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p. 1-9

Partie 1 : Statistique et probabilités

Ch. 1
Statistiques à deux variables

Ch. 2
Probabilités

Partie 2 : Algèbre - Analyse

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Ch. 3
Suites numériques

Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3

Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal

Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers

Partie 3 : Géométrie

Ch. 7
Vecteurs

Ch. 8
Trigonométrie

Annexes

Révisions Genially

Consolidation

Poursuite d'études

Annexes

Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation

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Poursuite d'études

Produit scalaire

✔Utiliser le produit scalaire de deux vecteurs pour calculer une longueur, un angle.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Définition

Soit

u

v

deux vecteurs non nuls et

θ

l'angle formé par ces vecteurs.
Le produit scalaire de

u

v

est le nombre noté

u \cdot v

qui vaut

u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (θ)

.

Exemple : Sur la figure ci-dessous,

AB = 2,

AC = 3

BAC = 6 0^{\circ} .

Le produit scalaire des vecteurs

AB

AC

est égal à

AB \cdot AC = ∥ AB ∥ \times ∥ AC ∥ \times cos (BAC) = 2 \times 3 \times cos (6 0^{\circ}) = 3

car

cos (6 0^{\circ}) = 0, 5.

Propriétés

Soit

u,

v

w

trois vecteurs et

k

un nombre réel.
1.

u \cdot v = v \cdot u

(k u) \cdot v = k (u \cdot v)

(u + v) \cdot w = u \cdot w + v \cdot w

Propriété

Soit

u

v

deux vecteurs non nuls. On a

u \cdot v = \frac{1}{2} \times (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2}) .

Exemple : Sur la figure ci-dessous,

AB + AC = AD,

donc

AB \cdot AC = \frac{1}{2} \times (∥ AD ∥^{2} - ∥ AB ∥^{2} - ∥ AC ∥^{2}) = \frac{1}{2} (AD^{2} - AB^{2} - AC^{2}) .

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Exercice corrigé

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Énoncé

Le quadrilatère

ABCD

ci-dessous est un parallélogramme.

AD = 3,

AB = 32,

BAD = 4 5^{\circ} .

1. Calculer le produit scalaire

AB \cdot AD .

2. Écrire la relation entre

AB \cdot AD,

∥ AB ∥^{2}, ∥ AD ∥^{2}

∥ AC ∥^{2} .

3. En déduire une valeur approchée de la longueur

AC,

arrondie au dixième.

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Solution

1. On a

AB \cdot AD = ∥ AB ∥ \times ∥ AD ∥ \times cos (BAD) .

(BAD) = cos (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2},

donc

AB \cdot AD = 32 \times 3 \times \frac{2}{2} = 9.

AB \cdot AD = \frac{1}{2} (∥ AB + AD ∥^{2} - ∥ AB ∥^{2} - ∥ AD ∥^{2})

donc

AB \cdot AD = \frac{1}{2} (∥ AC ∥^{2} - ∥ AB ∥^{2} - ∥ AD ∥^{2}) .

3. D'après l'égalité précédente,

9 = \frac{1}{2} (∥ AC ∥^{2} - 18 - 9)

donc

9 \times 2 = (∥ AC ∥^{2} - 27), d’o u ˋ 45 = ∥ AC ∥^{2} .

On en déduit que

AC = 45 = 3 \times 5 \approx 6, 7.

Méthode

1. On utilise la formule du produit scalaire faisant intervenir le cosinus de l'angle

BAD

AB \cdot AD = ∥ AB ∥ \times ∥ AC ∥ \times cos (BAD) .

2. On utilise la relation :

u \cdot v = \frac{1}{2} \times (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2})

avec

u = AB,

v = AD

u + v = AB + AD = AC .

3. Dans la relation précédente, on remplace

AB \cdot AD,

∥ AB ∥^{2}

∥ AD ∥^{2}

par leurs valeurs et on résout l'équation obtenue pour déterminer

∥ AC ∥^{2} .

Enfin, on calcule la racine carrée de ce résultat.

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Exercices

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Exercice 1

Soit

u

v

deux vecteurs tels que

∥ u ∥ = 1, 5,

∥ v ∥ = 3

θ = 18 0^{\circ} .

Calculer

u \cdot v .

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Exercice 2

Soit

u

v

deux vecteurs tels que

∥ u ∥ = 0, 4,

∥ v ∥ = 2

θ = 12 0^{\circ} .

Calculer

u \cdot v .

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Exercice 3

Soit

u

v

deux vecteurs tels que

∥ u ∥ = 0, 12,

∥ v ∥ = 25

θ = 0^{\circ} .

Calculer

u \cdot v .

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Exercice 4

Soit

A,

B

C

trois points tels que

AB = 4,

AC = 0, 1

BAC = 3 0^{\circ} .

Calculer une valeur approchée au dixième de

AB \cdot AC .

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Exercice 5

Soit

D,

E

F

trois points tels que

ED = 60,

EF = 0, 05

DEF = 4 0^{\circ} .

Calculer une valeur approchée au dixième de

ED \cdot EF .

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Exercice 6

Soit

A,

E

F

trois points tels que

AE = 1,

AF = 2, 3

EAF = 10 0^{\circ} .

Calculer une valeur approchée au dixième de

AE \cdot AF .

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Exercice 7

Soit

u

v

deux vecteurs tels que

u \cdot v = 3.

Calculer

(- u) \cdot v,

(2 u) \cdot v,

v \cdot u

u \cdot (0, 5 v) .

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Exercice 8

Dans l'hexagone régulier ci-dessous,

AB = AG = 1.

Associer entre eux les produits scalaires égaux :

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Exercice 9

Dans l'hexagone régulier ci-dessous, calculer les expressions suivantes.

(AB + BC) \cdot BC

(GF + DC) \cdot AB

DB \cdot BC

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Exercice 10

Soit

u

v

tels que

∥ u ∥ = 2,

∥ v ∥ = 0, 5

∥ u + v ∥ = 2, 2.

Calculer

u \cdot v .

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Exercice 11

Soit

u

v

tels que

∥ u ∥ = 10,

∥ v ∥ = 9

∥ u + v ∥ = 13.

Calculer

u \cdot v .

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Exercice 12

Soit

A,

B

C

trois points tels que

AB = 0, 4,

BC = 0, 3

AC = 0, 6.

Calculer

AB \cdot BC

BA \cdot AC .

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Exercice 13

ABCD

est un parallélogramme tel que

BC = 6, 4

AB = DB = 4.

Calculer

BA \cdot BC .

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Exercice 14

Soit

H,

I

J

trois points tels que

HI = 4,

HJ = 3

IJ = 4.

Calculer

IH \cdot HJ

et en déduire

HI \cdot HJ .

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Exercice 15

Le quadrilatère

ABCD

est un parallélogramme.

1. Calculer

AB \cdot AD .

2. Écrire l'expression de

AB \cdot AD

en fonction des carrés des longueurs

AB,

AD

AC.

3. En déduire la longueur

AC

arrondie à l'unité.

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Exercice 16

Le quadrilatère

HKIJ

est un losange de côté

3

cm.

1. Calculer

HJ \cdot HK .

2. En utilisant une autre expression de ce produit scalaire, calculer la longueur

HI.

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Exercice 17

Soit

ABCD

un parallélogramme tel que

AB = 4,

AD = 2,8

AC = 5,4.

1. Calculer

AB \cdot AD .

2. Donner l'expression de

AB \cdot AD

en fonction du cosinus de l'angle

BAD

et en déduire la mesure en degré de cet angle, arrondie à l'unité.

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