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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Poursuite d'études
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Activité B
Efficacité des tests médicaux
Capacité : Dans des cas simples, calculer une probabilité à l'aide de la formule des probabilités totales.
8 professeurs ont participé à cette page
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Énoncé
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Lors d'une épidémie de mathématite aiguë (passion obsessionnelle pour les mathématiques), des
tests sont effectués sur les personnes qui ont été en contact avec des individus malades. Les premiers
symptômes de cette maladie très contagieuse n'apparaissant pas immédiatement, on souhaite repérer puis
isoler les individus asymptomatiques.
On étudie un échantillon de 1 000 élèves choisis au hasard dans un lycée. Au moment où on effectue les tests, on estime que 20 % des élèves de ce lycée sont contaminés.
Les tests ne sont malheureusement pas fiables à 100 %. En effet, on constate que :
On étudie un échantillon de 1 000 élèves choisis au hasard dans un lycée. Au moment où on effectue les tests, on estime que 20 % des élèves de ce lycée sont contaminés.
Les tests ne sont malheureusement pas fiables à 100 %. En effet, on constate que :
- si l'élève est malade, le test est négatif dans 10 % des cas ;
- si l'élève n'est pas malade, le test est positif dans 5 % des cas.
Le proviseur désigne au hasard un élève.
Problématique
Quelle est la probabilité qu'un élève testé négatif soit en réalité malade ?
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Questions
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On note respectivement \mathrm M et \mathrm N les événements « L'élève est malade » et « Le test
est négatif ».
On donne ci-contre l'arbre de probabilités pondéré qui représente la situation donnée dans l᾽énoncé.
On donne ci-contre l'arbre de probabilités pondéré qui représente la situation donnée dans l᾽énoncé.
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1S'approprier
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2S'approprier
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3S'approprier
À l'aide de l'outil de dessin, préciser sur chaque branche de l'arbre les probabilités qui correspondent aux différents événements
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4Réaliser
Parmi les 1 000 élèves, déterminer combien sont malades et testés négatif puis donner {\mathrm{P}(\mathrm{M} \cap \mathrm{N})}.
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5Réaliser
Parmi les 1 000 élèves, déterminer combien sont sains et testés négatif puis donner {\mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}} \cap \mathrm{N})} .
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6Réaliser
Calculer la probabilité qu'un individu soit testé négatif, notée \mathrm{P}(\mathrm{N}).
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7Valider, communiquer
Indiquer la proportion d᾽élèves malades parmi ceux testés négatif et répondre à la problématique.
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8Valider
Laura est tombée malade. Son amie Amandine, cas contact, s'est donc fait tester. Le test est négatif.
En utilisant le résultat de la question 7, Amandine a-t-elle raison de penser qu'elle n'est pas malade ?
En utilisant le résultat de la question 7, Amandine a-t-elle raison de penser qu'elle n'est pas malade ?
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9Réaliser
À l'aide des questions 2, 3 et 4 vérifier que \mathrm{P}(\mathrm{M} \cap \mathrm{N})=\mathrm{P}(\mathrm{M}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{M}}(\mathrm{N}).
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10Réaliser
À l'aide des questions questions 2, 3 et 6, vérifier que \mathrm{P}(\mathrm{N}) = \mathrm{P}(\mathrm{M}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{M}}(\mathrm{N})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}}) \times \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{M}}}(\mathrm{N}).
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- La probabilité d'un événement correspond à la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet événement.
- Dans cette activité :
\mathrm{P}(\mathrm{N})= \color{blue}{\mathrm{P}(\mathrm{M} \cap \mathrm{N})} \color{black}{+} \color{green}{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}} \cap \mathrm{N})} \color{black}=\color{blue}{\mathrm{P}(\mathrm{M}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{M}}(\mathrm{N})}\color{black}{+}\color{green}{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}}) \times \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{M}}}(\mathrm{N})} .
Pour s᾽entraîner :
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Oups, une coquille
j'ai une idée !
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah