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p. 1-9

Partie 1 : Analyse

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Ch. 1
Suites

Ch. 2
Fonctions

Ch. 3
Dérivation

Partie 2 : Statistiques et probabilités

Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5
Variables aléatoires

Automatismes

Partie 3 : Géométrie

Ch. 6
Trigonométrie

Ch. 7
Produit scalaire

Ch. 8
Nombres complexes

Partie 4 : Analyse

Ch. 9
Compléments sur la dérivation

Ch. 10
Primitives

Révisions Genially

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Chapitre 1

Cours 1

Suites numériques

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A
Définitions

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Définition

Une suite numérique

u

, ou

(u_{n})

, est une fonction dont l'ensemble de définition est

N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; \dots}

ou une de ses parties.

À la variable entière

n

, on associe le nombre

u (n)

appelé terme de rang

n

de la suite

u

.
On a donc

u

n \mapsto u (n)

.

On note souvent

u_{n}

le terme de rang

n

Remarque

Lorsque la suite

u

est définie sur

N

, le premier terme est le terme d'indice

0

, soit

u_{0}

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Exemple

Soit

(u_{n})

une suite définie sur

N

dont les premiers termes sont :

2; - 1; 3, 5

\frac{1}{3}

.

On a alors

u (0) = 2

u (1) = - 1

u (2) = 3, 5

u (3) = \frac{1}{3}

.

On peut également écrire

u_{0} = 2

u_{1} = - 1

u_{2} = 3, 5

u_{3} = \frac{1}{3}

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Définitions

Dans le cadre des suites étudiées cette année, nous rencontrerons deux types de définition pour définir une suite

(u_{n})

par son terme général (ou écriture fonctionnelle) : il existe une fonction $f$ telle que, pour tout $n$ , $u_{n} = f (n)$ ;
par récurrence : dans ce cas, le terme suivant est défini par rapport au(x) terme(s) qui le précède(nt) et son (ou ses) premier(s) terme(s).

Remarques

Pour une suite $(u_{n})$ définie par écriture fonctionnelle, $u_{n}$ s'exprime directement en fonction de $n$ . On peut donc directement calculer n'importe quel terme.

Pour une suite $(u_{n})$ définie par récurrence, il est nécessaire de connaître un terme de la suite pour calculer les autres.

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Exemples

1. La suite

(u_{n})

définie pour tout entier naturel

n

par

u_{n} = 2 n - 8

est une suite définie par son terme général.
2. La suite

(v_{n})

définie par

v_{0} = 5

et la relation

v_{n + 1} = 2 v_{n} - 8

, valable pour tout entier naturel

n

, est une suite définie par récurrence.

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Application et méthode - 1

Calculer les termes d'une suite

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Énoncé

Déterminer les trois premiers termes des suites

(u_{n})

(v_{n})

définies par les relations suivantes.

1.

u_{n} = n^{2} + 5 n - 3

.
2.

v_{0} = 2

et la relation, valable pour tout

n \in N, v_{n + 1} = 3 v_{n} + 1

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Solution

1. La suite

(u_{n})

définie sur

N

par

u_{n} = n^{2} + 5 n - 3

est définie par écriture fonctionnelle avec

f (n) = n^{2} + 5 n - 3

.
On a donc

u_{0} = 0^{2} + 5 \times 0 - 3 = - 3; u_{1} = 1^{2} + 5 \times 1 - 3 = 3

u_{2} = 2^{2} + 5 \times 2 - 3 = 11

.

2. La suite

(v_{n})

est définie par récurrence.
On a déjà

v_{0} = 2

, puis la relation de récurrence donne :

v_{1} = 3 \times v_{0} + 1 = 3 \times 2 + 1 = 7

puis

v_{2} = 3 \times v_{1} + 1 = 3 \times 7 + 1 = 22

.

Pour s'entraîner : exercices

24 à 31 p. 24

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Méthode

On repère d'abord si la suite est définie par son terme général ou si elle est définie par récurrence.

1. La première suite est définie par son terme général : on a une expression de

u_{n}

en fonction de

n

. On remplace

n

par les valeurs voulues pour déterminer les termes demandés.

2. La seconde suite est définie par récurrence.
Ici, cette relation peut se traduire ainsi à l'oral : « terme suivant

= 3 \times

terme actuel

+ 1

».
Attention, cette formulation n'a pas sa place sur une copie à l'écrit.

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B
Sens de variation d'une suite

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Définitions

Soit

(u_{n})

une suite numérique.

La suite $(u_{n})$ est croissante lorsque, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} ⩾ u_{n}$ , c'est-à-dire lorsque ses termes sont de plus en plus grands.

La suite $(u_{n})$ est décroissante lorsque, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ , c'est-à-dire lorsque ses termes sont de moins en moins grands.

Remarque

Lorsque les inégalités sont strictes, on parle alors de stricte (dé)croissance.

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Exemples

1. Soit

(u_{n})

une suite vérifiant, pour tout entier naturel

n

, la relation de récurrence

u_{n + 1} = u_{n} - 4

.
Comme

u_{n + 1} = u_{n} - 4

, on en déduit que

u_{n + 1} < u_{n}

et donc que la suite

(u_{n})

est strictement décroissante.
2. Soit

(v_{n})

une suite vérifiant, pour tout entier naturel

n

v_{n + 1} = v_{n} + n^{2}

.
On sait qu'un carré est toujours positif ou nul. Ainsi, puisque

v_{n + 1} = v_{n} + n^{2}

, on déduit que

v_{n + 1} ⩾ v_{n}

et donc que la suite

(v_{n})

est croissante.

Remarque

Il existe des suites qui ne sont ni croissantes, ni décroissantes.
Par exemple, les termes de la suite

(u_{n})

définie, pour tout entier naturel

n

, par

u_{n} = (- 1)^{n}

valent successivement

1

, puis

- 1

, puis

1

, puis

- 1

, etc.

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Application et méthode - 2

Déterminer le sens de variation d'une suite

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Énoncé

Étudier le sens de variation de la suite

(v_{n})

définie, pour tout entier naturel

n

, par

v_{n} = - 2 n + 3

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Solution

On calcule, pour tout entier naturel

n

, la différence

v_{n + 1} - v_{n}

.
Ici,

v_{n + 1} - v_{n} = [- 2 (n + 1) + 3] - [- 2 n + 3] = - 2 n - 2 + 3 + 2 n - 3 = - 2

.
Ainsi,

v_{n + 1} - v_{n} < 0

et donc

v_{n + 1} < v_{n}

.
La suite

(v_{n})

est donc strictement décroissante.

Pour s'entraîner : exercices

32 à 39 p. 24

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Méthode

Pour déterminer le sens de variation de la suite

(v_{n})

on calcule, pour tout $n$ , la différence $v_{n + 1} - v_{n}$ ;

on étudie le signe de la différence ;

si la différence est positive, alors la suite $(v_{n})$ est croissante, si la différence est négative, alors la suite $(v_{n})$ est décroissante.

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C
Représentation graphique d'une suite

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Afin de mieux visualiser les variations d'une suite numérique

(u_{n})

, mais également la notion de limite qui sera au programme de la classe de Terminale, on peut représenter les termes de cette suite sur un graphique.

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Définition

Soit

(u_{n})

une suite.
Dans un repère, la représentation graphique de la suite

(u_{n})

est l'ensemble des points de coordonnées

(n; u_{n})

Représentation graphique de la suite (un)

Remarque

Ce que l'on observe graphiquement sur les premiers termes n'est pas à généraliser pour l'ensemble de la suite mais permet d'émettre une conjecture.

Remarque

La représentation graphique obtenue est un nuage de points. Ce n'est pas une courbe.

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Application et méthode - 3

Représenter une suite

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Énoncé

Représenter sur un graphique les quatre premiers termes des suites

(v_{n})

(w_{n})

définies par les relations suivantes.

1.

v_{n} = n^{2} - \frac{1}{2} n + 1

.
2.

w_{n + 1} = (w_{n} - 2)^{2} - 1

w_{0} = 1

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Solution

1. On calcule les quatre premiers termes de la suite

(v_{n}) : v_{0} = 1; v_{1} = \frac{3}{2}; v_{2} = 4

v_{3} = \frac{17}{2}

.
On place alors quatre points de coordonnées

(0; 1); (1; \frac{3}{2}); (2; 4)

(3; \frac{17}{2})

Graphique: points de données sur plan cartésien. Quatre points rouges indiquent des coordonnées.

2. De même, on calcule les quatre premiers termes de la suite

(w_{n}) : w_{0} = 1; w_{1} = 0; w_{2} = 3

w_{3} = 0

.
On place alors quatre points de coordonnées

(0; 1); (1; 0); (2; 3)

(3; 0)

Graphique : points sur plan cartésien. Coordonnées : (0,1), (1,0), (2,3), (3,0).

Pour s'entraîner : exercices

40 p. 25

60 p. 26

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Méthode

On détermine les quatre premiers termes de chacune des suites.

On place les couples $(n; v_{n})$ et $(n; w_{n})$ dans un repère.

Les nuages de points obtenus sont les représentations graphiques des deux suites. On ne relie surtout pas les points !

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Ch. 1Suites

Ch. 2Fonctions

Ch. 3Dérivation

Ch. 4Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5Variables aléatoires

Automatismes

Ch. 6Trigonométrie

Ch. 7Produit scalaire

Ch. 8Nombres complexes

Ch. 9Compléments sur la dérivation

Ch. 10Primitives

Révisions Genially

Suites numériques

A Définitions

Calculer les termes d'une suite

Méthode

B Sens de variation d'une suite

Déterminer le sens de variation d'une suite

Méthode

C Représentation graphique d'une suite

Représenter une suite

Méthode

Ch. 1
Suites

Ch. 2
Fonctions

Ch. 3
Dérivation

Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5
Variables aléatoires

Ch. 6
Trigonométrie

Ch. 7
Produit scalaire

Ch. 8
Nombres complexes

Ch. 9
Compléments sur la dérivation

Ch. 10
Primitives

A
Définitions

B
Sens de variation d'une suite

C
Représentation graphique d'une suite