Géométrie dans l'espace

Soit \text{R} un nombre strictement positif.
La sphère de centre \text{O} et de rayon \text{R} est l'ensemble des points \text{M} de l'espace tels que \text{OM = R}.
La boule de centre \text{O} et de rayon \text{R} est l'ensemble des points \text{M} de l'espace tels que {\mathrm{OM} \leqslant \mathrm{R}}.

Une boule est pleine et une sphère est creuse.

La section d'un solide par un plan est l'ensemble des points de l'espace appartenant à la fois au plan et au solide.

La section d'une sphère par un plan est un cercle et celle d'une boule est un disque.

Représenter une sphère de centre \text{O} et de rayon 4 cm en perspective cavalière.

On trace un cercle de centre \text{O} et de rayon 4 cm. On trace en perspective un grand cercle de la sphère de centre \text{O}. Il faut penser à représenter la partie cachée du grand cercle en pointillés.

On repère si les points concernés appartiennent ou non à la sphère ou s'ils correspondent au centre de la sphère.

On réalise la section d'une sphère de centre \text{A} et de rayon 5 cm par un plan situé à 3 cm du centre. Dessiner en vraie grandeur la section obtenue. On appellera \text{B} son centre.

La section d'une sphère par un plan est un cercle. On utilise le théorème de Pythagore afin de déterminer le rayon de la section. On trace le cercle.

La section de la sphère par un plan perpendiculaire à (\text{NS}) est un cercle appelé un parallèle.
Un méridien est un demi‑cercle de diamètre [\text{NS}].

Dans le cas où la Terre est ainsi assimilée à une sphère, on peut repérer un point \text{M} de sa surface par deux coordonnées géographiques correspondant à des mesures d'angles : sa latitude et sa longitude.
Le parallèle origine est appelé équateur et le méridien origine est le méridien de Greenwich.
La latitude du point \text{M} est la mesure de l'angle, ayant pour sommet le centre de la sphère, compris entre l'équateur et le parallèle sur lequel se trouve le point \text{M}.
La longitude du point \text{M} est la mesure de l'angle, ayant pour sommet le centre de la sphère, compris entre le méridien de Greenwich et le méridien sur lequel se trouve le point \text{M}.

• La latitude est comprise entre 0° et 90° Nord ou Sud.
• La longitude est comprise entre 0° et 180° Est ou Ouest.

Le point \text{A} se situe sur le 45^e parallèle Nord et le 30^e méridien Est donc les coordonnées géographiques de ce point sont 45° Nord et 30° Est.

1. On détermine la latitude (Nord ou Sud) en lisant la mesure de l'angle, dont le sommet est le centre de la sphère, compris entre l'équateur et le parallèle sur lequel est situé le point.
On détermine la longitude (Est ou Ouest) en lisant la mesure de l'angle, dont le sommet est le centre de la sphère, compris entre le méridien de Greenwich et le méridien sur lequel est situé le point.

2. On repère l'équateur et le méridien de Greenwich pour déterminer le parallèle et le méridien sur lesquels se trouve la ville.

Calculer le rayon du 42^e parallèle Nord.

• On trace une figure à main levée afin de se représenter la situation.
• On utilise la trigonométrie.

La section d'un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle.
La section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que cette face.

La section d'un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à sa base est un rectangle.
La section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle à sa base est un disque.

La section et la base du solide dans le cas du cône et de la pyramide sont dits « homothétiques », la section est une réduction de la base. On peut donc appliquer le théorème de Thalès pour déterminer les dimensions des sections ainsi que le coefficient de réduction.

\text{ABCDEFGH} est un pavé droit de dimensions \text{AB} = 4\:\text{cm}, \text{BC} = 3\:\text{cm} et \text{AE} = 6\:\text{cm}.
On le coupe par un plan parallèle à la face \text{ABCD}. Dessiner en vraie grandeur la section obtenue.

• On utilise la propriété du cours : la section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que cette face.
• On trace donc un rectangle en vraie grandeur en utilisant les longueurs données dans l'énoncé.

• On utilise la propriété du cours : la section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est une figure de même nature que la base.
• On utilise le coefficient de réduction ou le théorème de Thalès.