d'une suite arithmétique
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Énoncé
Calculer, puis représenter, les cinq premiers termes de la suite arithmétique (u_n) de raison 5 et de premier terme u_0=-7.
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- Une suite arithmétique (u_n) admet une relation de récurrence de la forme u_{n+1}=u_{n}+r.
- Ici, la raison de la suite est r = 5.
- On utilise ensuite la relation de récurrence afin de calculer les quatre autres termes.
- On place dans un repère les points de coordonnées \left(n \; ; u_{n}\right).
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Solution
On a u_0=-7, puis u_{1}=u_{0}+5=-7+5=-2.
Ainsi, u_{2}=u_{1}+5=-2+5=3.
On a donc u_{3}=u_{2}+5=3+5=8.
Enfin, u_{4}=u_{3}+5=8+5=13.
Ainsi, les points de coordonnées (0 \; ;-7) ; (1 \; ;-2) ; (2 \; ; 3) ; (3 \; ; 8) et (4 \; ; 13) appartiennent au nuage de points représentant la suite.
Ainsi, u_{2}=u_{1}+5=-2+5=3.
On a donc u_{3}=u_{2}+5=3+5=8.
Enfin, u_{4}=u_{3}+5=8+5=13.
Ainsi, les points de coordonnées (0 \; ;-7) ; (1 \; ;-2) ; (2 \; ; 3) ; (3 \; ; 8) et (4 \; ; 13) appartiennent au nuage de points représentant la suite.
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B
Sens de variation d'une suite arithmétique
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Propriété
Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r.
- Si r \gt 0, alors la suite (u_n) est strictement croissante.
- Si r \lt 0, alors la suite (u_n) est strictement décroissante.
- Si r = 0, alors la suite (u_n) est constante.
Remarque
Cette propriété est vraie, quelle que soit la valeur du premier terme u_0 de la suite (u_n).
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La suite (u_n) étant arithmétique de raison r, on peut écrire, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=u_{n}+r. Ainsi, on en déduit que u_{n+1}-u_{n}=r.
- Si r\gt 0, alors u_{n+1}-u_n \gt 0. La suite (u_n) est donc croissante.
- Si r\lt 0, alors u_{n+1}-u_n \lt 0. La suite (u_n) est donc décroissante.
- Si r= 0, alors u_{n+1}-u_n = 0. La suite (u_n) est donc constante.
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Application et méthode - 5
Déterminer les variations d'une suite arithmétique
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Énoncé
Déterminer les variations des suites arithmétiques (u_n) et (v_n) définies par les relations suivantes.
1. u_{n+1}=u_{n}+1 \text { et } u_{0}=6.
2. v_{n+1}=v_{n}-4 \text { et } v_{0}=0.
1. u_{n+1}=u_{n}+1 \text { et } u_{0}=6.
2. v_{n+1}=v_{n}-4 \text { et } v_{0}=0.
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- On écrit la relation de récurrence u_{n+1}=u_{n}+r.
- On identifie la raison r de la suite.
- En étudiant le signe de la raison, on en déduit si la suite est croissante (raison positive), décroissante (raison négative) ou constante (raison nulle).
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Solution
1. (u_n) est une suite arithmétique de raison 1 \gt 0.
(u_n) est donc croissante.
2. (v_n) est une suite arithmétique de raison -4 \lt 0.
(v_n) est donc décroissante.
Pour s'entraîner : exercices
(u_n) est donc croissante.
2. (v_n) est une suite arithmétique de raison -4 \lt 0.
(v_n) est donc décroissante.
Pour s'entraîner : exercices
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