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Automatismes
p. 11-17
Rappels de primaire
p. 18-21
Résolution de problèmes
p. 22-25
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Chapitre 11
Entrée en matière

Probabilités

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Histoire des maths
Le calcul de probabilités

Si les jeux de hasard et la notion même de probabilité remontent à l'antiquité, leur étude mathématique n'est apparue que plus récemment.

La naissance du calcul de probabilité date du XVIIe siècle avec la résolution du problème suivant appelé « problème des partis ». Des joueurs font une partie d'un jeu de hasard en plusieurs manches dans lequel il y a une mise. Chacun a marqué un certain nombre de points, mais ils ne peuvent pas finir leur partie. Comment devrait-on redistribuer les mises pour que ce soit équitable ?

Ce problème a été résolu par Blaise Pascal, en 1654, en calculant la probabilité de gagner de chacun des joueurs. C'est le début de la théorie des probabilités.

Aujourd'hui, les probabilités sont une branche à part entière des mathématiques, permettant, entre autres, de modéliser et d'analyser des processus physiques, économiques et épidémiologiques.

Placeholder pour Dès romains en terre cuite, musée de Délos.Dès romains en terre cuite, musée de Délos.

Dés romains en terre cuite, musée de Délos.

Pierre et Nicole font une partie de pile ou face. Pierre parie sur FACE, Nicole sur PILE. Un joueur gagne 20 € s'il remporte trois manches. Actuellement, Pierre a gagné une manche et Nicole deux, mais ils doivent s'arrêter. Comment doivent-ils se répartir les 20 € pour que ce soit équitable ?

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Les maths, à quoi ça sert ?

Lorsque l'on parle de probabilités, on peut d'abord penser aux jeux de hasard : cartes, dés, tickets à gratter, loto, etc. Cependant, le domaine des probabilités est bien plus vaste et trouve des applications diverses. En météorologie par exemple, on cherche à prédire le temps qu'il fera dans un futur proche. Les phénomènes qui sont en jeu (températures, pression atmosphérique, vent, courants marins, etc.) sont si nombreux et si complexes qu'il est impossible de faire des calculs exacts. Pour pouvoir quand même faire des prédictions, les météorologues utilisent plutôt des modèles probabilistes. Ainsi, plutôt que de dire qu'il y aura de la pluie demain, ils disent en réalité qu'il y aura de la pluie avec une certaine probabilité, qui est souvent bien suffisante pour avoir confiance !

Placeholder pour Majestueux fond de ciel au coucher du soleil avec de doux nuages colorésMajestueux fond de ciel au coucher du soleil avec de doux nuages colorés

Si la météo annonce des précipitations avec une probabilité de 10 %, est-il très probable qu'il pleuve ?

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Activités

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Activité 1
Déterminer une probabilité

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.

1. Reproduire le segment ci-dessous de longueur 12 \mathrm{~cm}, puis placer approximativement dessus les événements suivants.
  • \mathrm{A} : « Obtenir un nombre pair » ;
  • \mathrm{B} : « Obtenir 7 » ;
  • \mathrm{C} : « Obtenir 2 » ;
  • \mathrm{D} : « Obtenir un nombre inférieur à 10 » ;
  • \mathrm{E} : « Obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 »
2. a. Expliquer pourquoi la probabilité de l'événement \mathrm{A} est égale à \frac{3}{6}.
 b. Calculer la probabilité des événements \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D} et \mathrm{E}.
3. Placer précisément les probabilités précédentes sur le segment. Comparer la position des probabilités avec la position des événements de la question 1.

Bilan

Quelle fraction est égale à la probabilité « Une chance sur deux » ? Qu'est-ce qu'un événement peu probable ? Très probable ?
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Activité 2
Utiliser un arbre pour dénombrer

Pour un exposé, Lilian doit présenter un animal (le cerf ou le loup) dans une zone géographique (montagne, forêt ou toundra). On nomme les animaux et les zones par leurs initiales.

1. Pour visualiser toutes les possibilités, Lilian les dénombre à l'aide d'un schéma. Compléter le schéma ci-contre.
2. Combien d'exposés différents existe-t-il ? Les lister.
 3. Ne sachant pas quoi choisir, Lilian choisit un exposé au hasard.

a. Justifier que la probabilité que son exposé concerne le loup dans la forêt est égale à \frac{1}{6}.
 b. Quelle est la probabilité que son exposé concerne la toundra ?
Bilan

Comment se servir d'un arbre de dénombrement pour calculer des probabilités ?
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Activité de manipulation
Lien entre simulation et probabilité

Phase 1 : Par groupe de 2
1. Le premier élève lance vingt fois une pièce de monnaie et son camarade note dans un tableau les résultats obtenus. Ensuite, on recommence en échangeant les rôles.

2. Ajouter une dernière ligne au tableau qui donne la proportion de pile et de face obtenue.
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Phase 2 : Mise en commun des résultats de la classe
3. Combien de lancers ont été effectués au total dans la classe ?
 4. Comment se répartissent le nombre de pile et le nombre de face ? Pouvait-on le prévoir ?
Bilan

Pourquoi dit-on que la probabilité d'obtenir PILE est \frac{1}{2} ? Quelle phase du jeu permet de l'observer approximativement ? Justifier.
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