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p. 1-9

Partie 1 : Analyse

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Ch. 1
Suites

Ch. 2
Fonctions

Ch. 3
Dérivation

Partie 2 : Statistiques et probabilités

Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5
Variables aléatoires

Automatismes

Partie 3 : Géométrie

Ch. 6
Trigonométrie

Ch. 7
Produit scalaire

Ch. 8
Nombres complexes

Partie 4 : Analyse

Ch. 9
Compléments sur la dérivation

Ch. 10
Primitives

Révisions Genially

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Chapitre 9

Cours 3

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

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A
Module et argument d'un nombre complexe

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On se place dans un repère orthonormé direct $(O; u, v)$ qu'on appelle plan complexe.

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Définitions

Soit

z = a + i b

un nombre complexe. On note

M

son point image dans le plan complexe.

On appelle module de $z$ , et on note $∣ z ∣$ , la distance $OM$ .
Si $z \neq = 0$ , on appelle argument de $z$ , et on note $arg (z)$ , toute mesure, en radian, de l'angle orienté $(u, OM)$ .

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Remarques

Un nombre complexe admet une infinité d'arguments qui diffèrent tous d'un multiple de

2 π

. Un argument est donc défini « modulo

2 π

».

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Exemple

On a représenté ci‑dessous le nombre complexe de module

4

et d'argument

\frac{π}{12}

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Propriété

Pour tout nombre complexe

z

écrit sous forme algébrique

z = a + i b

, on a

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

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Démonstration

❯ Activité C p. 215

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Exemple

Soit

z

le nombre complexe

z = 4 + 3 i

.
Alors,

∣ z ∣ = 4^{2} + 3^{2} = 25 = 5

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Propriétés

Soient

z

z^{'}

deux nombres complexes. Alors :

1.

∣ z ˉ ∣ = ∣ - z ∣ = ∣ z ∣ = ∣ - z ˉ ∣

;

2.

∣ z \times z^{'} ∣ = ∣ z ∣ \times ∣ z^{'} ∣

;

3. quel que soit

n \in N

∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}

;

4. si

z \neq = 0

\frac{1}{z} = \frac{1}{∣ z ∣}

;

5. si

z^{'} \neq = 0

\frac{z}{z ^{'}} = \frac{∣ z ∣}{∣ z ^{'} ∣}

Remarque

Le module est donc compatible avec la multiplication, la division et les puissances.

Remarque

Attention,

∣ z + z^{'} ∣ \neq = ∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣

en général.

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Exemple

z = \frac{3 + 2 i}{8 - 6 i}

, alors

∣ z ∣ = \frac{∣3 + 2 i ∣}{∣8 - 6 i ∣} = \frac{3 ^{2} + 2 ^{2}}{8 ^{2} + ( - 6 ) ^{2}} = \frac{13}{64 + 36} = \frac{13}{100} = \frac{13}{10}

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Propriété

A

B

sont deux points d'affixe respective

z_{A}

z_{B}

, alors

AB = ∣ z_{B} - z_{A} ∣

Remarque

M (z)

O (0)

, alors

OM = ∣ z - 0∣ = ∣ z ∣

, ce qui correspond à la définition du module.

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Exemple

Soient

A

B

deux points du plan complexe d'affixes

z_{A} = 3 + i

z_{B} = - 1 - 2 i

.
Alors

AB = ∣ z_{B} - z_{A} ∣ = ∣ - 1 - 2 i - (3 + i) ∣ = ∣ - 4 - 3 i ∣

.
D'où

AB = (- 4)^{2} + (- 3)^{2} = 25 = 5

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Propriété

Soit

z

un nombre complexe non nul et

θ = ar g (z)

.
Alors

cos (θ) = \frac{Re ( z )}{∣ z ∣}

sin (θ) = \frac{Im ( z )}{∣ z ∣}

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Exemple

z = 1 + i

, on a

∣ z ∣ = (1)^{2} + (1)^{2} = 2

.
Donc

cos (θ) = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

.
L'utilisation du cercle trigonométrique permet d'obtenir

θ = \frac{π}{4}

, à un multiple de

2 π

près.

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Application et méthode - 5

Calculer le module et un argument d'un nombre complexe

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Énoncé

Calculer un argument de

1 - 3 i

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Méthode

On calcule d'abord le module.
On calcule ensuite $cos (θ)$ et $sin (θ)$ .
On en déduit enfin $θ$ par lecture sur le cercle trigonométrique.

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Solution

$∣1 - 3 i ∣ = 1^{2} + (- 3)^{2} = 1 + 3 = 4 = 2$ .
En notant $θ = ar g (z)$ , on a $⎩ ⎨ ⎧ cos (θ) = \frac{1}{2} sin (θ) = - \frac{3}{2}$ .
On en déduit que $ar g (z) = - \frac{π}{3}$ à un multiple de $2 π$ près.

Pour s'entraîner : exercices

47 p. 227

98 p. 232

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B
Forme trigonométrique

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Définition

Soient

z

un nombre complexe non nul et

θ

un argument de

z

.
Alors on peut écrire

z = ∣ z ∣ (cos (θ) + i sin (θ))

.
Cette forme est appelée forme trigonométrique de

z

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Remarque

Un nombre complexe admet une infinité de formes trigonométriques puisqu'il admet une infinité d'arguments, qui diffèrent d'un multiple de

2 π

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Exemple

2 (cos (- \frac{π}{3}) + i sin (- \frac{π}{3}))

est une forme trigonométrique de

1 - 3 i

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Application et méthode - 6

Déterminer la forme trigonométrique d'un nombre complexe

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Énoncé

1. Écrire

- 2 + 2 i

sous forme trigonométrique.

2. Déterminer la forme algébrique de

3 (cos (\frac{2 π}{3}) + i sin (\frac{2 π}{3}))

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Méthode

Pour passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique, on calcule le module et un argument.
Pour passer d'une forme trigonométrique à la forme algébrique, on calcule le cosinus et le sinus de l'argument donné, puis on développe et on réduit.

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Solution

1. On a

∣ - 2 + 2 i ∣ = (- 2)^{2} + 2^{2} = 8 = 22

.
En notant

θ

un argument de

- 2 + 2 i

, on a :

cos (θ) = \frac{- 2}{2 2} = \frac{- 1}{2} = \frac{- 2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{2 2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

.
Donc

ar g (z) = \frac{3 π}{4}

à un multiple de

2 π

près.
Ainsi,

z = 22 (cos (\frac{3 π}{4}) + i sin (\frac{3 π}{4}))

.

2.

3 (cos (\frac{2 π}{3}) + i sin (\frac{2 π}{3})) = 3 (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i) = - \frac{3}{2} + \frac{3 3}{2} i

Pour s'entraîner : exercices

53 p. 227

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Ch. 1Suites

Ch. 2Fonctions

Ch. 3Dérivation

Ch. 4Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5Variables aléatoires

Automatismes

Ch. 6Trigonométrie

Ch. 7Produit scalaire

Ch. 8Nombres complexes

Ch. 9Compléments sur la dérivation

Ch. 10Primitives

Révisions Genially

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

A Module et argument d'un nombre complexe

On se place dans un repère orthonormé direct (O;u,v) qu'on appelle plan complexe.

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Calculer le module et un argument d'un nombre complexe

Méthode

B Forme trigonométrique

Déterminer la forme trigonométrique d'un nombre complexe

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Ch. 1
Suites

Ch. 2
Fonctions

Ch. 3
Dérivation

Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5
Variables aléatoires

Ch. 6
Trigonométrie

Ch. 7
Produit scalaire

Ch. 8
Nombres complexes

Ch. 9
Compléments sur la dérivation

Ch. 10
Primitives

A
Module et argument d'un nombre complexe

On se place dans un repère orthonormé direct $(O; u, v)$ qu'on appelle plan complexe.

B
Forme trigonométrique