Préparer le bac

Au 1^er janvier 2019, Sophie installe une éolienne dans son jardin. Une éolienne correctement orientée produit environ 200 kWh/an.
La première année, l'installation produit effectivement cette quantité d'énergie. Pour des raisons liées aux changements climatiques, on estime que la quantité d'énergie produite baissera de 4 % par an au cours des années suivantes.

Pour tout entier $n⩾0$, on note $u_n$ la quantité d'énergie produite par l'installation en kWh durant l'année $2019+n.$

1. a. Quelle est la valeur de $u_0$ ? Calculer alors la quantité d'énergie produite par l'installation durant l'année 2020.

Insérer une formule mathématique

b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

Insérer une formule mathématique

c. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser ses éléments caractéristiques.

Insérer une formule mathématique

d. Quelles sont les variations de la suite $\left(u_n\right)$ ?

Insérer une formule mathématique

2. Pour calculer les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$, Sophie utilise l'algorithme en Python ci-dessous.

def production(n):
  u = ...
  k = 0
  while k < n:
    ...
    k = k + 1
  return u 

a. compléter cet algorithme.
b. Quelle valeur est renvoyée par l'instruction production(5) ? On arrondira le résultat au centième près. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

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1. a. $u_0$ correspond à l'énergie produite, en $\text{kWh}$, en 2019. Donc $u_0=200$. La quantité d'énergie baisse de $4\%$ chaque année, ce qui revient à multiplier par $0,96$. Donc la quantité d'énergie produite en 2020 est $0,96\times 200=192\mathrm{kWh}$.
b. Pour calculer l'énergie produite l'année suivante, il faut diminuer de $4\%$ l'énergie produite l'année précédente. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0,96u_n$.
c. On observe que la relation de récurrence est de la forme $u_{n+1}=q\times u_n$ , avec $q=0,96$. Ainsi, la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique.
La raison de cette suite est $q=0,96$ et son premier terme est $u_0=200$.
d. La raison de cette suite géométrique est comprise entre $0$ et $1$, et $u_0>0$. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.

2. a.

def production(n):
  u = 200
  k = 0
  while k < n:
    u = 0.96*u
    k = k + 1
  return u

b. On exécute l'algorithme pour $n=5$.
Ainsi, la boucle while tourne tant que $k<5$. L'algorithme renvoie alors la valeur $u=163,07$. On a donc effectué le calcul pour l'année $2019+5=2024$. Cela signifie que l'énergie produite par l'éolienne en $2024$ est estimée à $163,07\text{ kWh}$.

Le nuage de points ci-dessous représente les six premiers termes d'une suite $u$.

Une entreprise de maintenance d'ascenseurs estime que le nombre d'interventions effectuées chaque année augmente de $4$ %. En $2019$, ses $20$ salariés ont effectué $1200$ interventions.

1. Combien peut-on prévoir d'interventions en $2020$ ? En $2021$ ?

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Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre annuel d'interventions effectuées par la société durant l'année $2019+n$.

2. a. Quelle est la valeur de $u_0$ ?

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2. b. Pour tout entier naturel $n$, montrer que $u_{n+1}=1,04u_n$ et en déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ainsi que son sens de variation.

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3. L'entreprise décide d'embaucher un nouveau salarié à chaque palier de 200 interventions annuelles supplémentaires. Le programme ci-dessous est écrit en Python.

def ascenseurs(n):
  L = [1200]
  for i in range(n):
    L.append(int(L[i]*1.04))
  return L

Lorsque l'instruction ascenseurs(20) est exécutée, l'algorithme renvoie la liste :
[1200, 1248, 1297, 1348, 1401, 1457, 1515, 1575, 1638, 1703, 1771, 1841, 1914, 1990, 2069, 2151, 2237, 2326, 2419, 2515, 2615].
Combien de salariés l'entreprise comptera-t-elle en $2039$ ?

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On se propose d'étudier l'évolution du nombre de souris d'une animalerie sur une période de six semaines. Initialement, ce nombre s'élève à $240$ souris.
On peut modéliser ce nombre de souris au bout de $n$ semaines par la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ (avec $0⩽n⩽6$), par $u_n=240-40n$.

Un laboratoire dispose d'une culture de $10^{10}$ bactéries. Un antibiotique est alors introduit, divisant par $4$ le nombre de bactéries toutes les heures. On note $u_n$ le nombre de bactéries au bout de $n$ heures.


1. Quelle formule doit-on entrer dans la cellule B3 de sorte qu'en étirant cette formule vers le bas, on puisse compléter les lignes suivantes ?

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2. Sans la déterminer, que représente concrètement la valeur qui se trouve dans la cellule B18 ?

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3. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

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4. Quelle est la nature de cette suite ? Quelle est sa raison ?

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5. Compléter cet algorithme qui donne le nombre d'heures à partir duquel le nombre de bactéries deviendra inférieur à $100$.

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