Les suites numériques sont présentes dans de nombreux domaines relevant de la modélisation. Parmi ces suites, l'une des plus connues est la suite de Fibonacci définie par :

\left\{\begin{array}{c} u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n} \\ u_{0}=1 \;; u_{1}=1 \end{array}\right.

Historiquement, elle proviendrait du mathématicien italien Fibonacci qui aurait souhaité étudier l'évolution d'une population de lapins. Aujourd'hui, cette suite apparaît dans la réalisation de nombreuses œuvres d'art.

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Rappels théoriques

Supplément numérique

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Développer et factoriser des expressions algébriques :

Développer une expression : transformer un produit en somme.

Soient k , a , b , c et d des nombres quelconques. On a les propriétés suivantes :
1. Distributivité simple : k(a+b) = ka+kb
2. Double distributivité : (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
3. Identité remarquable : (a+b)(a-b) = a^2-b^2

Factoriser une expression : transformer une somme en produit.

1. Avec un facteur commun : ka + kb = k(a+b) ou ka - kb = k(a-b)
2. Identités remarquables :

a^2 -b^2 = (a+b)(a-b)
a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2
a^2 - 2ab +b^2 = (a-b)^2

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Calculer l'image d'un nombre par une fonction :

Méthode :

Si une fonction est donnée par une formule, on calcule l'image d'un nombre en remplaçant x par ce nombre dans la formule.

Exemple :

Pour calculer l'image de 3 par f : x \mapsto 2x^2 +6x+3 , on calcule f(3) = 2\times 3^2 + 6 \times 3 + 3 = 39 .

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Étudier le signe d'une fonction :

Méthode :

Pour étudier le signe d'une fonction, on essaie de factoriser au maximum, puis on étudie le signe de chacun des facteurs en résolvant des inéquations et on regroupe les résultats dans un tableau de signes.

Exemple :

Soit f : x \mapsto (x+1)(4x+2) - (x+1)(2x-4) définie sur \mathbb R . En utilisant la distributivité, on factorise f(x) = (x+1)(4x + 2 - (2x-4)) = (x+1)(2x +6) .
On résout les inéquations x+ 1 \leqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant -1 et 2x + 6 \leqslant 0 \Leftrightarrow 2x \leqslant -6 \Leftrightarrow x \leqslant \dfrac{-6}{2} = -3 .

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Placer des points dans un repère :

Définition :

Dans un repère orthonormé (\text{O} \; ; \text{I}, \text{J}) :

\text{O} est l'origine du repère ;
la droite (\text{OI}) (horizontale) est l'axe des abscisses ;
la droite (\text{OJ}) (verticale) est l'axe des ordonnées.

Un point \text{M} du plan est repéré par ses coordonnées x (abscisse, obtenue en projetant \text{M} sur l'axe des abscisses) et y (ordonnée, obtenue en projetant \text{M} sur l'axe des ordonnées).

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Calculer des pourcentages :

Définition :

Un pourcentage est une proportion exprimée sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est 100.

Propriétés :

1. Augmenter un nombre de p % revient à multiplier ce nombre par 1 + \dfrac{p}{100} .

2. Diminuer un nombre de p % revient à multiplier ce nombre par 1 - \dfrac{p}{100} .

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Exercices

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Prérequis

1. Développer et factoriser des expressions algébriques.
2. Calculer l'image d'un nombre par une fonction.
3. Étudier le signe d'une fonction.
4. Placer des points dans un repère.
5. Calculer des pourcentages.

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Exercice 1
Développement

Soit n un entier naturel.
Développer les expressions algébriques suivantes.

1. 2 \times(2 n+3)

2. (n+1)(n-2)

3. (2 n+5)^{2}

4. (4-n)^{2}

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Exercice 2
Factorisation

Soit n un entier naturel.
Factoriser les expressions suivantes.

1. 3 n-6

2. n^{2}+2 n

3. 4 n^{2}+20 n+25

4. n^{2}-2 n+1

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Exercice 3
Image d'un nombre par une fonction (1)

Soient f et g les fonctions définies sur \R par :

f(x)=3 x+2 et g(x)=2 x^{2}+3 x-4.

Calculer les images de 0, 1, 2, 5 et 10 par chacune de ces fonctions.

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Exercice 4
Image d'un nombre par une fonction (2)

Soient h et k les fonctions définies sur \R par :

h(x)=x^{2}-2 et k(x)=(x-3)^{2}+1.

Pour tout entier naturel n, calculer et simplifier au maximum les images de n, 2n, n + 1 et n - 2 par ces fonctions.

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Exercice 5
Coordonnées d'un point

Dans un repère orthonormé (\mathrm{O} \; ; \mathrm{I}\,, \mathrm{J}) du plan, placer les points de coordonnées :
\mathrm{A}(0 \; ; 1), \mathrm{B}\left(1 \; ; \dfrac{1}{2}\right), \mathrm{C}(2 \;;-1), \mathrm{D}\left(3 \; ; \dfrac{5}{2}\right) et \mathrm{E}(4 \; ; 4)

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Exercice 6
Tableur

On considère la feuille de calcul suivante.

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1. Quelle sera la valeur obtenue dans la cellule B3 ?

2. En étirant la formule de la cellule B3 vers le bas, quelle formule apparaîtra dans la cellule B6 ?
Quelle sera la valeur affichée ?

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Exercice 7
Évolution en pourcentage

Compléter les phrases suivantes.

1. Augmenter une quantité de 8 % revient à la multiplier par

.

2. Diminuer une quantité de 15 % revient à la multiplier par

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Exercice 8
Problème

En 2018, la production de chocolat en France s'élevait à 333 \; 029 tonnes. Elle a augmenté de 5 % en 2019 et on estime qu'en 2020, elle augmentera encore de 7 %.

1. Quelle quantité de chocolat a été produite en 2019 ?

2. Calculer la quantité de chocolat produite prévue en 2020.

3. Du fait de la crise sanitaire, la production de chocolat a diminué de 11 % entre 2019 et 2020, mais les prévisions indiquent qu'elle augmentera de 6 % en 2021.
Quelle sera la quantité produite en 2020 et en 2021 ?

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Anecdote

Il est possible de calculer la somme des n premiers entiers, c'est‑à‑dire la valeur de 1+2+3+4+\ldots +n, avec la formule \dfrac{n(n+1)}{2}.
Cette formule est au programme de la classe de Terminale.
Le nombre \dfrac{n(n+1)}{2} obtenu correspond par exemple :

au nombre de segments que l'on peut tracer entre n + 1 points distincts ;
au nombre de poignées de mains échangées dans un rassemblement de n + 1 personnes (en supposant que chaque personne serre la main à une autre exactement une fois).

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