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p. 1-9

Partie 1 : Nombres et calculs

Ch. 1
Nombres entiers

Ch. 2
Calcul numérique

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 3
Calcul littéral

Ch. 4
Équations

Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions

Ch. 5
Notion de fonction

Ch. 6
Fonctions affines

Ch. 7
Situations de proportionnalité

Ch. 8
Statistiques

Ch. 9
Probabilités

Partie 3 : Espace et géométrie

Ch. 10
Théorème de Thalès et triangles semblables

Ch. 11
Trigonométrie dans le triangle rectangle

Ch. 12
Transformations dans le plan et leurs effets

Ch. 13
Géométrie dans l'espace

Partie 4 : Mesures et grandeurs

Ch. 14
Mesures et grandeurs

Annexes

Scratch

Dossier brevet

Rappels, Index, Compétences

Révisions Genially

Calcul littéral
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Chapitre 1

Cours et méthodes

Nombres entiers

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1
Divisibilité

A
Division euclidienne

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Définitions

Effectuer la division euclidienne de

a

par

b

, avec

a

b

deux entiers naturels et

b

non nul, c'est trouver deux nombres entiers naturels

q

r

tels que

a = b \times q + r

avec

r < b

.
On appelle

a

le dividende,

b

le diviseur,

q

le quotient et

r

le reste.

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Remarque

r = 0

alors on peut dire que

a

est un multiple de

b

, que

b

est un diviseur de

a

et que

a

est divisible par

b

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Exemple

La division euclidienne de

32

par

5

s'écrit

32 = 5 \times 6 + 2

32

est le dividende,

5

est le diviseur,

6

est le quotient,

2

est le reste et comme le reste est non nul alors

32

n'est pas un multiple de

5

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B
Critères de divisibilité

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Propriétés

Un entier naturel est divisible par :

$2$ si son chiffre des unités est $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$ ;
$3$ si la somme des chiffres qui le composent est un multiple de $3$ ;
$5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;
$9$ si la somme des chiffres qui le composent est un multiple de $9$ ;
$10$ si son chiffre des unités est $0$ .

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Exemple

360

est divisible par

2

car il est pair. Il est aussi divisible par

5

10

car son chiffre des unités est

0

. Enfin, la somme de ses chiffres vaut

9

donc il est aussi divisible par

3

9

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Remarques

Un nombre peut être divisible par

3

mais pas par

9

. En revanche, s'il est divisible par

9

alors il est aussi divisible par

3

. Par exemple,

15

est divisible par

3

mais il n'est pas divisible par

9.

Si un nombre est divisible par

a

b

, alors il n'est pas forcément divisible par le produit

a \times b

. Dans le cas où

a

b

ont un seul diviseur commun qui est

1

, alors ce nombre est divisible par

a \times b

. Par exemple,

12

est divisible par

2

et par

4

mais pas par

8

. En revanche,

360

qui est divisible par

2

3

(et

1

est leur seul diviseur commun) est aussi divisible par

6.

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Méthodes

Poser une division euclidienne

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Énoncé

Effectuer la division euclidienne de

133

par

11

et donner le résultat sous la forme

133 = 11 \times q + r .

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Méthode

On pose la division euclidienne de $133$ par $11$ .
On repère ensuite les valeurs de $a, b, q$ et $r$ .
On remplace dans l'égalité $a = b \times q + r$ .

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Solution

On effectue la division euclidienne.
Ainsi

a = 133

b = 11

q = 12

r = 1

, d'où

133 = 11 \times 12 + 1

Pour s'entraîner

Exercices 20
, 21
et 22
p. 20.

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Démontrer qu'un nombre est un multiple (ou non) d'un autre

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Énoncé

Après avoir écrit la division euclidienne de

80

par

12

et celle de

135

par

15

, répondre aux questions suivantes :

80

est-il un multiple de

12

135

est-il un multiple de

15

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Méthode

On effectue les divisions euclidiennes demandées et on les écrit sous la forme $a = b \times q + r$ .
Si $r = 0$ alors $a$ est un multiple de $b$ .
Si $r \neq = 0$ alors $a$ n'est pas un multiple de $b$ .

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Solution

On a

80 = 12 \times 6 + 8

135 = 15 \times 9 + 0.

Donc

80

n'est pas un multiple de

12

135

est un multiple de

15

Pour s'entraîner

Exercices 23
et 24
p. 20.

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Utiliser les critères de divisibilité

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Énoncé

Le nombre

1638

est-il divisible par

2

? Par

3

? Par

5

? Par

9

? Par

10

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Méthode

On utilise les critères de divisibilité.
On conclut.

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Solution

1638

est un nombre pair, il est donc divisible par

2

.
La somme des chiffres du nombre vaut

18

qui est un multiple de

3

et de

9

donc

1638

est divisible par

3

9

.
Son chiffre des unités est

8

donc

1638

n'est divisible ni par

5

ni par

10

Pour s'entraîner

Exercices 27
, 28
, 29
et 33
p. 20.

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2
Nombres premiers

A
Définitions

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Définition

Un nombre entier naturel est premier s'il possède exactement deux diviseurs entiers naturels distincts :

1

et lui-même.

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Remarques

Le nombre $1$ n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur.
Le nombre $2$ est le plus petit des nombres premiers et c'est aussi le seul qui soit pair.
Il y a une infinité de nombres premiers.

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Exemples

Le nombre

23

est premier car il n'a que deux diviseurs entiers distincts qui sont

1

23

.
Le nombre

27

n'est pas premier car il est divisible par

1

3

9

27

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B
Décomposition en un produit de facteurs premiers

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Théorème

Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut se décomposer en un produit de facteurs premiers.

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Remarque

Cette décomposition est unique, seul l'ordre des facteurs peut varier.

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Exemple

La décomposition en un produit de facteurs premiers de

132

est

132 = 2^{2} \times 3 \times 11

. On remarque que

2

3

11

sont bien des nombres premiers.

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C
Fractions irréductibles

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Définition

Une fraction est dite irréductible lorsque l'on ne peut plus la simplifier.

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Exemples

La fraction

\frac{3}{7}

est irréductible car

3

7

n'ont pas de diviseur commun à part

1

.

La fraction

\frac{6}{8}

n'est pas irréductible (on dit aussi qu'elle est simplifiable) car

6

8

sont des multiples de

2

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Remarque

Pour rendre une fraction irréductible, on peut décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers et ensuite simplifier.

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Méthodes

Reconnaître des nombres premiers

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Énoncé

Trouver le seul nombre premier parmi

42

21

133

101

111 111.

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Méthode

On utilise les critères de divisibilité pour déterminer un diviseur du nombre.
On peut aussi diviser le nombre par les différents nombres premiers : $2$ , $3$ , $5$ , $7,$ $11$ , etc.

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Solution

Le nombre

42

est pair, il est donc divisible par

2

21

est un multiple de

3

, il n'est donc pas premier.

133

est un multiple de

7

car

133 = 7 \times 19

donc il n'est pas premier.

111111

est divisible par

3

car la somme des chiffres qui le composent est un multiple de

3

.
C'est donc

101

qui est un nombre premier.

Pour s'entraîner

Exercices

p. 21

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Décomposer un entier en un produit de facteurs premiers

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Énoncé

Décomposer

2100

en un produit de facteurs premiers.

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Méthode

On cherche un diviseur premier du nombre (en s'aidant éventuellement des critères de divisibilité).
On effectue la division du nombre par le facteur premier trouvé.
On recommence le raisonnement avec le quotient obtenu.
On s'arrête lorsque le quotient obtenu est premier.

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Solution

2100 = 2 \times

1050

2100 = 2 \times 2 \times

525

2100 = 2^{2} \times 5 \times

105

2100 = 2^{2} \times 5 \times 5 \times

21

2100 = 2^{2} \times 5^{2} \times 3 \times

7

7

est un nombre premier.
Ainsi

2100 = 2^{2} \times 3 \times 5^{2} \times 7

Pour s'entraîner

Exercices

p. 21

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Énoncé

Rendre irréductible la fraction

\frac{360}{396}

en utilisant deux méthodes.

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Méthode

On écrit le numérateur et le dénominateur en un produit de facteurs premiers, puis on simplifie.
On peut aussi effectuer la simplification en utilisant les critères de divisibilité.

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Solution

Méthode 1 : Comme

360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5

396 = 2^{2} \times 3^{2} \times 11

, on peut simplifier par

2^{2}

et par

3^{2}

.
Ainsi

\frac{360}{396} = \frac{2 \times 5}{11} = \frac{10}{11}

.

Méthode 2 : Par simplifications successives, on a :

\frac{360}{396} = \frac{2 \times 180}{2 \times 198} = \frac{180}{198} = \frac{2 \times 90}{2 \times 99} = \frac{90}{99} = \frac{9 \times 10}{9 \times 11} = \frac{10}{11}

Pour s'entraîner

Exercices

p. 21

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1Divisibilité

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Poser une division euclidienne

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Démontrer qu'un nombre est un multiple (ou non) d'un autre

Méthode

Utiliser les critères de divisibilité

Méthode

2 Nombres premiers

ADéfinitions

Définition

Remarques

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BDécomposition en un produit de facteurs premiers

Théorème

Remarque

Exemple

CFractions irréductibles

Définition

Exemples

Remarque

Reconnaître des nombres premiers

Méthode

Décomposer un entier en un produit de facteurs premiers

Méthode

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Définitions

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Décomposition en un produit de facteurs premiers

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Fractions irréductibles