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p. 1-9

Partie 1 : Statistique et probabilités

Ch. 1

Statistiques à deux variables

Ch. 2

Probabilités

Partie 2 : Algèbre - Analyse

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 3

Suites numériques

Ch. 4

Fonctions polynômes de degré 3

Ch. 5

Fonctions exponentielles et logarithme décimal

Ch. 6

Calculs commerciaux et financiers

Partie 3 : Géométrie

Ch. 7

Vecteurs

Ch. 8

Trigonométrie

Annexes

Révisions Genially

Consolidation

Poursuite d'études

Annexes

Programmation

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Poursuite d'études

Calcul intégral

✔ Calculer l'intégrale sur un intervalle $[a; b]$ d'une fonction $f$ en utilisant l'expression d'une primitive de $f .$
✔ Interpréter l'intégrale d'une fonction positive.

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Définition

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

[a; b]

F

une primitive de

f

sur cet intervalle.

L'intégrale de

f

sur

[a; b]

est le nombre :

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .

Remarque

La valeur de l'intégrale ne dépend pas de la primitive choisie pour le calcul.

Propriétés

Si la fonction

f

est positive sur

[a; b],

alors l'intégrale de

f

sur

[a; b]

est égale à l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de

f

et les droites d'équations

x = a

x = b .

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Exercice corrigé

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Énoncé

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f : x \mapsto - 0, 6 x^{2} + 7 x - 4, 2.

Calculer et interpréter

\int_{1}^{10} f (x) d x .

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Solution

Une primitive de

x \mapsto - 0, 6 x^{2}

est

x \mapsto - 0, 6 \times \frac{1}{3} x^{3},

soit

x \mapsto - 0, 2 x^{3} .

Une primitive de

x \mapsto 7 x

est

x \mapsto 7 \times \frac{1}{2} x^{2},

soit

x \mapsto 3, 5 x^{2} .

Une primitive de

x \mapsto - 4, 2

est

x \mapsto - 4, 2 x .

Ainsi, une primitive de

f

est

F : x \mapsto - 0, 2 x^{3} + 3, 5 x^{2} - 4, 2 x .

Par définition, on a

\int_{1}^{10} f (x) d x = F (10) - F (1) .

D'une part,

F (10) = - 0, 2 \times 1 0^{3} + 3, 5 \times 1 0^{2} - 4, 2 \times 10 = 108.

D'autre part,

F (1) = - 0, 2 \times 1^{3} + 3, 5 \times 1^{2} - 4, 2 \times 1 = - 0, 9.

Donc

\int_{1}^{10} f (x) d x = 108 - (- 0, 9) = 108, 9.

On peut dire que l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction

f

et les droites d'équation

x = 1

x = 10

vaut

108, 9

unités d'aire.

Méthode

On détermine une primitive $F$ de la fonction $f$ en décomposant $f$ en somme de fonctions de référence et en utilisant le tableau de dérivées usuelles.

On écrit que $\int_{0}^{10} f (x) d x = F (10) - F (0) .$

On calcule $F (10)$ et $F (0) .$

On en déduit la valeur de l'intégrale.

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Exercices

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Exercice 19

Soit

f,

g

h

les fonctions définies, pour tout réel

x,

par

f (x) = 1,

g (x) = 2 x

h (x) = 3 x^{2} .

Calculer

\int_{- 2}^{2} f (x) d x,

\int_{- 2}^{2} g (x) d x

\int_{- 2}^{2} h (x) d x .

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Exercice 20

Soit

f : x \mapsto \frac{- 1}{x ^{2}},

pour

x \neq = 0.

1. Déterminer une primitive de

f

sur

[- 2; - 1] \cup [1; 2] .

2. Calculer

\int_{- 2}^{- 1} f (x) d x

\int_{1}^{2} f (x) d x .

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Exercice 21

Soit

f

une fonction définie sur

[- 3; 3]

par

f (x) = \frac{3}{2} .

1. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative de la fonction

f .

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2. Déterminer graphiquement puis par le calcul la valeur de

\int_{- 1}^{2} f (x) d x .

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Exercice 22

Calculer

\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x,

puis

\int_{1}^{e} \frac{3}{x} d x,

où

e = e^{1} .

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Exercice 23

Calculer

\int_{- 5}^{0} 9 x d x

\int_{0}^{5} 9 x d x,

puis

\int_{- 5}^{0} (x^{2} + 1) d x

\int_{0}^{5} (x^{2} + 1) d x .

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Exercice 24

La fonction

f : x \mapsto - 0, 5 x + 1, 5

est représentée ci-dessous.

Déterminer la valeur de

\int_{0}^{3} f (x) d x

à l'aide du graphique.

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Exercice 25

On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction

x \mapsto 0, 5 x + 2, 5.

Déterminer graphiquement la valeur de

\int_{- 5}^{0} (0, 5 x + 2, 5) d x .

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Exercice 26

Calculer

\int_{0}^{1, 5} (- 3 x + 4, 5) d x

puis vérifier ce résultat à l'aide du graphique ci-dessous.

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Exercice 27

Télécharger le fichier sur

LLS.fr/MTPEx27

.
À l'aide de l'outil « Inspecteur de fonction », représenter l'aire sous la courbe entre

x = 1

x = 2

puis déterminer

\int_{1}^{2} (x^{2} - x) d x .

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Exercice 28

À l'aide de GeoGebra, déterminer

\int_{2}^{4} \frac{2}{x ^{2}} d x .

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Exercice 29

Soit

f

la fonction définie, pour

x > 0,

par

f : x \mapsto \frac{4}{x ^{2}} + \frac{x ^{2}}{4}

C_{f}

sa courbe représentative.
Calculer

\int_{2}^{5} f (x) d x

et interpréter le résultat.

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Exercice 30

Télécharger le fichier sur

LLS.fr/MTPEx30

.

1. À l'aide de l'outil « Inspecteur de fonction », représenter l'aire sous la courbe entre les bornes

2

3

et entre les bornes

1

3

puis déterminer les intégrales :

\int_{2}^{3} (1 - \frac{3}{x ^{2}}) d x

\int_{1}^{3} (1 - \frac{3}{x ^{2}}) d x .

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2. Expliquer pourquoi on ne peut pas calculer

\int_{- 1}^{1} (1 - \frac{3}{x ^{2}}) d x .

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Exercice 31

Calculer

\int_{- 10}^{0} (- 0, 3 x^{2} - 2) d x .

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Exercice 32

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté la fonction

g : x \mapsto \frac{1}{x} + x - 1.

1. Calculer les aires représentées en vert et en rouge sur le graphique.

2. En déduire un encadrement de

\int_{1}^{4} g (x) d x .

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Exercice 33

À l'aide de GeoGebra, déterminer

\int_{- 2}^{2} \frac{1}{x ^{2} + 1} d x .

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Exercice 34

Inversé

Donner l'expression d'une fonction

f

définie sur

[0; 1]

et telle que

\int_{0}^{1} f (x) d x = 3.

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