Mathématiques 3e - 2021

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Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres entiers
Ch. 2
Calcul numérique
Ch. 3
Calcul littéral
Ch. 4
Équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 5
Notion de fonction
Ch. 7
Situations de proportionnalité
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 10
Théorème de Thalès et triangles semblables
Ch. 11
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Ch. 12
Transformations dans le plan et leurs effets
Ch. 13
Géométrie dans l'espace
Partie 4 : Mesures et grandeurs
Ch. 14
Mesures et grandeurs
Annexes
Scratch
Dossier brevet
Rappels, Index, Compétences
Révisions Genially
Calcul littéral
Plan de travail
Chapitre 6
Cours et méthodes

Fonctions affines

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Fonctions linéaires

A
Définition

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Définitions

Pour un nombre \color{red}a donné, la fonction f qui associe à tout nombre x le nombre \color{red}a\color{black}x est une fonction linéaire. On écrit f: x \mapsto \color{red}a\color{black} x.
Le nombre \color{red}a est le coefficient de la fonction linéaire f.
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Exemple

La fonction f: x \mapsto \color{red}4\color{black} x est une fonction linéaire de coefficient 4.
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Propriété

Un tableau de valeurs d'une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.
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Exemple

Pour la fonction f: x \mapsto \color{red}4\color{black} x, on considère le tableau de valeurs suivant.
Placeholder pour tableau de valeurs de la fonction ftableau de valeurs de la fonction f
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\color{red}a\color{black} = 4 est le coefficient de proportionnalité du tableau.
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Remarque

Toute situation de proportionnalité peut être modélisée par une fonction linéaire.
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Représentation graphique

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Propriétés

1.  Dans un repère, la courbe représentative d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.

2.  Dans un repère, toute droite non verticale passant par l'origine est la représentation graphique d'une fonction linéaire.
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Exemple

La courbe représentative de la fonction f: x \mapsto \color{red}4\color{black} x est la droite passant par l'origine et de coefficient directeur \color{red}4 (voir ci‑dessous).

courbe représentative de la fonction f
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Remarque

Le nombre \color{red}a est appelé le coefficient directeur de la droite.
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Méthodes

Déterminer le coefficient d'une fonction linéaire

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Énoncé
On considère la fonction linéaire f telle que f(4)=6. Déterminer son coefficient a.
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Méthode

  • f est une fonction linéaire donc f(x)=a x.
  • Grâce à cette expression, on peut exprimer f(4) en fonction de a.
  • Comme f(4) est connu, on résout ensuite une équation d'inconnue a.


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Solution
La fonction f est linéaire donc f(x)=a x.
En particulier, f(4)=a \times 4.
Comme f(4)=6, alors a \times 4=6.
D'où a=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.
Le coefficient de la fonction f est a=\frac{3}{2} donc f(x)=\frac{3}{2} x.

Pour s'entraîner
Exercices p. 118 et p. 120
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Représenter une fonction linéaire

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Énoncé
Représenter dans un repère la fonction linéaire f telle que f(x)=-3 x.
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Méthode

  • La courbe représentative d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.
  • Il suffit donc de trouver un second point de cette droite pour pouvoir la tracer.
  • Pour cela, on calcule l'image d'un nombre. Par exemple, ici, on calcule f(1).
Coup de pouce
  • Choisir des points espacés pour avoir un tracé précis.
  • Placer un troisième point pour vérifier l'alignement.
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Solution
Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine \text{O} du repère.
Comme f(\color{#F2B946}1\color{black})=-3 \times 1=\color{blue}-3\color{black}, la droite passe aussi par le point \mathrm{A}(\color{#F2B946}1\color{black} ;\color{blue}-3\color{black}).
La droite (\text{OA}) est donc la courbe représentative de la fonction f.

courbe représentative de la fonction f
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Pour s'entraîner
Exercices p. 119 et p. 121.
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Fonctions affines

A
Définition

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Définitions

\color{red}a et \color{green}b sont deux nombres donnés. La fonction f qui associe à tout nombre x le nombre \color{red}a\color{black}x + \color{green}b est une fonction affine. On écrit {f: x \mapsto \color{red}a\color{black} x+\color{green}b}.
Les nombres \color{red}a et \color{green}b sont les paramètres de la fonction affine f.
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Exemple

La fonction f: x \mapsto \color{red}3\color{black} x-\color{green}2 est la fonction affine de paramètres \color{red}a = 3 et \color{green}b = -2.
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Remarques

Il existe des fonctions affines particulières.
1. Si \color{green}b\color{black} = 0, alors f(x)=\color{red}a\color{black} x et f est une fonction linéaire.
2. Si \color{red}a\color{black} = 0, alors f(x)=\color{green}b et f est une fonction constante.
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B
Représentation graphique

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Propriété

Dans un repère, la courbe représentative d'une fonction affine est une droite.
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Vocabulaire

Le nombre \color{red}a est le coefficient directeur de la droite. Le nombre \color{green}b est l'ordonnée à l'origine de la droite.
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Exemple 1

On considère la fonction f définie par f(x)=\color{red}3\color{black} x-\color{green}2.
Comme \color{green}-2 est l'ordonnée à l'origine, la courbe représentative de f est une droite (d) passant par le point \mathrm{A}(0 \: ;\color{green}-2\color{black}).
De plus, \color{red}a\color{black} = \color{red}3 est positif. Ainsi, lorsque x augmente de 1, f(x) augmente de 3.
Donc la droite (d) passe également par le point de coordonnées (0+1 \: ;-2+\color{red}3\color{black}), soit \mathrm{B}(1 \: ; 1).

courbe représentative de f - exemple 1
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Exemple 2

On considère la fonction f définie par f(x)=\color{red}-2\color{black} x+\color{green}4.
Comme \color{green}4 est l'ordonnée à l'origine, la courbe représentative de f est une droite (d) passant par le point \mathrm{A}(0 \: ;\color{green}4\color{black}).
De plus, \color{red}a\color{black} = \color{red}-2 est négatif. Ainsi, lorsque x augmente de 1, f(x) diminue de 2.
Donc la droite (d) passe également par le point de coordonnées (0+1 \: ;4\color{red}-2\color{black}), soit \mathrm{B}(1 \: ; 2).

courbe représentative de f - exemple 2
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Méthodes

Représenter une fonction affine à l'aide de deux points

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Énoncé
Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction affine f: x \mapsto \frac{1}{3} x-1.
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Méthode

  • La courbe représentative d'une fonction affine est une droite. Il suffit donc d'en connaître deux points pour pouvoir la tracer.
  • On calcule les images de deux nombres pour obtenir ces deux points. Par exemple, ici, on calcule f(-3) et f(6).
Coup de pouce
  • Choisir des valeurs de x dont la différence est significative afin d'obtenir des points espacés.
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Solution
La courbe représentative d'une fonction affine est une droite (d).
Par exemple, ici, on calcule f(-3) et f(6).
f(\color{#61c3d6}-3\color{black})=\frac{1}{3} \times(\color{#61c3d6}-3\color{black})-1=-1-1=\color{#CE422B}-2
Donc le point \mathrm{A}(\color{#61c3d6}-3\color{black} \: ;\color{#CE422B}-2\color{black}) appartient à la droite (d).
f(\color{#61c3d6}6\color{black})=\frac{1}{3} \times \color{#61c3d6}6\color{black}-1=2-1=\color{#CE422B}1\color{black}
Donc le point \mathrm{B}(\color{#61c3d6}6\color{black} \: ; \color{#CE422B}1\color{black}) appartient à la droite (d).

courbe représentative de f - solution
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Pour s'entraîner
Exercices et p. 119.
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Représenter une fonction affine à l'aide du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine

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Énoncé
Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction affine f de paramètres a = -2 et b = 5.
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Méthode

  • On place le point \mathrm{A}(0 \: ; \color{#5EB45E}b\color{black}).
  • À partir du point \text{A}, on utilise le coefficient directeur pour trouver un second point. Quand x augmente de 1 unité, alors f(x) augmente ou diminue de \color{#CE422B}a unités (selon le signe de \color{#CE422B}a).


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Solution
La courbe représentative de f est une droite (d). \color{#CE422B}a est le coefficient directeur de la droite (d) et \color{#5EB45E}b est son ordonnée à l'origine.
Ici, \color{#5EB45E}b\color{black} = \color{#5EB45E}5\color{black}. La droite (d) passe donc par le point \mathrm{A}(0 \: ; \color{#5EB45E}5\color{black}).
De plus, \color{#CE422B}a\color{black} = \color{#CE422B}-2\color{black} donc, à partir du point \text{A}, lorsque x augmente de 1, f(x) diminue de 2.
On obtient ainsi le point \mathrm{B}(1 \: ; 3).
On trace alors la droite (d) passant par les points \text{A} et \text{B}.

courbe représentative de f - solution
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Pour s'entraîner
Exercices et p. 119.

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