Mesure d'un angle en radian

Dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\mathrm{I},\mathrm{J})$, le cercle trigonométrique est le cercle de centre $\text{O}$ et de rayon $1$ sur lequel on a choisi un sens de parcours qui est celui inverse des aiguilles d'une montre. Ce sens est appelé sens direct ou encore sens trigonométrique.

Le cercle trigonométrique a pour périmètre $2\pi$.

Dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\mathrm{I},\mathrm{J})$, on note $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique. Soit $T$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point $\text{I}$. On assimile cette droite à l'axe des réels.

En enroulant la droite $\text{T}$ autour du cercle trigonométrique, on observe que, à tout point de $\text{T}$, on associe un unique point du cercle trigonométrique.

En revanche, à chaque point du cercle correspond une infinité de points de la droite qui sont tous égaux à un multiple de $2\pi$ près.

Cette opération est appelée enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique.

Soit $\text{M}$ un point du cercle trigonométrique. On note $x$ le nombre réel appartenant à $[0;2\pi ]$ correspondant au point $\text{M}$ après enroulement de la droite des réels.

On dit que $x$ est une mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{IOM}}$.

• Si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ forment un angle de $90°$ parcouru dans le sens indirect (sens horaire), on a $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=-\frac{\pi }{2}+k\times 2\pi$, avec $k\in \mathbb{Z}$.
  


• Si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ forment un angle de $90°$ parcouru dans le sens direct, on a $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\frac{\pi }{2}+k\times 2\pi$, avec $k\in \mathbb{Z}$.
  

La mesure principale d'un angle orienté est, parmi l'ensemble des mesures de l'angle, la seule qui appartienne à l'intervalle $]-\pi ;\pi ].$

1. $\frac{3\pi }{5}$ est une mesure principale car $\frac{3\pi }{5}\in ]-\pi ;\pi ]$.
2. $-\frac{7\pi }{6}$ n'est pas une mesure principale car $-\frac{7\pi }{6}$ n'appartient pas à $]-\pi ;\pi ]$.

Comme $-\frac{7\pi }{6}+2\pi =-\frac{7\pi }{6}+\frac{12\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$, alors la mesure principale d'un angle mesurant $-\frac{7\pi }{6}$ est $\frac{5\pi }{6}$.