Nombres complexes

Définition

Un nombre complexe est un nombre de la forme $a+\text{i}b,$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels et $\text{i}$ est un nombre « imaginaire » tel que ${\text{i}}^2=-1.$ Le nombre $a$ est appelé partie réelle et le nombre $b$ est appelé partie imaginaire. L'écriture $a+\text{i}b$ est appelée la forme algébrique du nombre complexe.

Exemple : $3-2\text{i}$ et $-0,5+\text{i}$ sont des nombres complexes.
La partie réelle de $3-2\text{i}$ est $3,$ sa partie imaginaire est $-2.$

Notation

On note $\text{Re}(z)$ la partie réelle et $\text{Im}(z)$ la partie imaginaire d'un nombre complexe $z.$

Définition

Définition

Le conjugué d'un nombre complexe $a+\text{i}b$ est le nombre complexe $a-\text{i}b.$ On note $\overline{z}$ le conjugué de $z.$

Exemple : Sur le graphique précédent, l'affixe de $\text{A}$ est $-3+\text{i}$ et l'affixe de $\text{C}$ est $-3-\text{i}.$
Leurs affixes sont conjuguées. Ces points sont donc symétriques par rapport à l'axe horizontal.

Écrire les affixes des points $\text{A,}$ $\text{B}$ et $\text{C}$ dont les coordonnées dans un repère orthonormé sont $\text{A}(-1;1),$ $\text{B}(1;-1)$ et $\text{C}(0;2).$

Écrire les affixes des points $\text{D,}$ $\text{E}$ et $\text{F}$ dont les coordonnées dans un repère orthonormé sont $\mathrm{D}\left(\frac{1}{2};\frac{-1}{2}\right),$ $\mathrm{E}\left(\frac{1}{3};-1\right)$ et $\text{F}(0;0).$

Écrire les affixes des points $\text{M,}$ $\text{N}$ et $\text{L}$ dont les coordonnées dans un repère orthonormé sont $\text{M}(4;2),$ $\text{N}(-1;-2)$ et $\text{L}(0,5;0).$

Écrire les coordonnées des points $\text{F,}$ $\text{G}$ et $\text{H}$ d'affixes respectives ${\text{z}}_{\mathrm{F}}=6-5\text{i},$ ${\text{z}}_{\mathrm{G}}=-1+\text{i}$ et ${\text{z}}_{\mathrm{H}}=0,3-0,1\text{i}.$

Écrire les coordonnées des points $\text{M,}$ $\text{N}$ et $\text{L}$ d'affixes respectives $z_{\text{M}}=-4\text{i},$ $z_{\text{N}}=-2,5$ et $z_{\text{L}}=3+\text{i}.$

Dans le repère orthonormé ci-dessous, placer les points $\text{F,}$ $\text{G}$ et $\text{H}$ d'affixes respectives $z_{\text{F}}=-0,5+0,5\text{i},$ $z_{\text{G}}=0,1-0,3\text{i}$ et $z_{\text{H}}=-0,8.$

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

Écrire trois nombres complexes ayant la même partie réelle que $6-7\text{i},$ puis trois nombres complexes ayant la même partie imaginaire que $-2+10\text{i}.$

Écrire le conjugué de $z=-0,5+2\text{i}.$

Écrire les affixes des points $\text{K,}$ $\text{L,}$ $\text{M}$ et $\text{N}$ représentés dans le repère orthonormé ci-dessous.

On considère les points $\text{A,}$ $\text{B}$ et $\text{C,}$ d'affixes respectives $z_{\mathrm{A}}=1-3\mathrm{i},$ $z_{\mathrm{B}}=-3,5+\mathrm{i}$ et $z_{\mathrm{C}}=2.$ Dans le repère ci-dessous, placer les points ${\mathrm{A}}^{\prime },$ ${\mathrm{B}}^{\prime }$ et ${\mathrm{C}}^{\prime }$ d'affixes respectives ${\overline{z}}_{\mathrm{A}},$ $\overline{z_{\mathrm{B}}}$ et $\overline{z_{\mathrm{C}}}.$

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

On considère les points $\text{A,}$ $\text{B}$ et $\text{C,}$ d'affixes respectives $z_{\mathrm{A}}=-2\mathrm{i},$ $z_{\mathrm{B}}=5+0,5\mathrm{i}$ et $z_{\mathrm{C}}=-4.$ Écrire les conjugués $\overline{z_{\mathrm{A}}}$, $\overline{z_{\mathrm{B}}}$ et $\overline{z_{\mathrm{C}}}$ de $z_{\mathrm{A}}$, $z_{\mathrm{B}}$ et $z_{\mathrm{C}}.$

Écrire les conjugués des nombres $z_{\mathrm{A}}=4+1,2\mathrm{i},$ $z_{\mathrm{B}}=-5-\mathrm{i},$ $z_{\mathrm{C}}=7,2\mathrm{i}$ et $z_{\mathrm{D}}=\frac{1}{2}.$

Soit $z=2,8\text{i}-9$ un nombre complexe. Écrire son conjugué $\overline{z}$ et le conjugué $\overline{\overline{z}}$ de $\overline{z}.$

Soit le point $\text{A}$ d'affixe $z=2+3\text{i}.$

1. Calculer $\overline{z}$ l'affixe du point $\text{B.}$

2. Calculer $-z$ l'affixe du point $\text{C.}$

3. Calculer $\overline{-z}$ l'affixe du point $\text{D.}$

4. Placer ces quatre points dans un repère. Que remarque-t-on ?

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