Chapitre 6
Cours 1
Mesure d'un angle en radian
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A
Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique
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Définitions
Dans un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \mathrm{I}, \mathrm{J}), le cercle trigonométrique est le cercle de centre \text{O} et de rayon 1 sur lequel on a choisi un sens de parcours qui est celui inverse des aiguilles d'une montre. Ce sens est appelé sens direct ou encore sens trigonométrique.
Remarque
Le sens des aiguilles d'une montre est appelé sens indirect (ou sens horaire).
Remarque
Le sens trigonométrique correspond au sens de circulation sur un sens giratoire.
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Propriété
Le cercle trigonométrique a pour périmètre 2\pi.
Remarque
Le périmètre d'un cercle de rayon \text{R} est 2\pi \text{R}.
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Définition
Dans un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \mathrm{I}, \mathrm{J}), on note \mathcal{C} le cercle trigonométrique. Soit T la tangente à \mathcal{C} au point \text{I}. On assimile cette droite à l'axe des réels.
En enroulant la droite \text{T} autour du cercle trigonométrique, on observe que, à tout point de \text{T}, on associe un unique point du cercle trigonométrique.
En revanche, à chaque point du cercle correspond une infinité de points de la droite qui sont tous égaux à un multiple de 2\pi près.
Cette opération est appelée enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique.
En enroulant la droite \text{T} autour du cercle trigonométrique, on observe que, à tout point de \text{T}, on associe un unique point du cercle trigonométrique.
En revanche, à chaque point du cercle correspond une infinité de points de la droite qui sont tous égaux à un multiple de 2\pi près.
Cette opération est appelée enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique.
Remarque
Lors de l'enroulement, lorsqu'on a fait exactement une fois le tour du cercle trigonométrique, on a parcouru le périmètre du cercle, c'est-à-dire 2\pi.
GeoGebra
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Application et méthode - 1
Placer des valeurs sur le cercle trigonométrique
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Énoncé
Placer sur le cercle trigonométrique les réels \pi, \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4} et \frac{7\pi}{2}.
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Solution
On sait que 2\pi correspond à un tour complet de cercle dans le sens positif.
Par proportionalité :
Pour s'entraîner : et p. 180
Par proportionalité :
- \pi correspond à un demi-tour dans le sens positif ;
- \frac{\pi}{2} correspond à un quart de tour dans le sens positif ;
- -\frac{\pi}{4} correspond à un huitième de tour dans le sens négatif ;
- \frac{7\pi}{2} correspond à sept quarts de tour dans le sens positif.
Pour s'entraîner : et p. 180
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Puisque le cercle trigonométrique a pour rayon 1, son périmètre vaut 2\pi, ce qui correspond à un tour complet du cercle.
On place ensuite les points en prenant garde à l'orientation du cercle :
On place ensuite les points en prenant garde à l'orientation du cercle :
- on tourne dans le sens direct pour placer un réel positif ;
- on tourne dans le sens horaire pour placer un réel négatif.
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B
Mesure d'un angle en radian
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Définition
Soit \text{M} un point du cercle trigonométrique. On note x le nombre réel appartenant à [0 \: ; 2 \pi] correspondant au point \text{M} après enroulement de la droite des réels.
On dit que x est une mesure en radian de l'angle \widehat{\text{IOM}}.
On dit que x est une mesure en radian de l'angle \widehat{\text{IOM}}.
Notation
Le radian se note rad.
Notation
En général, si l'angle en radian a une mesure qui est une fraction de \pi ou un multiple de \pi, on omet la notation « rad ».
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Exemple
Un angle de 360\degree correspond à un tour de cercle complet, c'est-à-dire à 2\pi rad. De plus, les angles en radian et en degré sont proportionnels, ce qui permet d'obtenir le tableau de correspondance ci-dessous.
| Angle en degré | 0\degree | 30\degree | 45\degree | 60\degree | 90\degree | 180\degree | 360\degree |
| Angle en radian | 0 | \frac{\pi}{6} | \frac{\pi}{4} | \frac{\pi}{3} | \frac{\pi}{2} | \pi | 2\pi |
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Définition
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls. L'angle orienté entre \vec{u} et \vec{v} se note (\vec{u}, \vec{v}).
On considère le point \text{A} tel que \vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} et le point \text{B} tel que \vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}.
On considère le point \text{A} tel que \vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} et le point \text{B} tel que \vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}.
- Une mesure \bm{\theta} de l'angle \bm{(\vec{u}, \vec{v})} est la mesure de l'angle \widehat{\text{AOB}} en radian, auquel on affecte un signe + dans le cas d'un angle parcouru dans le sens direct et un signe - dans le cas contraire.
- L'ensemble des mesures de (\vec{u}, \vec{v}) sont de la forme \theta+k \times 2 \pi, où k \in \mathbb{Z}.
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Exemples
- Si les vecteurs \vec{u} et \vec{v} forment un angle de 90\degree parcouru dans le sens indirect (sens horaire), on a (\vec{u}, \vec{v})=-\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi, avec k \in \mathbb{Z}.
- Si les vecteurs \vec{u} et \vec{v} forment un angle de 90\degree parcouru dans le sens direct, on a (\vec{u}, \vec{v})=\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi, avec k \in \mathbb{Z}.
Remarque
L'entier |k| correspond au nombre de tours effectués autour du cercle pour mesurer l'angle.
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Application et méthode - 2
Convertir la mesure d'un angle
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Énoncé
Quelle est la mesure en degré d'un angle égal à \dfrac{\pi}{5} rad ?
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Solution
| Angle en degré | 180\degree | x |
| Angle en radian | \pi | \dfrac{\pi}{5} |
Par proportionnalité, on obtient x=\frac{180 \times \frac{\pi}{5}}{\pi}=\frac{180}{5}=36\degree.
Pour s'entraîner : et p. 180
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On utilise un tableau de proportionnalité pour convertir les degrés en radian ou inversement (\pi rad correspond à un angle de 180\degree).
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C
Mesure principale d'un angle orienté
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Définition
La mesure principale d'un angle orienté est, parmi l'ensemble des mesures de l'angle, la seule qui appartienne à l'intervalle ]-\pi \: ; \pi].
Remarque
Un réel de la forme \frac{a}{b} \pi appartient à ]-\pi \: ; \pi] si, et seulement si,-1\lt \frac{a}{b} \leqslant 1.
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Exemples
1. \frac{3 \pi}{5} est une mesure principale car \frac{3 \pi}{5} \in ]-\pi \: ; \pi ].
2. -\frac{7 \pi}{6} n'est pas une mesure principale car -\frac{7 \pi}{6} n'appartient pas à ]-\pi\: ; \pi].
Comme -\frac{7 \pi}{6}+2 \pi=-\frac{7 \pi}{6}+\frac{12 \pi}{6}=\frac{5 \pi}{6}, alors la mesure principale d'un angle mesurant -\frac{7 \pi}{6} est \frac{5 \pi}{6}.
2. -\frac{7 \pi}{6} n'est pas une mesure principale car -\frac{7 \pi}{6} n'appartient pas à ]-\pi\: ; \pi].
Comme -\frac{7 \pi}{6}+2 \pi=-\frac{7 \pi}{6}+\frac{12 \pi}{6}=\frac{5 \pi}{6}, alors la mesure principale d'un angle mesurant -\frac{7 \pi}{6} est \frac{5 \pi}{6}.
Remarque
Si un angle n'appartient pas à ]-\pi \: ; \pi], alors il suffit d'additionner ou soustraire 2\pi un certain nombre de fois pour retrouver la mesure principale.
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Application et méthode - 3
Déterminer la mesure principale d'un angle
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Énoncé
Déterminer la mesure principale de l'angle orienté de mesure \dfrac{14 \pi}{3}.
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Solution
- \frac{14 \pi}{3} n'appartient pas à ]-\pi \: ; \pi] car \frac{14}{3} \approx 4,7 \notin]-1\: ; 1].
- \frac{14 \pi}{3}-2 \pi=\frac{14 \pi}{3}-\frac{6 \pi}{3}=\frac{8 \pi}{3} n'appartient pas à ]-\pi \: ; \pi] car \frac{8}{3} \approx 2,7 \notin]-1 \: ; 1].
- \frac{8 \pi}{3}-2 \pi=\frac{8 \pi}{3}-\frac{6 \pi}{3}=\frac{2 \pi}{3} appartient à ]-\pi \: ; \pi].
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- Si la mesure de l'angle orienté appartient à ]-\pi \: ; \pi], alors c'est la mesure principale.
- Sinon, on retire (ou on ajoute selon les cas) autant de fois 2\pi que nécessaire jusqu'à obtenir une mesure comprise dans ]-\pi \: ; \pi].
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