Différenciation

Parcours 1 : exercices

54

 ;

56

 ;

60

 ;

66

 ;

73

 ;

79

 ;

80

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88

et

96

Parcours 2 : exercices

61

 ;

62

 ;

68

 ;

76

et

93

Parcours 3 : exercices

63

 ;

67

 ;

69

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78

et

94

1. On donne les premiers termes d'une suite :

7 \;; 5 \;; 3 \;; 1 et -1.

Cette suite peut-elle être arithmétique ?

2. On donne les premiers termes d'une autre suite :

1 \;; 2 \;; 4 \;; 7 et 11.

Cette suite peut-elle être arithmétique ?

Parmi ces suites, indiquer lesquelles sont arithmétiques et, le cas échéant, préciser la raison.

1. u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{3}

2. v_{n+1}=v_{n}+n

3. w_{n+1}=2{,}3 w_{n}^{2}+0{,}5

4. t_{n+1}=t_{n}+\sqrt{2}

Compléter l'algorithme suivant afin qu'il calcule le terme de rang 40 de la suite arithmétique de raison -3 et de premier terme 51.

\boxed{ \begin{array} { r|l } 1 &h;n \leftarrow 0 \\ 2 &h; u \leftarrow \text { ... } \\ 3 &h; \text { Tant que n} \text { ... } \\ 4 &h; \quad u \leftarrow \text { ... } \\ 5 &h; \quad n \leftarrow n+1 \\ 6 &h; \text{Fin tant que} \end{array} }

On donne les valeurs de deux termes d'une suite arithmétique \left(u_{n}\right): u_{0}=1 et u_{4}=13.
Quelle est la raison de cette suite ?

Dans chaque cas, déterminer si la suite donnée, définie pour tout entier naturel non nul n, est arithmétique. Si oui, donner sa raison et son premier terme.

1. u_{n}=3 n+2

2. v_{n}=n^{2}-5 n+1

3. w_{n}=\frac{n^{2}+2 n+1}{2 n+2}

4. t_{n}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}

On retourne un sablier contenant 2\,000 grains. Chaque seconde, 90 grains tombent dans la partie inférieure du sablier.
Pour tout entier naturel n, on note v_n le nombre de grains restant dans le haut du sablier n secondes après l'avoir retourné.

1. a. Quelle est la valeur de v_0 ?

1. b. Calculer v_1. Interpréter ce résultat.

2. Exprimer v_{n+1} en fonction de v_n. Quelle la nature de la suite ? Préciser ses éléments caractéristiques.

3. Déterminer le sens de variation de la suite \left(v_{n}\right).

Un capital produit des intérêts simples lorsque ses intérêts sont calculés à partir du capital de départ.


1. Calculer les intérêts simples obtenus si on place un capital de 1\,500 € à un taux annuel de 4 % sur 3 ans.

2. Pour tout entier naturel n, on note u_n la valeur du capital au bout de n années dans les conditions de la question 1. Que vaut u_0 ? Calculer u_1.

3. Justifier que la suite \left(u_{n}\right) est arithmétique, puis préciser ses éléments caractéristiques.

Dans la vie professionnelle

Un courtier est un professionnel du commerce disposant d'une formation allant du bac +2 au bac +5 et dont l'objectif est de proposer à ses clients les meilleurs produits (bancaires, offres de prêt, assurances) au meilleur prix. Pour cela, il analyse les besoins de son client, le conseille et négocie auprès des entreprises, notamment en les mettant en concurrence.

Soit (u_n) la suite arithmétique de raison 2{,}5 et de premier terme u_0=-1. Soit (v_n) la suite arithmétique de raison 1 et de premier terme v_0=10.
Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le rang n à partir duquel l'inégalité u_n > v_n est vérifiée.

Donner l'expression d'une suite arithmétique croissante et d'une suite arithmétique décroissante.

Écrire un énoncé donnant la représentation graphique d'une suite arithmétique et demandant de retrouver une définition de la suite sous forme récurrente.