Chapitre 12
Cours
Droites et segments
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1Premiers éléments de géométrie
Définition
Un point est le plus petit élément du plan : il n'a ni longueur ni largeur. Il est représenté par une croix.
En général, on note les points à l'aide de lettres majuscules : \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, etc.
Propriété
Par deux points distincts, il passe une unique droite.
Notation : La droite qui passe par les points \mathrm{A} et \mathrm{B} est nommée en utilisant le nom de ces deux points entre parenthèses. On écrit : la droite \mathrm{(AB)} ou la droite \mathrm{(BA)}.
- Remarques : (d) est un autre nom de la droite \mathrm{(AB)} ci-dessus.
- Une droite est composée d'une infinité de points.
- On peut prolonger la droite \mathrm{(AB)} aussi loin que l'on veut au-delà de \mathrm{A} et de \mathrm{B}.
Définition
Lorsque l'on place un point \mathrm{C} sur une droite \mathrm{(AB)}, on définit deux demi-droites d'origine \mathrm{C}. Les points \mathrm{A}, \mathrm{B} et \mathrm{C} sont dits alignés.
Notation : On note \mathrm{[CB)} la demi-droite représentée en rouge
d'origine \mathrm{C} passant par le point \mathrm{B}. On note \mathrm{[CA)} la demi-droite représentée en bleu d'origine \mathrm{C} passant par \mathrm{A}.
Définition
Lorsqu'un point \mathrm{A} appartient à la droite (d), on note \mathrm{A} ∈ (d).
Dans le cas contraire, on dit que \mathrm{A} n'appartient pas à la droite (d) et on note \mathrm{A} ∉ (d).
Exemple :
Sur la figure suivante, il y a six points : \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E} et \mathrm{F}.
La droite \mathrm{(BD)} a d'autres noms : \mathrm{(EF)} ou encore \mathrm{(DE)}.
\mathrm{E} est le point d'intersection de la droite \mathrm{(CA)} et de la droite \mathrm{(BF)}. Les droites \mathrm{(CA)} et (\mathrm{BF)} sont sécantes en \mathrm{E}.
Le point \mathrm{D} appartient à la droite \mathrm{(BF)}. On note \mathrm{D∈(BF)}.
Le point \mathrm{B} n'appartient pas à la demi-droite \mathrm{[EF)}. On note \mathrm{B∉ [EF)}.
Le point \mathrm{A} n'appartient pas à la droite \mathrm{(CD)}. On note \mathrm{A ∉ (CD)}.
Autrement dit, les points \mathrm{A}, \mathrm{C} et \mathrm{D} ne sont pas alignés.
La droite \mathrm{(BD)} a d'autres noms : \mathrm{(EF)} ou encore \mathrm{(DE)}.
\mathrm{E} est le point d'intersection de la droite \mathrm{(CA)} et de la droite \mathrm{(BF)}. Les droites \mathrm{(CA)} et (\mathrm{BF)} sont sécantes en \mathrm{E}.
Le point \mathrm{D} appartient à la droite \mathrm{(BF)}. On note \mathrm{D∈(BF)}.
Le point \mathrm{B} n'appartient pas à la demi-droite \mathrm{[EF)}. On note \mathrm{B∉ [EF)}.
Le point \mathrm{A} n'appartient pas à la droite \mathrm{(CD)}. On note \mathrm{A ∉ (CD)}.
Autrement dit, les points \mathrm{A}, \mathrm{C} et \mathrm{D} ne sont pas alignés.
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2Segment et longueur
Définition
Un segment est une partie de droite délimitée par deux points, appelés extrémités du segment.
Notation : Le segment de droite d'extrémités \mathrm{A} et \mathrm{B} est nommé en utilisant le nom de ces points entre crochets. On écrit : le segment \mathrm{[AB]}. Il ne faut donc pas confondre le segment \mathrm{[AB]} avec la droite \mathrm{(AB)} et la demi-droite \mathrm{[AB)}.
Propriété
Le segment \mathrm{[AB]} est le plus court chemin pour aller du point \mathrm{A} au point \mathrm{B}.
Définition
La distance entre deux points \mathrm{A} et \mathrm{B} est la longueur du segment \mathrm{[AB]}. Cette longueur est notée \mathrm{AB}.
Propriété (inégalité triangulaire)
Pour tous points \mathrm{A}, \mathrm{B} et \mathrm{C}, \mathrm{A C+B C \geqslant A B}.
De plus, \mathrm{AC+CB = AB} si, et seulement si, \mathrm{C∈ [AB]}.
Définition
Le milieu d'un segment est le point qui appartient à ce
segment et qui est à égale distance des extrémités de ce
segment.
Exemple :
Sur la figure ci-dessus, le point \mathrm{J} est équidistant (à égale distance) de \mathrm{S} et de \mathrm{T} et il appartient au segment \mathrm{[ST]} : \mathrm{J} est donc le milieu de \mathrm{[ST]}.
Sur la figure ci-dessus, le point \mathrm{J} est équidistant (à égale distance) de \mathrm{S} et de \mathrm{T} et il appartient au segment \mathrm{[ST]} : \mathrm{J} est donc le milieu de \mathrm{[ST]}.
- Remarque : Une droite est illimitée : elle n'a ni longueur ni milieu.
Définition
Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de ses côtés.
Exemple :
Le périmètre du triangle \mathrm{ABC} est
Le périmètre du triangle \mathrm{ABC} est
\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}=3 \mathrm{~cm}+2,6 \mathrm{~cm}+1,4 \mathrm{~cm}=7 \mathrm{~cm}.
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