Python

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=7$ et la relation, valable pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=0,6u_n+2$.

1. a. Compléter le programme suivant afin que $\mathbf{terme}(\mathbf{n})$ retourne la valeur de $u_n$.

Insérer une formule mathématique

def terme(n):
  u = 7
  for k in range(n) :
    u = ...
  return ...
  

b. Déterminer alors $u_{10}$.

Insérer une formule mathématique

2. On souhaite améliorer le programme afin que l'instruction $\mathbf{terme}(\mathbf{n})$ retourne la liste de valeurs $u_0,u_1,\dots ,u_n$.

a. Si $\mathbf{L}$ désigne une liste, l'instruction $L.append(5)$ aura pour conséquence d'ajouter le nombre $5$ en dernière position de la liste.
Compléter le programme ci-dessous afin qu'il réponde au problème posé.

Insérer une formule mathématique

def liste_des_termes(n) :
  u = 7
  L = [...]
  for k in range(n):
    u = ...
    L.append(u)
  return ...

b. Tester le programme pour $n=10$. Que peut-on conjecturer sur les variations de la suite $(u_n)$ ?

Insérer une formule mathématique

On considère une suite $(u_n)$ dont la fonction $\mathbf{u}$ du programme suivant permet de calculer le terme $u_n$.

from matplotlib.pyplot import plot, show

def u(n):
  u = 5
  for i in range(n):
    u = u*0.4 + 4
  return u

def affiche(liste):
  plot(liste)
  show()

1. a. Par lecture du programme, que vaut $u_0$ ?

Insérer une formule mathématique

b. Quelle est la relation de récurrence vérifiée par $(u_n)$ ?

Insérer une formule mathématique

2. Modifier le programme afin qu'il crée une liste contenant les $50$ premiers termes de la suite.

Aide

On pourra utiliser la commande append présentée à l'

exercice 18

.

Insérer une formule mathématique

3. À l'aide de la fonction $\mathbf{affiche}$, représenter graphiquement les termes de cette suite.

Insérer une formule mathématique

4. Quelle propriété de cette suite peut-on conjecturer ?

Insérer une formule mathématique

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=8$ et la relation, valable pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,5u_n$.

1. a. $(u_n)$ est-elle arithmétique ? Géométrique ? Autre ?

Insérer une formule mathématique

b. Que peut-on dire des variations de la suite $(u_n)$ ?

Insérer une formule mathématique

2. On souhaite déterminer à partir de quelle valeur de $n$ la suite sera inférieure à $0,1$.

a. Compléter la phrase suivante : « Tant que $u_n$ est ... à $0,1$, ce n'est pas le terme que nous cherchons et nous calculons donc le terme suivant. »

Insérer une formule mathématique

b. Compléter alors le programme suivant afin qu'il réponde au problème posé.

Insérer une formule mathématique

def seuil():
  u = 8
  n = 0
  while ...:
    u = 0.5*u
    n = n + 1
  return ...

Un investisseur particulièrement efficace propose un placement permettant à ses clients d'augmenter leur capital de $5$ % par an.
Un de ses clients place $200$ €, puis laisse son argent fructifier.

1. Compléter la fonction $\mathbf{capital}$ afin qu'elle retourne le capital disponible au bout de $\mathbf{n}$ années.

Insérer une formule mathématique

def capital(n):
  c = 200
  for i in range(n):
    c = ...
  return c

2. La fonction $\mathbf{seuil}$ permet de retourner le nombre d'années nécessaires pour que le capital dépasse $2000$ €.

def seuil():
  c = 200
  n = 0
  while c < 2000:
    c = 1.05*c
    n = n + 1
  return n

a. Tester et expliquer ce programme.

Insérer une formule mathématique

b. En modifiant le programme, déterminer le nombre d'années nécessaires afin que le capital dépasse $5000$ €.

Insérer une formule mathématique