Python

On considère la suite (u_n) définie par u_0=7 et la relation, valable pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=0{,}6 u_{n}+2.

1. a. Compléter le programme suivant afin que \color{purple}\bf{terme(n)} retourne la valeur de u_n.

def terme(n):
  u = 7
  for k in range(n) :
    u = ...
  return ...
  

b. Déterminer alors u_{10}.

2. On souhaite améliorer le programme afin que l'instruction \color{purple}\bf{terme(n)} retourne la liste de valeurs u_0, u_1 , \ldots, u_n.

a. Si \color{purple}\bf{L} désigne une liste, l'instruction \color{purple}\bf{L.append(5)} aura pour conséquence d'ajouter le nombre 5 en dernière position de la liste.
Compléter le programme ci-dessous afin qu'il réponde au problème posé.

def liste_des_termes(n) :
  u = 7
  L = [...]
  for k in range(n):
    u = ...
    L.append(u)
  return ...

b. Tester le programme pour n = 10. Que peut-on conjecturer sur les variations de la suite (u_n) ?

On considère une suite (u_n) dont la fonction \color{purple}\bf{u} du programme suivant permet de calculer le terme u_n.

from matplotlib.pyplot import plot, show

def u(n):
  u = 5
  for i in range(n):
    u = u*0.4 + 4
  return u

def affiche(liste):
  plot(liste)
  show()

1. a. Par lecture du programme, que vaut u_0 ?

b. Quelle est la relation de récurrence vérifiée par (u_n) ?

2. Modifier le programme afin qu'il crée une liste contenant les 50 premiers termes de la suite.

Aide

On pourra utiliser la commande append présentée à l'

exercice 18

.

3. À l'aide de la fonction \color{purple}\bf{affiche}, représenter graphiquement les termes de cette suite.

4. Quelle propriété de cette suite peut-on conjecturer ?

Soit (u_n) la suite définie par u_0=8 et la relation, valable pour tout entier naturel n, u_{n+1}=0{,}5 u_{n}.

1. a. (u_n) est-elle arithmétique ? Géométrique ? Autre ?

b. Que peut-on dire des variations de la suite (u_n) ?

2. On souhaite déterminer à partir de quelle valeur de n la suite sera inférieure à 0{,}1.

a. Compléter la phrase suivante : « Tant que u_n est ... à 0{,}1, ce n'est pas le terme que nous cherchons et nous calculons donc le terme suivant. »

b. Compléter alors le programme suivant afin qu'il réponde au problème posé.

def seuil():
  u = 8
  n = 0
  while ...:
    u = 0.5*u
    n = n + 1
  return ...

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1. Compléter la fonction \color{purple}\bf{capital} afin qu'elle retourne le capital disponible au bout de \color{purple}\bf{n} années.

def capital(n):
  c = 200
  for i in range(n):
    c = ...
  return c

2. La fonction \color{purple}\bf{seuil} permet de retourner le nombre d'années nécessaires pour que le capital dépasse 2 \; 000 €.

def seuil():
  c = 200
  n = 0
  while c < 2000:
    c = 1.05*c
    n = n + 1
  return n

a. Tester et expliquer ce programme.

b. En modifiant le programme, déterminer le nombre d'années nécessaires afin que le capital dépasse 5 \;000 €.