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p. 1-9

Partie 1 : Statistique et probabilités

Ch. 1

Statistiques à deux variables

Ch. 2

Probabilités

Partie 2 : Algèbre - Analyse

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 3

Suites numériques

Ch. 4

Fonctions polynômes de degré 3

Ch. 5

Fonctions exponentielles et logarithme décimal

Ch. 6

Calculs commerciaux et financiers

Partie 3 : Géométrie

Ch. 7

Vecteurs

Ch. 8

Trigonométrie

Annexes

Révisions Genially

Consolidation

Poursuite d'études

Annexes

Programmation

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Poursuite d'études

Fonctions logarithme népérien et exponentielle

✔ Utiliser les propriétés opératoires de la fonction $l n$ pour résoudre une équation.

Ressource affichée de l'autre côté.
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Propriétés

Soit

a

b

k

des nombres réels strictement positifs.

$ln (a \times b) = ln (a) + ln (b) .$

$ln (\frac{1}{b}) = - ln (b)$ et $ln (\frac{a}{b}) = ln (a) - ln (b) .$

$ln (a^{k}) = k \times ln (a)$ et en particulier $ln (a^{2}) = 2 \times ln (a) .$

Remarque

Ces propriétés sont les mêmes que pour la fonction

lo g .

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Exercice corrigé

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Énoncé

Déterminer le plus grand entier naturel

n

tel que

1, 2 5^{n} ⩽ 20.

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Solution

La fonction

ln

étant strictement croissante sur

] 0; + \infty [,

1, 2 5^{n} ⩽ 20

équivaut à

ln (1, 2 5^{n}) ⩽ ln (20) .

Comme

ln (1, 2 5^{n}) = n \times ln (1, 25),

alors on a

n \times ln (1, 25) ⩽ ln (20)

donc

n ⩽ \frac{ln ( 20 )}{ln ( 1 , 25 )}

car

ln (1, 25) > 0.

On calcule

\frac{ln ( 20 )}{ln ( 1 , 25 )} \approx 13, 4.

Le plus grand entier naturel

n

tel que

1, 2 5^{n} ⩽ 20

est donc

13.

On peut vérifier à l'aide de la calculatrice :

1, 2 5^{13} \approx 18, 19

1, 2 5^{14} \approx 22, 74.

Méthode

On procède de la même manière qu'avec la fonction

lo g .

On utilise la croissance de $ln$ pour écrire : $1, 2 5^{n} ⩽ 20 \Leftrightarrow ln (1, 2 5^{n}) ⩽ ln (20) .$

On applique les propriétés opératoires de $ln$ pour écrire $ln (1, 2 5^{n})$ comme le produit de deux nombres.

On résout l'inéquation obtenue comme une inéquation du premier degré. Attention au signe quand on divise par un logarithme.

On utilise la calculatrice pour obtenir une valeur approchée des logarithmes népériens.

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Exercices

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Exercice 13

Exprimer, en fonction de

ln (2)

ln (3)

les expressions suivantes.

1.

ln (3 \times 2)

ln (2 \times 27)

ln (\frac{2}{9})

ln (9 \times 4 \times 27)

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Exercice 14

Exprimer, en fonction de

x

ln (2)

ln (3)

les expressions suivantes.

1.

A = ln (\frac{2}{9 ^{x}})

B = ln (\frac{2 ^{x}}{3})

C = ln (6) - ln (2)

D = ln (8 \times 1, 5^{x})

E = ln (1 2^{x}) - ln (4^{x})

F = ln (\frac{3}{4}) + ln (\frac{2}{3})

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Exercice 15

Utiliser les propriétés opératoires du logarithme pour simplifier les expressions suivantes.

1.

A = ln (\frac{0 , 7 5 ^{x}}{2})

B = ln ((x - 1)^{2}) - ln (x - 1)

C = ln (\frac{1}{2}) + ln (\frac{1}{2})

D = ln (1, 4^{x})

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Exercice 16

Soit

f

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par

f : x \mapsto ln (x^{2}) .

Simplifier l'expression de

f

et en déduire l'expression de sa fonction dérivée.

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Exercice 17

Donner une valeur approchée, arrondie au dixième, de la solution de chacune de ces équations.

1.

2^{x} = 1

0, 1^{x} = e

e^{x} = 2

1, 2^{x} = 1, 44

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Exercice 18

Donner une valeur approchée, arrondie au dixième, de la solution de chacune de ces équations.
1.

(\frac{2}{3})^{n} = 1

2 \times 5^{n} = 4

2 \times 3^{n} = 9

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Exercice 19

Dans chaque cas, déterminer le plus grand entier

n

vérifiant l'inéquation donnée.

1.

2, 1^{n} ⩽ 8

4 \times 1 0^{n} ⩽ 200

(\frac{3}{2})^{n} ⩽ 20

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Exercice 20

Dans chaque cas, déterminer le plus petit entier

n

vérifiant l'inéquation donnée.

1.

5, 3^{n} > 40

4, 5^{n} ⩾ 18

(\frac{8}{3})^{n} ⩾ 1

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Exercice 21

Résoudre les inéquations suivantes. On arrondira les solutions à

1 0^{- 2}

près.

1.

0, 9^{x} < 0, 5

1, 8^{x} > 1, 9^{2}

(\frac{4}{5})^{x} ⩾ 0, 6

4^{x} ⩽ 5^{x}

0, 1^{x} < 0, 2^{x}

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Exercice 22

Une quantité augmente de

20

% par heure. Sa valeur au début de l'observation est

u_{0} = 1.

1. Calculer sa valeur, arrondie au dixième, au bout de cinq heures.

2. On donne l'algorithme suivant, écrit en langage courant.

12345 u = 1, n = 0 Tant que u < 6 faire : u \leftarrow u \times 1, 2 n \leftarrow n + 1 Afficher n

À quoi sert cet algorithme ?

3. Déterminer la valeur de la variable

n

à la fin de l'exécution de l'algorithme.

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Exercice 23

Une quantité un diminue de

12

% par an. Sa valeur de départ est

u_{0} = 1.

1. Calculer sa valeur arrondie à

1 0^{- 1}

après quatre ans.

2. On modélise l'évolution de cette quantité dans un tableur.

Capture d'écran tableur: calcul suite numérique. Formule en saisie pour calculer la suite. Colonnes 'n', 'Un', 'Moitié ?'.

Compléter la formule à entrer en B3 puis à faire glisser vers le bas, afin de calculer la valeur de cette quantité chaque année.

3. Compléter la formule suivante, à entrer en C2, afin qu'elle affiche

1

jusqu'à ce que la quantité observée ait diminué de moitié et

0

ensuite : « =SI(B2 … ; 0 ; 1) ».

4. Déterminer le nombre de

1

obtenus dans la colonne C et interpréter ce résultat.

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Exercice 24

Soit

f

g

les fonctions définies sur

R

par

f : x \mapsto 5 \times 1, 5^{x}

g : x \mapsto 100 \times 0, 7^{x} .

On a représenté ces deux fonctions dans le repère ci-dessous.

Poursuite d'études, Fonctions logarithme népérien et exponentielle

1. Identifier la courbe représentative de chaque fonction. Justifier la réponse.

2. Résoudre graphiquement l'inéquation

f (x) < g (x) .

Arrondir à l'unité.

3. Retrouver ce résultat par le calcul.

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Exercice 25

Soit

f

g

les fonctions définies sur

R

par

f : x \mapsto 5 \times 1, 4^{x}

g : x \mapsto 8 \times 1, 3^{x} .

1. Représenter ces fonctions sur l'écran d'une calculatrice et conjecturer les coordonnées de leur point d'intersection.

2. Recopier et compléter le programme suivant, qui détermine une valeur approchée de l'abscisse de leur point d'intersection.

12345 x = 0, f = ..., g = ... Tant que g - f > 0, 01 faire : f \leftarrow ... g \leftarrow ... Afficher x

3. Déterminer la valeur affichée à la fin de l'exécution de ce programme.

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