Poursuite d'études
Produit scalaire
✔Utiliser le produit scalaire de deux vecteurs pour calculer une longueur, un angle.
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Définition
Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls et \theta l'angle formé par ces vecteurs.
Le produit scalaire de \vec{u} et \vec{v} est le nombre noté \vec{u} \cdot \vec{v} qui vaut \vec{u} \cdot \vec{v}=\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\| \times \cos (\theta).
Exemple : Sur la figure ci-dessous, \text{AB} = 2, \text{AC} = 3 et \widehat{\mathrm{BAC}}=60^{\circ}.
Le produit scalaire des vecteurs \vec{\text{AB}} et \vec{\text{AC}} est égal à \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| \times\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\| \times \cos (\widehat{\mathrm{BAC}})=2 \times 3 \times \cos \left(60^{\circ}\right)=3 car \cos \left(60^{\circ}\right)=0{,}5.
Le produit scalaire de \vec{u} et \vec{v} est le nombre noté \vec{u} \cdot \vec{v} qui vaut \vec{u} \cdot \vec{v}=\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\| \times \cos (\theta).
Exemple : Sur la figure ci-dessous, \text{AB} = 2, \text{AC} = 3 et \widehat{\mathrm{BAC}}=60^{\circ}.
Le produit scalaire des vecteurs \vec{\text{AB}} et \vec{\text{AC}} est égal à \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| \times\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\| \times \cos (\widehat{\mathrm{BAC}})=2 \times 3 \times \cos \left(60^{\circ}\right)=3 car \cos \left(60^{\circ}\right)=0{,}5.
Propriétés
Soit \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} trois vecteurs et k un nombre réel.1. \vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}
2. (k \vec{u}) \cdot \vec{v}=k(\vec{u} \cdot \vec{v})
3. (\vec{u}+\vec{v}) \cdot \vec{w}=\vec{u} \cdot \vec{w}+\vec{v} \cdot \vec{w}
Propriété
Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls.
On a \vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{1}{2} \times\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}\right).
Exemple : Sur la figure ci-dessous, \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}, donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2} \times\left(\|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\|^{2}-\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}-\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}\right).
Exemple : Sur la figure ci-dessous, \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}, donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2} \times\left(\|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\|^{2}-\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}-\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}\right).
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Exercice corrigé
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Énoncé
Le quadrilatère \text{ABCD} ci-dessous est un parallélogramme.
\text{AD} = 3, \text{AB} = 3\sqrt2, \widehat{\mathrm{BAD}}=45^{\circ}.
1. Calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}.
2. Écrire la relation entre \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2},\|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\|^{2} et \|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}.
3. En déduire une valeur approchée de la longueur \text{AC,} arrondie au dixième.
\text{AD} = 3, \text{AB} = 3\sqrt2, \widehat{\mathrm{BAD}}=45^{\circ}.
1. Calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}.
2. Écrire la relation entre \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2},\|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\|^{2} et \|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}.
3. En déduire une valeur approchée de la longueur \text{AC,} arrondie au dixième.
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Solution
1. On a \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| \times\|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\| \times \cos (\widehat{\mathrm{BAD}}).
Or (\widehat{\mathrm{BAD}})=\cos \left(45^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}, donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=3 \sqrt{2} \times 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2}=9.
2. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\|^{2}-\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}-\|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\|^{2}\right) donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}-\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}-\|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\|^{2}\right).
3. D'après l'égalité précédente, 9=\frac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}-18-9\right) donc 9 \times 2=\left(\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}-27\right), \text { d'où } 45=\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}.
On en déduit que \mathrm{AC}=\sqrt{45}=3 \times \sqrt{5} \approx 6,7.
Or (\widehat{\mathrm{BAD}})=\cos \left(45^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}, donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=3 \sqrt{2} \times 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2}=9.
2. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\|^{2}-\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}-\|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\|^{2}\right) donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}-\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}-\|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\|^{2}\right).
3. D'après l'égalité précédente, 9=\frac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}-18-9\right) donc 9 \times 2=\left(\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}-27\right), \text { d'où } 45=\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}.
On en déduit que \mathrm{AC}=\sqrt{45}=3 \times \sqrt{5} \approx 6,7.
Méthode
1. On utilise la formule du produit scalaire faisant intervenir le cosinus de l'angle \widehat{\mathrm{BAD}} : \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| \times\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\| \times \cos (\widehat{\mathrm{BAD}}).
2. On utilise la relation : \vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{1}{2} \times\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}\right) avec \vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{AD}} et \vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}.
3. Dans la relation précédente, on remplace \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2} et \|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\|^{2} par leurs valeurs et on résout l'équation obtenue pour déterminer \|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}.
Enfin, on calcule la racine carrée de ce résultat.
2. On utilise la relation : \vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{1}{2} \times\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}\right) avec \vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{AD}} et \vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}.
3. Dans la relation précédente, on remplace \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2} et \|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\|^{2} par leurs valeurs et on résout l'équation obtenue pour déterminer \|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}.
Enfin, on calcule la racine carrée de ce résultat.
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Exercices
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Exercice 1
Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs tels que \|\vec{u}\|=1{,}5,
\|\vec{v}\|=3 et \theta=180^{\circ}.
Calculer \vec{u} \cdot \vec{v}.
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Exercice 2
Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs tels que \|\vec{u}\|=0{,}4,
\|\vec{v}\|=2 et \theta=120^{\circ}.
Calculer \vec{u} \cdot \vec{v}.
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Exercice 3
Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs tels que \|\vec{u}\|=0{,}12,
\|\vec{v}\|=25 et \theta=0^{\circ}.
Calculer \vec{u} \cdot \vec{v}.
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Exercice 4
Soit \text{A,} \text{B} et \text{C} trois points tels que \text{AB} = 4, \text{AC} = 0{,}1 et \widehat{\mathrm{BAC}}=30^{\circ}.
Calculer une valeur approchée au dixième de \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
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Exercice 5
Soit \text{D,} \text{E} et \text{F} trois points tels que \text{ED} = 60, \text{EF} = 0{,}05 et \widehat{\mathrm{DEF}}=40^{\circ}.
Calculer une valeur approchée au dixième de \overrightarrow{\mathrm{ED}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EF}}.
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Exercice 6
Soit \text{A,} \text{E} et \text{F} trois points tels que \text{AE} = 1, \text{AF} = 2{,}3 et \widehat{\mathrm{EAF}}=100^{\circ}.
Calculer une valeur approchée au dixième de \overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}.
Calculer une valeur approchée au dixième de \overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}.
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Exercice 7
Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs tels que \vec{u} \cdot \vec{v}=3.
Calculer (-\vec{u}) \cdot \vec{v}, (2 \vec{u}) \cdot \vec{v}, \vec{v} \cdot \vec{u} et \vec{u} \cdot(0,5 \vec{v}).
Calculer (-\vec{u}) \cdot \vec{v}, (2 \vec{u}) \cdot \vec{v}, \vec{v} \cdot \vec{u} et \vec{u} \cdot(0,5 \vec{v}).
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Exercice 8
Dans l'hexagone
régulier ci-dessous, \text{AB = AG = 1.}
Associer entre eux les produits scalaires égaux :
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Exercice 9
Dans l'hexagone
régulier ci-dessous, calculer les expressions suivantes.
1. (\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}
2. (\overrightarrow{\mathrm{GF}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}
3. \overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}
1. (\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}
2. (\overrightarrow{\mathrm{GF}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}
3. \overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}
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Exercice 10
Soit \vec{u} et \vec{v} tels que \|\vec{u}\|=2, \|\vec{v}\|=0{,}5 et \|\vec{u}+\vec{v}\|=2{,}2.
Calculer \vec{u} \cdot \vec{v}.
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Exercice 11
Soit \vec{u} et \vec{v} tels que \|\vec{u}\|=10, \|\vec{v}\|=9 et \|\vec{u}+\vec{v}\|=13.
Calculer \vec{u} \cdot \vec{v}.
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Exercice 12
Soit \text{A,} \text{B} et \text{C} trois points tels que \text{AB} = 0{,}4, \text{BC} = 0{,}3 et \text{AC} = 0{,}6.
Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} et \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
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Exercice 13
\text{ABCD} est un parallélogramme tel que \text{BC} = 6{,}4 et \text{AB} = \text{DB}=4.
Calculer \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
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Exercice 14
Soit \text{H,} \text{I} et \text{J} trois points tels que \text{HI = 4,} \text{HJ = 3} et \text{IJ = 4.}
Calculer \overrightarrow{\mathrm{IH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HJ}} et en déduire \overrightarrow{\mathrm{HI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HJ}}.
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Exercice 15
Le quadrilatère \text{ABCD} est un parallélogramme.
1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}.
2. Écrire l'expression de \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} en fonction des carrés des longueurs \text{AB,} \text{AD} et \text{AC.}
3. En déduire la longueur \text{AC} arrondie à l'unité.
1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}.
2. Écrire l'expression de \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} en fonction des carrés des longueurs \text{AB,} \text{AD} et \text{AC.}
3. En déduire la longueur \text{AC} arrondie à l'unité.
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Exercice 16
Le quadrilatère \text{HKIJ} est un losange de côté 3 cm.
1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{HJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HK}}.
2. En utilisant une autre expression de ce produit scalaire, calculer la longueur \text{HI.}
1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{HJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HK}}.
2. En utilisant une autre expression de ce produit scalaire, calculer la longueur \text{HI.}
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Exercice 17
Soit \text{ABCD} un parallélogramme tel que \text{AB = 4,} \text{AD = 2,8} et \text{AC = 5,4.}
1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}.
2. Donner l'expression de \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} en fonction du cosinus de l'angle \widehat{\mathrm{BAD}} et en déduire la mesure en degré de cet angle, arrondie à l'unité.
1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}.
2. Donner l'expression de \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} en fonction du cosinus de l'angle \widehat{\mathrm{BAD}} et en déduire la mesure en degré de cet angle, arrondie à l'unité.
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