Mathématiques Terminale Bac Pro

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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Poursuite d'études

Produit scalaire

Utiliser le produit scalaire pour déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux.

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Définition

Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires.

Exemple : Sur le schéma ci-dessous, \overrightarrow{\mathrm{AB}} est un représentant du vecteur \vec{u} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} est un représentant du vecteur \vec{v}. Comme les droites \text{(AB)} et \text{(AC)} sont perpendiculaires, les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux.

Poursuite d'études - Produit scalaire
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Propriété

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, \vec{u} \cdot \vec{v}=0.

Remarque : \overrightarrow{0} est orthogonal à tout vecteur.

Exemple : Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs tels que \|\vec{u}\|=3, \|\vec{v}\|=4 et \|\vec{u}+\vec{v}\|=5.
\vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{1}{2}\left(5^{2}-4^{2}-3^{2}\right)=\frac{1}{2}(25-16-9)=0. Donc \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux.

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Exercice corrigé

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Énoncé
Dans un repère orthonormé, on considère les points \text{A}(1\: ; 1), \text{B}(0{,}5\: ; - 2) et \text{C}(-8 \:; 2{,}5).
Montrer que le triangle \text{ABC} est rectangle.
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Solution
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On peut conjecturer que \text{ABC} est rectangle en \text{A.}
\overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} ont pour coordonnées \left(\begin{array}{l} 0{,}5-1 \\ -2-1 \end{array}\right) et \left(\begin{array}{l} -8-1 \\ 2{,}5-1 \end{array}\right), soit \overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c} -0{,}5 \\ -3 \end{array}\right) et \overrightarrow{\mathrm{AC}}\left(\begin{array}{c} -9 \\ 1{,}5 \end{array}\right).

Donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-0{,}5 \times(-9)+(-3) \times 1{,}5=4{,}5-4{,}5=0.
Ainsi \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} sont orthogonaux et donc \text{ABC} est rectangle en \text{A.}

Méthode
  • On fait un schéma et on conjecture en quel sommet est l'angle droit.

  • On calcule les coordonnées des vecteurs associés aux côtés de l'angle droit.

  • On calcule leur produit scalaire en utilisant la formule \vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime} et on vérifie qu'il est égal à 0.
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Exercices

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Exercice 33
Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{l} -3 \\ 0{,}4 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} 1{,}2 \\ 1 \end{array}\right).
Les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont-ils orthogonaux ?
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Exercice 34
Le triangle ci-dessous est-il rectangle ?

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Exercice 35
Dans un repère orthonormé, on considère les points \mathrm{A}(0 \:; 4), \mathrm{B}(2{,}4\: ; 1) et \mathrm{C}(-3{,}75 \:; 1).
Montrer que le triangle \text{ABC} est rectangle en \text{A.}
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Exercice 36
Dans un repère orthonormé, on considère les points \mathrm{A}(-0{,}75 \:; 5{,}5), \mathrm{B}(-0{,}25 \:; 2) et \mathrm{C}(0{,}75 \:; 2{,}5).
Montrer que le triangle \text{ABC} est rectangle en \text{C.}
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Exercice 37
Dans un repère orthonormé, on considère les points \text{A,} \text{B,} \text{C} et \text{D,} de coordonnées respectives \mathrm{A}(6 \:;-2), \mathrm{B}(6 \:; 0{,}4), \mathrm{C}(7{,}6 \:; 2) et \mathrm{D}(7{,}6 \:;-0{,}4).

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Les diagonales \text{[AC]} et \text{[BD]} du quadrilatère \text{ABCD} sont-elles perpendiculaires ?
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Exercice 38
Dans un repère orthonormé, les droites d et \text{D} admettent respectivement pour vecteur directeur \vec{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1{,}4 \end{array}\right).

Ces droites sont-elles perpendiculaires ?
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Exercice 39
Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs tels que \|\vec{u}\|=5, \|\vec{v}\|=12 et \|\vec{u}+\vec{v}\|=13.
Les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont-ils orthogonaux ?
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Exercice 40
Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs tels que \|\vec{u}\|=0{,}15, \|\vec{v}\|=0{,}1 et \|\vec{u}+\vec{v}\|=0{,}17.
Les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont-ils orthogonaux ?
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Exercice 41
Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs orthogonaux tels que \|\vec{u}\|=7 et \|\vec{v}\|=24.
Calculer \| \vec{u}+\vec{v} \|.
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Exercice 42
Dans le rectangle \text{ABIH,} on sait que \text{HD = HA} et \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{DI}}.

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En se plaçant dans le repère (\mathrm{H} \:; \overrightarrow{\mathrm{HD}}, \overrightarrow{\mathrm{HA}}), montrer que les droites \text{(BC)} et \text{(AD)} sont perpendiculaires.
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Exercice 43
Soit \vec{u}\left(\begin{array}{c} 15 \\ -1{,}8 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} 6 \\ x \end{array}\right) dans un repère orthonormé.

Déterminer la valeur du réel x tel que \vec{u} et \vec{v} soient orthogonaux.
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Exercice 44
Dans un triangle \text{HEC,} \text{CH = 6} et \text{HE} = \text{EC} = 3\sqrt2.
Est-ce que le triangle \text{HEC} est rectangle ?
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Exercice 45
Soit x un nombre réel, \text{O,} \text{A} et \text{B} les points de coordonnées \mathrm{O}(0 \:; 0), \mathrm{A}(2 \:; 3{,}5) et \mathrm{B}(-1 \:; x) dans un repère orthonormé.

1. Calculer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{OA}} et exprimer celles du vecteur \overrightarrow{\mathrm{OB}} en fonction de x.

2. Déterminer la valeur de x telle que le triangle \text{OAB} soit rectangle en \text{O.}
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Exercice 46
Soit \vec{u}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} 1 \\ x \end{array}\right) dans un repère orthonormé.

Calculer la valeur de x telle que \vec{u} soit orthogonal à \vec{v}.
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Exercice 47
Dans un repère orthonormé, on considère le point \text{F}(-1 \:; 1) et le vecteur \vec{u}\left(\begin{array}{c} 16 \\ 0 \end{array}\right).
1. Soit x et y deux nombres réels, et \text{M} le point de coordonnées \text{M}(x \:; y). Exprimer les coordonnées du vecteur \vec{\text{FM}} en fonction de x et y.

2. Déterminer pour quelle valeur de x les vecteurs \vec{u} et \vec{\text{FM}} sont orthogonaux.
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Exercice 48
Soit x un réel, et \mathrm{O}(0 \:; 0), \mathrm{A}(-2 \:;-5) et \mathrm{B}(x \:;-5) trois points dans un repère orthonormé.
1. Exprimer les coordonnées de \vec{\text{BO}} et \vec{\text{BA}} en fonction de x.

2. Déterminer la valeur de x telle que le triangle \text{OAB} soit rectangle en \text{B.}
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