Effectuer la division euclidienne de a par b, avec a et b deux entiers naturels et b non nul, c'est trouver deux nombres entiers naturels q et r tels que a = b \times q + r avec r \lt b.
On appelle a le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.

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Remarque

Si r = 0 alors on peut dire que a est un multiple de b, que b est un diviseur de a et que a est divisible par b.

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Exemple

La division euclidienne de 32 par 5 s'écrit 32 = 5 \times 6 + 2.
32 est le dividende, 5 est le diviseur, 6 est le quotient, 2 est le reste et comme le reste est non nul alors 32 n'est pas un multiple de 5.

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B
Critères de divisibilité

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Propriétés

Un entier naturel est divisible par :

2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
3 si la somme des chiffres qui le composent est un multiple de 3 ;
5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ;
9 si la somme des chiffres qui le composent est un multiple de 9 ;
10 si son chiffre des unités est 0.

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Exemple

360 est divisible par 2 car il est pair. Il est aussi divisible par 5 et 10 car son chiffre des unités est 0. Enfin, la somme de ses chiffres vaut 9 donc il est aussi divisible par 3 et 9.

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Remarques

Un nombre peut être divisible par 3 mais pas par 9. En revanche, s'il est divisible par 9 alors il est aussi divisible par 3. Par exemple, 15 est divisible par 3 mais il n'est pas divisible par 9.

Si un nombre est divisible par a et b, alors il n'est pas forcément divisible par le produit a \times b. Dans le cas où a et b ont un seul diviseur commun qui est 1, alors ce nombre est divisible par a \times b. Par exemple, 12 est divisible par 2 et par 4 mais pas par 8. En revanche, 360 qui est divisible par 2 et 3 (et 1 est leur seul diviseur commun) est aussi divisible par 6.

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Méthodes

Poser une division euclidienne

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Énoncé

Effectuer la division euclidienne de 133 par 11 et donner le résultat sous la forme 133 = 11 \times q + r.

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Méthode

On pose la division euclidienne de \mathrm{133} par \mathrm{11}.
On repère ensuite les valeurs de a, b, q et r.
On remplace dans l'égalité a=b \times q+r.

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Solution

On effectue la division euclidienne.
Ainsi a = 133, b = 11, q = 12 et r = 1, d'où 133 = 11 \times 12 + 1.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Pour s'entraîner

Exercices 20
, 21
et 22
p. 20.

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Démontrer qu'un nombre est un multiple (ou non) d'un autre

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Énoncé

Après avoir écrit la division euclidienne de 80 par 12 et celle de 135 par 15, répondre aux questions suivantes : 80 est-il un multiple de 12 ? 135 est-il un multiple de 15 ?

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Méthode

On effectue les divisions euclidiennes demandées et on les écrit sous la forme a = b \times q + r.
Si r = 0 alors a est un multiple de b.
Si r \neq 0 alors a n'est pas un multiple de b.

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Solution

On a 80=12 \times 6+8 et 135=15 \times 9+0.
Donc \mathrm{80} n'est pas un multiple de \mathrm{12} et \mathrm{135} est un multiple de \mathrm{15}.

Pour s'entraîner

Exercices 23
et 24
p. 20.

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Utiliser les critères de divisibilité

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Énoncé

Le nombre 1\,638 est-il divisible par 2 ? Par 3 ? Par 5 ? Par 9 ? Par 10 ?

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Méthode

On utilise les critères de divisibilité.
On conclut.

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Solution

\mathrm{1\:638} est un nombre pair, il est donc divisible par \mathrm{2}.
La somme des chiffres du nombre vaut \mathrm{18} qui est un multiple de \mathrm{3} et de \mathrm{9} donc \mathrm{1\:638} est divisible par \mathrm{3} et \mathrm{9}.
Son chiffre des unités est \mathrm{8} donc \mathrm{1\:638} n'est divisible ni par \mathrm{5} ni par \mathrm{10}.

Pour s'entraîner

Exercices 27
, 28
, 29
et 33
p. 20.

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2
Nombres premiers

A
Définitions

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Définition

Un nombre entier naturel est premier s'il possède exactement deux diviseurs entiers naturels distincts : 1 et lui-même.

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Remarques

Le nombre 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur.
Le nombre 2 est le plus petit des nombres premiers et c'est aussi le seul qui soit pair.
Il y a une infinité de nombres premiers.

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Exemples

Le nombre 23 est premier car il n'a que deux diviseurs entiers distincts qui sont 1 et 23.
Le nombre 27 n'est pas premier car il est divisible par 1, 3, 9 et 27.

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B
Décomposition en un produit de facteurs premiers

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Théorème

Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut se décomposer en un produit de facteurs premiers.

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Remarque

Cette décomposition est unique, seul l'ordre des facteurs peut varier.

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Exemple

La décomposition en un produit de facteurs premiers de 132 est 132 = 2^{2} \times 3 \times 11. On remarque que 2, 3 et 11 sont bien des nombres premiers.

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C
Fractions irréductibles

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Définition

Une fraction est dite irréductible lorsque l'on ne peut plus la simplifier.

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Exemples

La fraction \frac{3}{7} est irréductible car 3 et 7 n'ont pas de diviseur commun à part 1.

La fraction \frac{6}{8} n'est pas irréductible (on dit aussi qu'elle est simplifiable) car 6 et 8 sont des multiples de 2.

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Remarque

Pour rendre une fraction irréductible, on peut décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers et ensuite simplifier.

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Méthodes

Reconnaître des nombres premiers

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Énoncé

Trouver le seul nombre premier parmi 42, 21, 133, 101 et 111\,111.

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Méthode

On utilise les critères de divisibilité pour déterminer un diviseur du nombre.
On peut aussi diviser le nombre par les différents nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, etc.

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Solution

Le nombre 42 est pair, il est donc divisible par 2.
21 est un multiple de 3, il n'est donc pas premier.
133 est un multiple de 7 car 133 = 7 \times 19 donc il n'est pas premier.
111\,111 est divisible par 3 car la somme des chiffres qui le composent est un multiple de 3.
C'est donc 101 qui est un nombre premier.

Pour s'entraîner

Exercices

p. 21

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Décomposer un entier en un produit de facteurs premiers

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Énoncé

Décomposer 2\,100 en un produit de facteurs premiers.

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Méthode

On cherche un diviseur premier du nombre (en s'aidant éventuellement des critères de divisibilité).
On effectue la division du nombre par le facteur premier trouvé.
On recommence le raisonnement avec le quotient obtenu.
On s'arrête lorsque le quotient obtenu est premier.

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Solution

2\,100=2 \times 1\,050
2\,100=2 \times 2 \times 525
2\,100=2^{2} \times 5 \times 105
2\,100=2^{2} \times 5 \times 5 \times 21
2\,100=2^{2} \times 5^{2} \times 3 \times 7
7 est un nombre premier.
Ainsi 2\,100 = 2^{2} \times 3 \times 5^{2} \times 7.

Pour s'entraîner

Exercices

p. 21

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Énoncé

Rendre irréductible la fraction \frac{360}{396} en utilisant deux méthodes.

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Méthode

On écrit le numérateur et le dénominateur en un produit de facteurs premiers, puis on simplifie.
On peut aussi effectuer la simplification en utilisant les critères de divisibilité.

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Solution

Méthode 1 : Comme 360=2^{3} \times 3^{2} \times 5 et 396=2^{2} \times 3^{2} \times 11, on peut simplifier par 2^2 et par 3^2.
Ainsi \frac{360}{396}=\frac{2 \times 5}{11}=\frac{10}{11}.

Méthode 2 : Par simplifications successives, on a :
\frac{360}{396} =\frac{\color{red}{\cancel{ \color{black}{2}}} \color{black}\times 180}{\color{red}{\cancel{ \color{black}{2}}} \color{black}\times 198} =\frac{180}{198} =\frac{\color{red}{\cancel{ \color{black}{2}}} \color{black}\times 90}{\color{red}{\cancel{ \color{black}{2}}} \color{black}\times 99} =\frac{90}{99} =\frac{\color{red}{\cancel{ \color{black}{9}}} \color{black}\times 10}{\color{red}{\cancel{ \color{black}{9}}} \color{black}\times 11} =\frac{10}{11}.

Pour s'entraîner

Exercices

p. 21

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