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Chapitre 1
Exercices
Synthèse
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Exercice 102 [Raisonner, Modéliser.]
D'après bac STI2D, Métropole, 2019
1. Que vaut ? Montrer que
2. Justifier que, pour tout entier naturel , on a :
3. Donner une valeur arrondie de et à près.
4. La suite est-elle arithmétique ? Géométrique ?
5. Ce plan d'éradication prendra fin quand l'aire occupée sera inférieure à hectares. Compléter l'algorithme ci-dessous pour que la variable contienne le nombre d'années que durera le plan, puis déterminer en quelle année ce plan prendra fin.
Le conservatoire des espaces naturels d'une région gère une zone protégée de hectares.
Il a remarqué qu'une plante invasive occupait un espace dont la surface augmente de % chaque année. Le conservatoire constate qu'à la fin de l'année , l'aire de la surface occupée par cette plante est de hectares et décide d'éliminer hectares occupés par cette plante par an à partir de . Pour tout entier naturel , on note l'aire de la surface occupée par cette plante en .
Il a remarqué qu'une plante invasive occupait un espace dont la surface augmente de % chaque année. Le conservatoire constate qu'à la fin de l'année , l'aire de la surface occupée par cette plante est de hectares et décide d'éliminer hectares occupés par cette plante par an à partir de . Pour tout entier naturel , on note l'aire de la surface occupée par cette plante en .
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Exercice 103 [Calculer, représenter.]
On considère une suite vérifiant, pour tout entier naturel , la relation de récurrence :
1. La connaissance du premier terme est-elle suffisante pour calculer les autres termes ?
On choisit et pour la suite de l'exercice.
2. a. Calculer les sept premiers termes de la suite et représenter ces termes sur un graphique.
1. La connaissance du premier terme est-elle suffisante pour calculer les autres termes ?
On choisit et pour la suite de l'exercice.
2. a. Calculer les sept premiers termes de la suite et représenter ces termes sur un graphique.
2. b. Conjecturer le sens de variation de . On admettra que
cette conjecture est vraie pour la suite.
2. c. Justifier alors que, pour tout entier naturel , est positif.
2. c. Justifier alors que, pour tout entier naturel , est positif.
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Exercice 104 [Modéliser, Raisonner.]
D'après bac ES, Métropole, 2019
En , Laurence a acheté une ferme de hectares de pommiers. Elle estime qu'il y a pommiers par hectare. Chaque année, elle élimine % des pommiers et replante nouveaux pommiers par hectare.
Pour tout entier naturel , on note le nombre de pommiers par hectare l'année . Ainsi, .
1. a. Justifier que, pour tout entier naturel , on a .
1. b. Estimer le nombre de pommiers par hectare, arrondi à l'unité, en .
2. Laurence veut savoir à partir de quelle année la densité de pommiers, par hectare, dépassera . Elle utilise alors l'algorithme ci-dessous :
a. Compléter l'algorithme pour qu'il détermine le rang cherché.
b. Quelle est la valeur contenue dans la variable en sortie de l'algorithme ?
Pour tout entier naturel , on note le nombre de pommiers par hectare l'année . Ainsi, .
1. a. Justifier que, pour tout entier naturel , on a .
1. b. Estimer le nombre de pommiers par hectare, arrondi à l'unité, en .
2. Laurence veut savoir à partir de quelle année la densité de pommiers, par hectare, dépassera . Elle utilise alors l'algorithme ci-dessous :
a. Compléter l'algorithme pour qu'il détermine le rang cherché.
b. Quelle est la valeur contenue dans la variable en sortie de l'algorithme ?
3. On définit la suite en posant, pour tout entier
naturel .
a. On admet que est une suite géométrique de raison . Préciser son premier terme et déterminer une relation de récurrence vérifiée par la suite .
b. En admettant que , exprimer en fonction de .
c. Combien devrait-on compter de pommiers dans l'exploitation de Laurence en ?
a. On admet que est une suite géométrique de raison . Préciser son premier terme et déterminer une relation de récurrence vérifiée par la suite .
b. En admettant que , exprimer en fonction de .
c. Combien devrait-on compter de pommiers dans l'exploitation de Laurence en ?
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Exercice 105 [Modéliser, Calculer.]
D'après bac ST2S, Antilles, 2018
Lors d'une scintigraphie cardiaque, on injecte au patient un échantillon d'un isotope de thallium d'activité radioactive (Mégabecquerel).
À chaque demi-vie, le thallium perd la moitié de son activité. On sait que la demi-vie du thallium est de jours. Pour tout entier naturel , on note l'activité de l'échantillon après demi-vies.
1. Donner les valeurs de , , et .
2. Exprimer en fonction de . En déduire la nature de la suite et sa raison.
À chaque demi-vie, le thallium perd la moitié de son activité. On sait que la demi-vie du thallium est de jours. Pour tout entier naturel , on note l'activité de l'échantillon après demi-vies.
1. Donner les valeurs de , , et .
2. Exprimer en fonction de . En déduire la nature de la suite et sa raison.
3. Justifier que la suite est bien décroissante.
4. À l'aide de la calculatrice, trouver le nombre de jours au bout desquels l'activité radioactive devient inférieure à .
4. À l'aide de la calculatrice, trouver le nombre de jours au bout desquels l'activité radioactive devient inférieure à .
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Exercice 106 Tableur [Modéliser, Calculer.]
Pour étudier la propagation de bactéries dans des cellules, un laboratoire fait l'expérience suivante : on met en contact deux cellules, une première, notée A, avec bactéries au départ, et une seconde, notée B, sans bactérie. On constate que les bactéries migrent d'une cellule à l'autre, et qu'à chaque minute, % des bactéries de la cellule A migrent vers la cellule B, et % des bactéries de la cellule B migrent vers la cellule A.
On note le nombre de bactéries dans la cellule A et le nombre de bactéries dans la cellule B au bout de minutes.
1. Que valent et ?
2. Justifier que pour tout entier naturel :
On note le nombre de bactéries dans la cellule A et le nombre de bactéries dans la cellule B au bout de minutes.
1. Que valent et ?
2. Justifier que pour tout entier naturel :
3. Dans la feuille de calcul ci-dessous, quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir les termes des suites et en étirant les formules vers le bas ?
4. Conjecturer le sens de variation de et .
4. Conjecturer le sens de variation de et .
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Exercice 107 [Chercher, Calculer.]
Dans le cours, nous avons défini les suites arithmétiques par une relation de récurrence. L'objectif de cet exercice est de déterminer une expression du terme général des suites arithmétiques.
Soit une suite arithmétique de raison définie pour tout entier naturel .
1. Rappeler la relation de récurrence qui lie , et .
2. Exprimer alors en fonction de et .
3. Exprimer en fonction de et , puis en fonction de et à l'aide de la question précédente.
1. Rappeler la relation de récurrence qui lie , et .
2. Exprimer alors en fonction de et .
3. Exprimer en fonction de et , puis en fonction de et à l'aide de la question précédente.
4. Exprimer en fonction de et , puis en fonction de et à l'aide de la question précédente.
5. Conjecturer alors une expression du terme général de la suite, c'est-à-dire exprimer en fonction de .
On admettra dans la suite que cette conjecture est vraie.
6. Soit la suite arithmétique de raison et de premier terme . Calculer la valeur de .
5. Conjecturer alors une expression du terme général de la suite, c'est-à-dire exprimer en fonction de .
On admettra dans la suite que cette conjecture est vraie.
6. Soit la suite arithmétique de raison et de premier terme . Calculer la valeur de .
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Exercice 108QCM [Raisonner, Calculer.]
D'après bac STMG, Polynésie, 2019
1. Soit la suite géométrique de raison et de premier terme .
Quelle est la valeur, arrondie au dixième, de ?
2. Quelle est la valeur contenue dans à la fin de cet algorithme ?
Quelle est la valeur, arrondie au dixième, de ?
2. Quelle est la valeur contenue dans à la fin de cet algorithme ?
3. Soit la suite arithmétique de raison et telle que . Alors est égal à :
4. La suite vérifiant, pour tout entier naturel , est :
4. La suite vérifiant, pour tout entier naturel , est :
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Exercice 109 Geogebra [Représenter, Calculer.]
On définit, pour tout entier naturel , les suites et
par et .
1. Calculer les quatre premiers termes de ces deux suites.
2. Représenter sur GeoGebra les dix premiers termes de ces deux suites.
1. Calculer les quatre premiers termes de ces deux suites.
2. Représenter sur GeoGebra les dix premiers termes de ces deux suites.
GeoGebra
3. Déterminer graphiquement à partir de quel rang l'inégalité est vérifiée.
4. Montrer que, pour tout entier naturel , on a :
5. Démontrer alors le résultat obtenu à la question 3.
4. Montrer que, pour tout entier naturel , on a :
.
5. Démontrer alors le résultat obtenu à la question 3.
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Exercice 110 VRAI/FAUX [Chercher, Raisonner.]
On considère un polygone régulier à n côtés de longueur égale à .
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à , on note le périmètre de ce polygone.
Ainsi, est le périmètre d'un triangle équilatéral de côté .
Déterminer, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. On a
2. La suite est telle que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à , .
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à , on note le périmètre de ce polygone.
Ainsi, est le périmètre d'un triangle équilatéral de côté .
Déterminer, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. On a
3. La suite est arithmétique de raison 1.
4. La suite est croissante.
4. La suite est croissante.
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Exercice 111 [Chercher, Calculer.]
Dans le cours, nous avons défini les suites géométriques par une relation de récurrence. L'objectif de cet exercice est de déterminer une expression du terme général des suites géométriques.
Soit une suite géométrique de raison définie pour tout entier naturel .
1. Rappeler la relation de récurrence qui lie et .
2. Exprimer alors en fonction de et .
3. Exprimer en fonction de et , puis en fonction de et à l'aide de la question précédente.
Soit une suite géométrique de raison définie pour tout entier naturel .
1. Rappeler la relation de récurrence qui lie et .
2. Exprimer alors en fonction de et .
3. Exprimer en fonction de et , puis en fonction de et à l'aide de la question précédente.
4. Exprimer en fonction de et , puis en fonction de et à l'aide de la question précédente.
5. Conjecturer alors une expression du terme général de la suite , c'est-à-dire exprimer en fonction de et .
On admettra dans la suite que cette conjecture est exacte.
6. Soit la suite géométrique de raison et de premier terme . Calculer la valeur de .
5. Conjecturer alors une expression du terme général de la suite , c'est-à-dire exprimer en fonction de et .
On admettra dans la suite que cette conjecture est exacte.
6. Soit la suite géométrique de raison et de premier terme . Calculer la valeur de .
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Exercice 112 PYTHON [Calculer, Modéliser.]
La suite de Syracuse est une suite de nombres entiers définis de la manière suivante :
- on choisit un entier naturel non nul ;
- si ce nombre est pair, on le divise par 2 ; s'il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1 ;
- on recommence le procédé avec le nombre obtenu à l'étape précédente.
1. a. Déterminer les six premiers termes de la suite pour trois entiers choisis entre et .
b. Que remarque-t-on ?
b. Que remarque-t-on ?
2.
a. Écrire un programme Python syracuse prenant en argument un entier u correspondant au premier terme de la suite et un entier n et renvoyant la liste des premiers termes de la suite de Syracuse.
b. Tester le programme pour différentes valeurs de l'entier u.
Quelle conjecture peut-on formuler ?
Cette conjecture est appelée la conjecture de Syracuse.
Aide
L'instruction « Si est pair » peut s'écrire if u%2 == 0.
b. Tester le programme pour différentes valeurs de l'entier u.
Quelle conjecture peut-on formuler ?
Cette conjecture est appelée la conjecture de Syracuse.
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La conjecture de Syracuse affirme qu'au bout d'un certain rang, les termes de la suite définie dans cet exercice formeront nécessairement la suite de nombre etc., et cela quelle que soit la valeur du premier terme entier choisi.
Elle est énoncée en 1937 par le mathématicien allemand Lothar Collatz et est popularisée par son compatriote Helmut Hasse lors d'un voyage à l'université de Syracuse aux États-Unis. Elle a particulièrement mobilisé les mathématiciens durant la guerre froide.
Si l'énoncé de la conjecture est très simple, aucune démonstration de ce résultat n'existe à ce jour.
Elle est énoncée en 1937 par le mathématicien allemand Lothar Collatz et est popularisée par son compatriote Helmut Hasse lors d'un voyage à l'université de Syracuse aux États-Unis. Elle a particulièrement mobilisé les mathématiciens durant la guerre froide.
Si l'énoncé de la conjecture est très simple, aucune démonstration de ce résultat n'existe à ce jour.
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Club de maths
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Exercice 113 CASSE TÊTE
On effectue le coloriage d'un carré de côté 2 de la manière suivante.
Étape 1 : On coupe le carré initial en quatre carrés identiques de côté , et on colorie le carré en bas à gauche.
Étape 2 : Pour chacun des carrés non coloriés, on effectue à nouveau l'étape précédente et on continue ainsi.
On note le nombre de carrés coloriés au cours de l'étape , et la longueur des côtés de ces carrés. D'où et .
1. Faire le coloriage de l'étape 3.
2. Donner la valeur de , puis déterminer l'expression de en fonction de .
3. Donner les valeurs de , et .
4. Justifier que, pour tout entier naturel non nul,
Étape 1 : On coupe le carré initial en quatre carrés identiques de côté , et on colorie le carré en bas à gauche.
Étape 2 : Pour chacun des carrés non coloriés, on effectue à nouveau l'étape précédente et on continue ainsi.
On note le nombre de carrés coloriés au cours de l'étape , et la longueur des côtés de ces carrés. D'où et .
2. Donner la valeur de , puis déterminer l'expression de en fonction de .
3. Donner les valeurs de , et .
4. Justifier que, pour tout entier naturel non nul,
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Exercice 114 ÉNIGME
On souhaite construire des châteaux de cartes avec paquets de cartes. Le premier château doit être construit avec cartes. Les autres châteaux doivent respecter la règle suivante : un château doit contenir deux fois plus de cartes que le précédent, plus une carte.
Combien de châteaux peut-on construire ?
Combien de châteaux peut-on construire ?
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Exercice 115 QUESTION OUVERTE
Un nouvel employé se voit proposer deux contrats différents, nommés A et B.
Le contrat A lui offre un salaire de € par mois avec une augmentation de € par an.
Le contrat B lui offre un salaire de € par mois avec une augmentation de % par an.
Quel contrat doit-il choisir sur le long terme ? Justifier.
Le contrat A lui offre un salaire de € par mois avec une augmentation de € par an.
Le contrat B lui offre un salaire de € par mois avec une augmentation de % par an.
Quel contrat doit-il choisir sur le long terme ? Justifier.