Propositions et connecteurs logiques

Implications et réciproques

On dit qu'une proposition \text{P} implique une proposition \text{Q} quand, lorsque \text{P} est vraie, alors \text{Q} est vraie aussi. Cela se traduit par une phrase du type « Si \text{P}, alors \text{Q} », et se note mathématiquement \mathrm{P} {\color{red}\Rightarrow} \mathrm{Q}.
L'implication inverse \mathrm{Q} \Rightarrow \mathrm{P} est appelée sa réciproque.
Prenons l'exemple du théorème de Pythagore : « Si le triangle \text{ABC} est rectangle en \text{B}, alors \mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} ».
Si on note \text{P} : « Le triangle \text{ABC} est rectangle en \text{B} » et \text{Q} : « \mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} », le théorème de Pythagore peut se noter \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{Q}.
Sa réciproque est \mathrm{Q} \Rightarrow \mathrm{P}. Elle est également vraie.

Équivalences

Si \text{P} implique \text{Q} et \text{Q} implique \text{P,} on dit que \text{P} et \text{Q} sont des propositions équivalentes et on note \mathrm{P} {\color{red}\Leftrightarrow} \mathrm{Q}.
Cela se traduit par une phrase du type « \text{P} si, et seulement si, \text{Q} ».
Par exemple, « \text{ABCD} est un carré » et « \text{ABCD} est un quadrilatère avec quatres côtés de même longueur et quatre angles droits » sont deux propositions équivalentes.

Quantificateurs