Mathématiques Terminale Bac Pro - Cahier

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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Poursuite d'études
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Annexes
Éléments de logique

Éléments de logique

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Propositions et connecteurs logiques

  • Une proposition mathématique est un énoncé qui peut être vrai ou faux.
    Par exemple, « Les réels sont tous positifs » est une proposition qui est toujours fausse, « 4 est un multiple de 2 » est une proposition toujours vraie tandis que « x = 2 » est une proposition qui peut être vraie ou fausse selon la valeur de x.

  • En mathématiques, le mot « et » signifie « à la fois ». Le mot « ou » signifie « au moins l'un des deux ».
    On considère par exemple deux propositions \text{P} : « x est un nombre réel positif ou nul » et \text{Q} : « x est un nombre réel négatif ou nul ».
    Alors « \text{P} et \text{Q} » est la proposition « x = 0 », et « \text{P} ou \text{Q} » est la proposition « x est un nombre réel ».
Rappel
Le « ou » logique est l'équivalent de l'union d'ensembles, alors que le « et » logique correspond à l'intersection.
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Implications et réciproques

On dit qu'une proposition \text{P} implique une proposition \text{Q} quand, lorsque \text{P} est vraie, alors \text{Q} est vraie aussi. Cela se traduit par une phrase du type « Si \text{P}, alors \text{Q} », et se note mathématiquement \mathrm{P} {\color{red}\Rightarrow} \mathrm{Q}.
L'implication inverse \mathrm{Q} \Rightarrow \mathrm{P} est appelée sa réciproque.
Prenons l'exemple du théorème de Pythagore : « Si le triangle \text{ABC} est rectangle en \text{B}, alors \mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} ».
Si on note \text{P} : « Le triangle \text{ABC} est rectangle en \text{B} » et \text{Q} : « \mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} », le théorème de Pythagore peut se noter \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{Q}.
Sa réciproque est \mathrm{Q} \Rightarrow \mathrm{P}. Elle est également vraie.
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Équivalences

Si \text{P} implique \text{Q} et \text{Q} implique \text{P,} on dit que \text{P} et \text{Q} sont des propositions équivalentes et on note \mathrm{P} {\color{red}\Leftrightarrow} \mathrm{Q}.
Cela se traduit par une phrase du type « \text{P} si, et seulement si, \text{Q} ».
Par exemple, « \text{ABCD} est un carré » et « \text{ABCD} est un quadrilatère avec quatres côtés de même longueur et quatre angles droits » sont deux propositions équivalentes.
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Quantificateurs

Une proposition peut dépendre d'un paramètre et contenir alors un quantificateur qui donnera des précisions sur ce paramètre.
Il s'agit soit d'un quantificateur universel, soit d'un quantificateur existentiel.

  • Quantificateur universel :
    On sait que tous les réels ont un carré positif. La proposition « Pour tout réel x, x^{2} \geqslant 0 » est donc vraie.
    « Pour tout » est appelé quantificateur universel.
    Pour montrer qu'une proposition quantifiée par un « Pour tout » est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple. La proposition « La racine carrée d'un entier est un entier » est fausse car, par exemple, 7 est un entier mais \sqrt{7} n'est pas un entier.

Attention
Il ne suffit pas d'un exemple pour prouver qu'une telle proposition est vraie.
  • Quantificateur existentiel :
    Le nombre 7 étant positif, la proposition « Il existe un réel positif x tel que x^{2}=7 » est vraie. Ce réel est unique et il s'agit de \sqrt{7}.
    « Il existe » est appelé quantificateur existentiel.
    Pour montrer qu'une proposition quantifiée par un « Il existe » est vraie, il suffit de trouver un exemple qui fonctionne.

Attention
Il ne suffit pas d'un contre-exemple pour prouver qu'une telle proposition est fausse.

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