Produit scalaire

Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires.

Exemple : Sur le schéma ci-dessous, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ est un représentant du vecteur $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ est un représentant du vecteur $\overrightarrow{v}.$ Comme les droites $\text{(AB)}$ et $\text{(AC)}$ sont perpendiculaires, les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0.$

Remarque : $\overrightarrow{0}$ est orthogonal à tout vecteur.

Exemple : Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs tels que $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =3,$ $\Vert \overrightarrow{v}\Vert =4$ et $\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert =5.$
$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left(5^2-4^2-3^2\right)=\frac{1}{2}(25-16-9)=0.$ Donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

On peut conjecturer que $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{A.}$
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ont pour coordonnées $\left(\begin{array}{l}0,5-1\\ -2-1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{l}-8-1\\ 2,5-1\end{array}\right),$ soit $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c}-0,5\\ -3\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\left(\begin{array}{c}-9\\ 1,5\end{array}\right).$

Donc $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-0,5\times (-9)+(-3)\times 1,5=4,5-4,5=0.$
Ainsi $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont orthogonaux et donc $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{A.}$