Suites

Introduire la notion de suite définie par son terme général.

1. Calculer $u(0)$, $u(1)$ et $u(10)$, puis interpréter les résultats dans le cadre de l'exercice.

Remarque

On peut également noter ces nombres $u_0$, $u_1$ et $u_{10}$.

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2. Fort de son succès à cet événement, la municipalité souhaite organiser de nouvelles bourses aux livres dans les années futures.
Au cours des prochaines années, l'entrée coûtera $10$ €, mais le prix de chaque livre sera baissé à $1$ €. On note $v_n$ le prix que paiera un habitant de la commune pour $n$ livres achetés. On a alors $v_n=10+n$.
Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_{10}$, puis interpréter les résultats dans le cadre de l'exercice.

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Une suite définie par une relation fonctionnelle est une suite dont le terme général $\mathbf{u}(\mathbf{n})$, noté également ${\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}$, est exprimé directement en fonction de $\mathbf{n}$. Comment calculer le terme de rang $\mathbf{n}$ de la suite ?

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Comprendre comment définir une suite par récurrence et comment calculer ses termes.

Un professeur des écoles souhaite entraîner ses élèves aux différentes opérations calculatoires.
Il écrit au tableau la suite de nombres suivante : $1\to 3\to 5\to 7\to \dots$
Les élèves doivent déterminer par quelle opération logique on passe d'un terme au suivant.

1. Quelle est cette opération ?

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2. On choisit dans la suite de l'activité d'appeler $u(n)$ la suite dont on a donné les premiers termes.
Que valent alors $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$ ?

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3. Compléter les égalités suivantes : $u_1=u_0+\dots ;u_2=u_1+\dots ;u_3=u_2+\dots$ et $u_4=u_3+\dots$

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4. On note $u_n$ le terme de rang $n$ de la suite et $u_{n+1}$ le terme suivant. Compléter l'égalité : $u_{n+1}=u_n+\dots$

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5. Pour complexifier l'exercice, l'enseignant définit une deuxième suite $(v_n)$ obtenue de la manière suivante : le premier terme vaut $3$ et on passe d'un terme au suivant en multipliant d'abord par $2$ , puis en soustrayant $1$.
a. Déterminer les quatre premiers termes $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$ de cette suite.

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b. Compléter l'égalité : Pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=\dots v_n-\dots$

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Les suites définies dans cette activité sont des suites définies par récurrence.
Comment se calculent les termes d'une telle suite ?

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Caractériser les suites arithmétiques.

1. a. Quelle sera la moyenne de points marqués par ce joueur en 2021 ? En 2022 ? En 2023 ?

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b. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la moyenne de points marqués par le joueur à l'année $2020+n$.
Quelle est la valeur de $u_0$ ? De $u_1$ ? De $u_2$ ?

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c. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+2,1$.
On dit alors que $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $2,1$ et de premier terme $u_0=11,2$.

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2. Placer dans un graphique les points de coordonnées $(n;u_n)$. Que peut-on observer sur le nuage de points ?

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Comment définir une suite arithmétique ? Que peut-on dire de sa représentation graphique ?

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Caractériser les suites géométriques.

En 1985, on estime que la population française hors DROM (départements et régions d'outre-mer) s'élevait environ à 55 284 000 individus. Depuis, on estime que la population française augmente de 0,5 % chaque année.

1. a. Compléter la phrase suivante : « Augmenter une quantité de 0,5 % revient à multiplier cette quantité par … ».

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b. Estimer l'effectif de la population française hors DROM en 1986.

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2. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ l'effectif de la population française hors DROM à l'année $1985+n$.
a. Que représente $u_{n+1}$ ? Comment peut-on calculer $u_{n+1}$ à partir de $u_n$ ?

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On dit que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,005$.

b. Compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il permette de calculer le terme de la suite de rang $n$.

def suite(n):
	u=55284000
		for k in range(n):
    	u = ...
		return u

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c. L'instruction $\mathbf{suite}(35)$ renvoie la valeur 65 828 145, arrondie à l'unité. Interpréter cette valeur dans le cadre de l'exercice.

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Quelle relation de récurrence vérifie une suite géométrique ?

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