Soit f une fonction définie sur un intervalle \text{I.} Une primitive de \boldsymbol{f} sur \text{I} est une fonction dérivable sur \text{I} dont la dérivée est f. On note souvent \text{F} une primitive de f.

\mathrm{F} \stackrel{\text { se dérive en }}{\longrightarrow} f \stackrel{\text { se dérive en }}{\longrightarrow} f^{\prime}

Des primitives des fonctions usuelles sont obtenues par lecture inverse du tableau des dérivées.

Fonction primitive \bm{\text{F}}	Fonction \bm{f}	Ensemble de définition
\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{x}	\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{1}	\R
\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{x^2}	\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{2x}	\R
\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{x^3}	\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{3x^{2}}	\R
\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{\frac{1}{x}}	\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{\frac{-1}{x^2}}	]-\infty \:; 0[\:\cup\:] 0\: ;+\infty[
\boldsymbol{x} \mapsto \mathbf{e}^{x}	\boldsymbol{x} \mapsto \mathbf{e}^{x}	\R
\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{\ln (x)}	\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{\frac{1}{x}}	] 0 \:;+\infty[

Propriétés

Soit f une fonction définie sur un intervalle \text{I} et \text{F} une primitive de f sur \text{I.}
Pour tout nombre réel k, la fonction \mathrm{G}: x \mapsto \mathrm{F}(x)+k est aussi une primitive de f sur \text{I.}

Propriétés

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle \text{I} et k un nombre réel.
Si \text{F} et \text{G} sont des primitives respectives de f et de g, alors :

\text{F + G} est une primitive de f + g ;
k \times F est une primitive de k \times f.

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Exercice corrigé

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Énoncé

Soit f: x \mapsto \frac{1}{2} \times 3 x^{2}. Déterminer l'expression de la primitive \text{F} de \text{f} telle que \text{F}(-1) = 0.

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Solution

Une primitive de x \mapsto 3 x^{2} est x \mapsto x^{3}.
Donc une primitive de f est x \mapsto \frac{1}{2} \times x^{3}.
Ainsi l'ensemble des primitives est de la forme x \mapsto \frac{1}{2} x^{3}+k (avec k un réel).
Comme \mathrm{F}(-1)=0, alors \frac{1}{2} \times(-1)^{3}+k=0 d'où \frac{-1}{2}+k=0 donc k=\frac{1}{2}.
Donc la primitive \text{F} de f qui vérifie \mathrm{F}(-1)=0 est \mathrm{F}: x \mapsto \frac{1}{2} x^{3}+\frac{1}{2}.

Méthode

On identifie la forme de la fonction : somme de fonctions usuelles ou produit d'une fonction usuelle par un nombre réel.

À l'aide du tableau, on détermine une primitive \text{F} de f.

L'ensemble des primitives est de la forme x \mapsto \mathrm{F}(x)+k.

On détermine la valeur de k en résolvant l'équation \mathrm{F}(-1) + k = 0.

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Exercices

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Exercice 1

1. Déterminer une primitive de x \mapsto 8.

2. Déterminer une primitive de x \mapsto 2x.

3. En déduire une primitive de x \mapsto 2x+8.

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Exercice 2

1. a. Déterminer une primitive de x \mapsto x^{2}.

b. En déduire une primitive de x \mapsto 4x^{2}.

2. a. Déterminer une primitive de x \mapsto x^{3}.

b. En déduire une primitive de x \mapsto -2x^{3}+6x^{2}.

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Exercice 3

Soit f: x \mapsto \frac{1}{x}, définie sur ] 0 \:;+\infty[. Laquelle des fonctions suivantes est une primitive de f ?

1. x \mapsto \frac{-1}{x^{2}}

2. x \mapsto \ln (x)

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Exercice 4

Soit f et g les fonctions définies sur \R par f(x)=12 x^{2}-3 x+4 et g(x)=x^{2}+\frac{2}{3} x.
Montrer que \mathrm{F}: x \mapsto 4 x^{3}-1,5 x^{2}+4 x et \mathrm{G}: x \mapsto \frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{3} x^{2}+1 sont respectivement des primitives de f et de g sur \R.

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Exercice 5

Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition.

1. f: x \mapsto \frac{1}{x^{2}}

2. g: x \mapsto-3 x^{2}

3. h: x \mapsto 6 x+1

4. m: x \mapsto \frac{-1}{x^{2}}+2

5. n: x \mapsto 4-8 x

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Exercice 6

Déterminer, pour chacune des fonctions suivantes, une primitive sur leur ensemble de définition.

1. l: x \mapsto \frac{7}{x^{2}}-9

2. f: x \mapsto \frac{3}{x^{2}}

3. g: x \mapsto x^{2}-x+1

4. h: x \mapsto 5 x-9 x^{2}

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Exercice 7

Soit f: x \mapsto 2 x. Déterminer la primitive \text{F} de f telle que \text{F}(3) = 0 et la primitive \text{G} de f telle que \text{G}(-1) = 0.

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Exercice 8

Soit f: x \mapsto 3 x^{2}. Déterminer l'expression de la primitive \text{F} de f telle que \text{f}(2) = 2.

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Exercice 9

Soit f: x \mapsto 10. Déterminer la primitive \text{F} de f telle que \text{F}(0{,}2) = 0 et la primitive \text{G} de f telle que \text{G}(5) = 1{,}8.

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Exercice 10

Soit h: x \mapsto \frac{1}{x}. Déterminer les expressions de deux primitives différentes pour cette fonction.

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Exercice 11

Soit h: x \mapsto \ln (x). Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

1. La fonction définie sur ] 0 \:;+\infty[ par x \mapsto \frac{1}{x} est une primitive de h.

2. h est une primitive de la fonction définie sur ] 0 \:;+\infty[ par x \mapsto \frac{1}{x}.

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Exercice 12

Soit f: x \mapsto 1, \text{F} et \text{G} les primitives de f telles que \text{F}(0) = 0{,}5 et \text{G}(0) = 1.

1. Déterminer les expressions de \text{F} et \text{G.}

2. Calculer \text{F}(1) - \text{F}(0) et \text{G}(1) - \text{G}(0). Que remarque-t-on ?

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Exercice 13

1. Soit f: x \mapsto 2 x. Déterminer les expressions de \text{F} et \text{G,} deux primitives différentes de f.

2. Calculer \text{F}(4) - \text{F}(1) et \text{G}(4) - \text{G}(1). Que remarque-t-on ?

3. Refaire les questions 1. et 2. avec f: x \mapsto 7 x.

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Exercice 14

Soit f: x \mapsto \frac{-5}{x^{2}}, définie pour x > 0.
Déterminer la primitive \text{F} de f telle que \text{F}(4) = 0. Existe-t-il une autre primitive vérifiant cette condition ?

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Exercice 15

Soit \text{F} et \text{G} deux primitives différentes d'une fonction f.

1. Pourquoi peut-on affirmer que \mathrm{F}^{\prime}(0)=\mathrm{G}^{\prime}(0) ?

2. A-t-on \mathrm{F}(0)=\mathrm{G}(0) ?

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Exercice 16

Déterminer les primitives \text{F} et \text{G} des fonctions définies sur ] 0 \:;+\infty[ par f: x \mapsto \frac{5}{x} et g: x \mapsto 6-\frac{1}{x} telles que \mathrm{F}(1)=\mathrm{G}(1)=0.

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Exercice 17

Déterminer l'expression de la primitive \text{F} de f: x \mapsto \frac{1}{x^{2}}, définie sur ] 0 \:;+\infty[ et telle que \text{F(1) = 1}.

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Exercice 18

Le tableur ci-dessous permet de déterminer l'expression d'une primitive de n'importe quelle fonction polynôme de degré 2. L'utilisateur entre dans les cellules B1, D1 et F1 les coefficients de cette fonction.