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p. 1-9

Partie 1 : Statistique et probabilités

Ch. 1
Statistiques à deux variables

Ch. 2
Probabilités

Partie 2 : Algèbre - Analyse

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 3
Suites numériques

Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3

Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal

Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers

Partie 3 : Géométrie

Ch. 7
Vecteurs

Ch. 8
Trigonométrie

Annexes

Révisions Genially

Consolidation

Poursuite d'études

Annexes

Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation

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Poursuite d'études

Nombres complexes

✔Calculer et interpréter géométriquement le module et l'argument d'un nombre complexe et l'écrire sous forme trigonométrique.

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Définitions

Le module d'un nombre complexe $z = a + i b$ est : $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2} .$

Un argument d'un nombre complexe non nul $z$ est une mesure en radian de l'angle orienté $θ$ tel que $cos (θ) = \frac{Re ( z )}{∣ z ∣}$ et $sin (θ) = \frac{Im ( z )}{∣ z ∣} .$
Il est déterminé, en fonction des valeurs du cosinus et du sinus, grâce au tableau suivant.

$θ$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$
$cos (θ)$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{- 1}{2}$	$\frac{- 2}{2}$	$\frac{- 3}{2}$	$- 1$
$sin (θ)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$

L'écriture trigonométrique d'un nombre complexe de module

r = ∣ z ∣

et d'argument

θ

est son écriture sous la forme

z = r (cos (θ) + i sin (θ)) .

Exemple : Sur la figure ci-dessous, l'affixe de

M

sous forme trigonométrique est

z = 2 (cos (\frac{3 π}{8}) + i sin (\frac{3 π}{8}))

car la valeur en radian correspondant à

67, 5°

est

\frac{3 π}{8} .

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Exercice corrigé

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Énoncé

On considère le nombre complexe

z = 3 - i .

1. Déterminer le module et un argument de

z

puis donner son écriture trigonométrique.

2. Placer le point

M

d'affixe

z

dans un repère orthonormé.

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Solution

a = Re (z) = 3

b = Im (z) = - 1

donc

∣ z ∣ = (3)^{2} + (- 1)^{2} = 3 + 1 = 2.

cos (θ) = \frac{3}{2}

sin (θ) = \frac{- 1}{2}

donc

θ = \frac{- π}{6} .

Finalement,

z = 2 (cos (\frac{- π}{6}) + i sin (\frac{- π}{6})) .

Méthode

1. On identifie

a = Re (z)

b = Im (z) .

On calcule

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2},

cos θ = \frac{a}{∣ z ∣}

sin θ = \frac{b}{∣ z ∣} .

On utilise le tableau pour déduire la mesure de l'angle

θ

de son cosinus et de son sinus.
Dans la formule

z = r (cos (θ) + i sin (θ)),

on remplace

r

θ

par leurs valeurs, sans calculer

cos (θ)

sin (θ) .

2. Pour placer le point

M,

on construit la demi-droite d'origine

O

formant un angle

θ

avec l'axe horizontal.
On place

M

sur cette demi-droite, tel que

OM = ∣ z ∣.

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Exercices

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Exercice 17

Donner les valeurs exactes des modules des nombres complexes suivants.
1.

2 - 3 i

- 5 + i

0, 4 + 1, 2 i

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Exercice 18

Donner une valeur approchée, arrondie au dixième, des modules des nombres complexes suivants.
1.

6 i - 7

13 + 9 i

12 i

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Exercice 19

Soit

z = 4 - 7 i .

Donner la valeur exacte de

∣ z ∣

et de

∣ z ∣.

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Exercice 20

Déterminer le module et un argument des nombres complexes

2 i

- 3.

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Exercice 21

Déterminer le module et un argument du nombre complexe

z = 1 - i

et de son conjugué.

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Exercice 22

Déterminer le module et un argument du nombre complexe

z = 12 + 6 i

et de son conjugué.

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Exercice 23

Donner l'écriture trigonométrique des nombres complexes suivants.
1.

3 - 3 i

- 5 + 5 i

- 53 - 15 i

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Exercice 24

Donner l'écriture algébrique des nombres complexes suivants.
1.

0, 1 (cos (π) + i sin (π))

2 (cos (\frac{3 π}{4}) + i sin (\frac{3 π}{4}))

4 (cos (\frac{- π}{2}) + i sin (\frac{- π}{2}))

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Exercice 25

Représenter dans un repère orthonormé les points

M,

N

P

d'affixes respectives :

$z_{M} = 1, 5 (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2}));$

$z_{N} = 2 (cos (\frac{π}{6}) + i sin (\frac{π}{6}));$

$z_{P} = (cos (\frac{- π}{3}) + i sin (\frac{- π}{3})) .$

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Exercice 26

Donner les écritures trigonométriques des nombres complexes suivants :

z_{A} = - 1,

z_{B} = 1,

z_{C} = i

z_{D} = - i .

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Exercice 27

Déterminer les écritures trigonométriques des affixes

a,

b

c

des points

A,

B

C

représentés ci-dessous, vérifiant

OA = 2,

OB = 1

OC = 2 .

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Exercice 28

Les points

C,

D

E

ci-dessous sont sur le cercle de centre

O

et de rayon

6 .

Donner les arguments des affixes respectives

z_{C},

z_{D}

z_{E}

de chacun de ces points, puis leur écriture trigonométrique, et en déduire leur écriture algébrique.

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Exercice 29

Déterminer les écritures trigonométriques des nombres complexes

z_{A} = - 8 + i 8

z_{B} = - 18 - i 18

puis les représenter dans un repère orthonormé direct.

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Exercice 30

Déterminer les écritures trigonométriques des nombres complexes

z_{C} = 75 - 5 i

z_{D} = 2 + i 12

puis les représenter dans un repère orthonormé direct.

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Exercice 31

Déterminer les écritures trigonométriques des affixes des points

C,

D

E

représentés ci-dessous.

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