Nombres complexes

Soit $z=a+\text{i}b$ et $z^{\prime }=c+\text{i}d$ deux nombres complexes.

Définition

La somme de $\mathbf{z}$ et ${\mathbf{z}}^{\prime }$ est le nombre complexe $z+z^{\prime }=(a+c)+\text{i}(b+d).$

Exemple : $(2+3\text{i})+(1-\text{i})=(2+1)+\text{i}(3-1)=3+2\text{i}$

Propriétés

• Pour calculer l'inverse de $z,$ on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $z.$
  
  Exemple : $\frac{1}{1+2\text{i}}=\frac{1\times (1-2\text{i})}{(1+2\text{i})(1-2\text{i})}=\frac{1-2\text{i}}{1-2\text{i}+2\text{i}-4{\text{i}}^2}=\frac{1-2\text{i}}{1+4}=\frac{1-2\text{i}}{5}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}\text{i}$


• Pour calculer le quotient de $z$ par $z^{\prime },$ on multiplie $z$ et $z^{\prime }$ par le conjugué de $z^{\prime }.$
  
  Exemple : $\frac{5-3\text{i}}{8+2\text{i}}=\frac{(5-3\text{i})\times (8-2\text{i})}{(8+2\text{i})\times (8-2\text{i})}=\frac{40-10\text{i}-24\text{i}+6{\text{i}}^2}{8^2-16\text{i}+16\text{i}-4{\text{i}}^2}=\frac{34-34\text{i}}{68}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\text{i}$

Soit $z=-3-5\text{i}$ et $z^{\prime }=0,5\text{i}$ deux nombres complexes.
Déterminer l'écriture algébrique des nombres complexes $z+z^{\prime },$ $z\times z^{\prime }$ et $\frac{1}{z^{\prime }}.$

Répondre aux questions suivantes en utilisant un outil numérique.
1. Placer le point d'affixe $z_1=2+3\text{i}$ en tapant dans la barre de saisie : z_1 = 2 + 3i.

2. Placer le point d'affixe $z_2=1-\text{i}$ en tapant dans la barre de saisie : z_2 = 1 - i.

3. a. Déterminer l'affixe $z_3$ de la somme $z_1+z_2$ en tapant dans la barre de saisie : z_3 = z_1 + z_2.

b. En observant le point d'affixe $z_3,$ exprimer $\mathrm{Re}\left(z_3\right)$ en fonction de $\mathrm{Re}\left(z_1\right)$ et $\mathrm{Re}\left(z_2\right).$

c. En observant le point d'affixe $z_3,$ exprimer $\mathrm{Im}\left(z_3\right)$ en fonction de $\mathrm{Im}\left(z_1\right)$ et $\mathrm{Im}\left(z_2\right).$

4. a. Déterminer l'affixe $z_4$ de la somme $z_1-z_2$ en tapant dans la barre de saisie : z_4 = z_1 - z_2.

b. En observant le point d'affixe $z_4,$ exprimer $\mathrm{Re}\left(z_4\right)$ en fonction de $\mathrm{Re}\left(z_1\right)$ et $\mathrm{Re}\left(z_2\right).$

c. En observant le point d'affixe $z_4,$ exprimer $\mathrm{Im}\left(z_4\right)$ en fonction de $\mathrm{Im}\left(z_1\right)$ et $\mathrm{Im}\left(z_2\right).$

Soit $z=1-2\text{i}$ et $z^{\prime }=2+\text{i}.$
Calculer $z+z^{\prime }$ et $z-z^{\prime }$ puis les représenter dans un repère orthonormé direct.

Soit $z=0,2+3\text{i}$ et $z^{\prime }=2,4-6\text{i}.$
1. Représenter $z,$ $z^{\prime },$ $z+z^{\prime }$ et leurs conjugués dans un repère orthonormé direct.

2. Calculer $\overline{z}$ et $\overline{z^{\prime }}$ puis comparer $\overline{z+z^{\prime }}$ avec $\overline{z}+\overline{z^{\prime }}.$

Soit $z=\sqrt{6}-3\sqrt{2}\text{i}$ et $z^{\prime }=\text{i}.$
1. Calculer $z\times z^{\prime }.$

2. Déterminer $|z|,$ $\left|z^{\prime }\right|,$ puis $\left|z\times z^{\prime }\right|.$

Soit $z=-4+3\text{i}.$
1. Calculer $\frac{1}{z}$ et $\frac{1}{\overline{z}}.$

2. Représenter $z,$ $\frac{1}{z},$ $\overline{z}$ et $\frac{1}{\overline{z}}$ dans un repère orthonormé.

Soit $z=\sqrt{2}+\sqrt{2}\mathrm{i}$ et $z^{\prime }=-1+\mathrm{i}.$
1. Calculer $z\times z^{\prime }.$

2. Déterminer un argument de $z,$ un argument de $z^{\prime },$ puis un argument de $z\times z^{\prime }.$

3. Représenter $z,$ $z^{\prime }$ et $z\times z^{\prime }$ dans un repère.

Soit $z,$ $z^{\prime }$ les nombres complexes dont les écritures trigonométriques sont $z=\sqrt{3}\left(\cos \left(\frac{-\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{-\pi }{3}\right)\right)$ et $z^{\prime }=2,5\left(\cos \left(\frac{-\pi }{6}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{-\pi }{6}\right)\right).$
Représenter ces nombres dans un repère et déterminer l'écriture trigonométrique de $z\times z^{\prime }.$

1. Déterminer l'expression algébrique du nombre complexe $z=\frac{2+3\text{i}}{2-\text{i}}.$

2. Déterminer l'expression algébrique du nombre complexe $z^{\prime }=\frac{2-2\text{i}}{5\text{i}}.$

3. En déduire l'expression algébrique du nombre complexe $\frac{2+3\text{i}}{2-\text{i}}+\frac{2-2\text{i}}{5\text{i}}.$