Trigonométrie

Introduire la mesure d'un angle en radian.

En astronomie, l'unité astronomique, notée u.a., est une unité de mesure qui correspond à la distance Terre-Soleil. On a $1$ u.a. $\approx 150\times 10^6$ km.

On considère que la Terre tourne à vitesse constante autour du Soleil en décrivant un cercle de centre $\text{S}$, où se trouve le Soleil, et de rayon $1$ u.a.

Au 1^er janvier, la Terre se trouve en position $\text{A}$. La Terre décrit alors un arc de cercle $\overgroup{\text{AT}}$, mesuré en u.a., et un angle $\widehat{\text{AST}}$, mesuré en degré. 1. a. Quelle est la distance parcourue (en u.a.) par la Terre en une année ? En six mois ? En un mois ? Les résultats seront écrits en notation scientifique avec deux décimales.

b. Déterminer l'angle $\widehat{\text{AST}}$ correspondant à la position de la Terre dans chacun des cas de la question précédente.

c. La distance parcourue par la Terre est-elle proportionnelle à la mesure de l'angle $\widehat{\text{AST}}$ ?

2.On note $d$ la distance parcourue par la Terre depuis le point $\text{A}$. Compléter le tableau, sachant que la Terre n'a pas parcouru plus d'un tour autour du Soleil.


3. a. Quelle est la distance parcourue par la Terre en trois ans et demi ?

b. La Terre se trouve en position $\text{P}$ représentée ci-dessus. Sans connaître le nombre de tours effectués avant d'arriver à ce point, il n'est pas possible de savoir quelle est la distance parcourue par la Terre. Donner néanmoins plusieurs exemples possibles de distances parcourues pour arriver au point $\text{P}$ en partant de $\text{A}$.

Quel lien existe-t-il entre un angle mesuré en degré et la longueur de l'arc associé ?

Déterminer l'abscisse et l'ordonnée d'un point du cercle trigonométrique.

Dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\mathrm{I},\mathrm{J})$, $\mathcal{C}$ désigne le cercle trigonométrique, c'est-à-dire le cercle de centre $\text{O}$, de rayon $1$ et muni d'un sens de parcours positif qui est inverse à celui des aiguilles d'une montre. Soit $\text{M}$ est un point de ce cercle.

On note $\text{H}$ le projeté orthogonal de $\text{M}$ sur l'axe des abscisses. On pose $x=\widehat{\mathrm{IOM}}$.


1. a. Dans le triangle rectangle $\text{HOM}$, exprimer $\cos (x)$ et $\sin (x)$ en fonction des longueurs des côtés.

b. Rappeler pourquoi $\mathrm{OM}=1$, puis en déduire que $\mathrm{OH}=\cos (x)$ et que $\mathrm{HM}=\sin (x)$.

2. En déduire les coordonnées du point $\text{M}$.

Si $\text{M}$ est un point du cercle trigonométrique, quel lien peut-on faire entre ces coordonnées et l'angle $\widehat{\text{IOM}}$ ?

Tracer les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus.

1. On souhaite étudier les fonctions $\cos$ et $\sin$.
Compléter le tableau suivant. Les valeurs approchées sont arrondies à $10^{-2}$ près.


2. a. Dans un repère orthonormé, placer les points de la courbe représentative de la fonction $\cos$ dont les coordonnées ont été calculées dans le tableau précédent. Relier les points à main levée afin d'obtenir la courbe de $\cos$ sur l'intervalle $[0;\pi ]$.

b. Reprendre la question précédente avec la fonction $\sin$.

3. Sachant que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire, tracer les courbes des fonctions $\cos$ et $\sin$ sur l'intervalle $[-\pi ;\pi ]$.

Quels sont les points communs entre ces deux courbes ? Quelles sont leurs différences ?

Faire le lien entre les fonctions trigonométriques et la physique.

1. Ouvrir GeoGebra en mode graphique. Saisir la fonction définie par $f(x)=\mathrm{A}\times \cos (wx+p)$. Trois curseurs apparaissent. Ils permettent de faire varier les valeurs de $\text{A}$, $w$ et $p$.

2. Faire varier la valeur de $\text{A}$ à l'aide du curseur. Qu'observe-t-on ? Les solutions de l'équation $f(x)=0$ changent-elles selon la valeur de $\text{A}$ ?

3. a. Faire varier la valeur de $w$. Qu'observe-t-on ? Les extrema varient-ils selon la valeur $w$ ?

b. La grandeur $\frac{2\pi }{w}$ correspond en réalité à la distance entre les sommets de deux oscillations successives. Vérifier ce phénomène pour quelques valeurs de $w$.

4. Faire varier la valeur de $p$. Qu'observe-t-on ?

À quoi correspondent graphiquement les paramètres $\text{A}$, $\mathbf{\omega }$ et $\mathbf{\phi }$ associés à la fonction $\mathbf{f}:\mathbf{x}\mapsto \mathbf{A}\cos (\mathbf{\omega x}+\mathbf{\phi })$ ?