Applications directes

On donne les premiers termes d'une suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}:-7;3;0;2;4;\dots$
Déterminer la valeur de $u_0$ et de $u_3$.

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On donne les premiers termes d'une suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}:12;5;9;-4;\pi ;38;\dots$
Déterminer la valeur de $v_0$, de $v_1$ et de $v_5$.

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Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=n^2-2n+3$.
Calculer les termes $u_0$, $u_5$, $u_{10}$ et $u_{50}$.

Insérer une formule mathématique

Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=\frac{2n}{n+1}$.
Calculer les termes $v_0$, $v_1$, $v_5$ et $v_{10}$.

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Le salaire d'un employé s'élevait à $25000$ € en 2019. Chaque année, on lui octroie une augmentation de $1$ % à laquelle s'ajoutent $300$ €. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on note $u_n$ le salaire, en euro, de l'employé lors de l'année $2019+n$.

1. Que vaut $u_0$ ?

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2. Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=1,01u_n+300$.

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3. Calculer et interpréter $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

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Soit $(v_n)$ la suite vérifiant, pour tout entier naturel $n$ non nul, la relation $v_{n+1}=v_n^2-1$ et de premier terme $v_1=-2$.
Calculer les termes $v_2$, $v_3$, $v_4$, $v_5$ et $v_6$.

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Soit $(w_n)$ la suite vérifiant, pour tout entier naturel $n$, la relation $w_{n+1}=2w_n-n^2+2$ et de premier terme $w_0=3$.
Calculer les termes $w_1$, $w_2$, $w_3$, $w_4$ et $w_5$.

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Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=n+3$.
Calculer les termes $u_0$, $u_5$, $u_{10}$ et $u_{50}$.

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Soit $(v_n)$ la suite vérifiant, pour tout entier naturel $n$, la relation $v_{n+1}=v_n+1$ et de premier terme $v_0=0$.

Calculer les termes $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$.

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On appelle suite de Fibonacci la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $\{\begin{array}{c}{u}_{n+2}=u_{n+1}+u_n\\ u_0=1;u_1=1\end{array}$.

Déterminer les six premiers termes de la suite de Fibonacci.

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Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=-n+2$.
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=-1$, puis préciser le sens de variation de cette suite.

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Soit $(v_n)$ une suite vérifiant, pour tout entier naturel $n$, la relation $v_{n+1}=v_n+5$.
Calculer, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}-v_n$, puis en déduire le sens de variation de cette suite.

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Soit $(w_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par $w_n=n^2-3n-1$.
Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $w_{n+1}-w_n=2n-2$, puis préciser le sens de variation de cette suite.

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Soit $(u_n)$ une suite vérifiant, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n-2n^2-\sqrt{2}$.
Calculer, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n$, puis préciser le sens de variation de cette suite.

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Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=n\times (n+1)+1$, qui représente le nombre de fourmis dans une fourmilière au bout de $n$ minutes.
Calculer, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}-v_n$, puis montrer que la population de fourmis augmente au cours du temps.

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Soit $(v_n)$ une suite telle que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}-v_n=n+7$.
La suite est-elle croissante ? Décroissante ? Autre ?

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Soit $(w_n)$ une suite vérifiant, pour tout entier naturel $n$, la relation $w_{n+1}=w_n+n^2+n$.
Calculer, pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}-w_n$ et préciser le sens de variation de la suite.

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Soit $(u_n)$ une suite telle que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=-3$.
La suite est-elle croissante ? Décroissante ? Autre ?

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Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout entier naturel $n$ et dont les premiers termes sont $1;-2;3;0$ et $1,5$.
Représenter graphiquement les premiers termes de cette suite.

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Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout entier naturel $n$ et dont les premiers termes sont $-1;2;-3;4;0$.

1. La représentation graphique de la suite $(u_n)$ ci-dessous est-elle juste ? Si non, la corriger.

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2. La suite $(u_n)$ peut-elle être arithmétique ?

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Une casserole contient $5$ L d'eau. Cette eau s'évapore de $0,25$ L par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité d'eau, en litre, dans la casserole au bout de $n$ minutes. On a donc $u_0=5$.

1. Justifier que $(u_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera les éléments caractéristiques.

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2. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.

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Une piscine, vide au départ, se remplit de $2{\text{m}}^3$ toutes les heures. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le volume d'eau dans la piscine au bout de $n$ heures, en ${\text{m}}^3$.

1. Justifier que $u_n$ est une suite arithmétique dont on précisera les éléments caractéristiques.

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2. Calculer le volume d'eau dans la piscine au bout d'une heure, de deux heures et de cinq heures.

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Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_0=2$ et $u_{n+1}=2u_n+1$.
La suite est-elle arithmétique ? Si oui, quelle est sa raison et son sens de variation ? Justifier.

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Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_0=-1$ et $v_{n+1}=v_n-2$.
La suite est-elle arithmétique ? Si oui, quelle est sa raison et son sens de variation ? Justifier.

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Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de raison $\frac{1}{4}$ et de premier terme $-\frac{1}{2}$. Soit $(v_n)$ la suite arithmétique de raison $-2$ et de premier terme $3$.

1. Déterminer, puis représenter graphiquement, les cinq premiers termes de ces deux suites.

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2. Étudier le sens de variation des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.

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Soit $(u_n)$ la suite géométrique de raison $3$ et de premier terme $u_0=1$.
Déterminer, puis représenter, les cinq premiers termes de $(u_n)$.

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Soit $(v_n)$ la suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0=3$.
Déterminer, puis représenter, les cinq premiers termes de $(v_n)$.

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La première année, une entreprise fabrique $2000$ claviers d'ordinateur et sa production augmente de $10$ % par an. On note $(w_n)$ la suite représentant le nombre de claviers produits en un an au bout de $n$ années.

1. Justifier que $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

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2. Calculer $w_1$, $w_2$, $w_3$ et $w_4$, puis interpréter ces résultats dans le cadre de l'exercice.

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Un ballon de $4$ L se dégonfle, perdant deux tiers de son volume chaque seconde. Soit $(u_n)$ la suite représentant le volume du ballon, en litre, au bout de $n$ secondes. On a donc $u_0=4$.

1. Justifier que $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$.

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2. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ et interpréter $u_4$.

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Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n$.
La suite est-elle géométrique ? Si oui, quelle est sa raison et son sens de variation ?

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Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_0=10$ et $v_{n+1}=0,6v_n$.
La suite est-elle géométrique ? Si oui, quelle est sa raison et son sens de variation ?

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