Chapitre 6
Entraînement 2
Cosinus et sinus d'un nombre réel
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Exercice 66
[Représenter.]
Pour chacun des seize points placés sur le cercle, indiquer la valeur du cosinus et du sinus du réel correspondant.
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Exercice 67
[Calculer.]
Déterminer le cosinus et le sinus des nombres réels suivants.
1. \frac{3 \pi}{4}
2. -\frac{5 \pi}{3}
3. \frac{7 \pi}{2}
4. -\frac{5 \pi}{6}
1. \frac{3 \pi}{4}
2. -\frac{5 \pi}{3}
3. \frac{7 \pi}{2}
4. -\frac{5 \pi}{6}
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Exercice 68
[Calculer.]
Déterminer le cosinus et le sinus des nombres réels suivants.
1. -\frac{13 \pi}{4}
2. -15 \pi
3. \frac{17 \pi}{3}
4. \frac{25 \pi}{6}
1. -\frac{13 \pi}{4}
2. -15 \pi
3. \frac{17 \pi}{3}
4. \frac{25 \pi}{6}
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Exercice 69
[Calculer.]
Calculer et simplifier au maximum les expressions suivantes.
1. \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)
2. \cos (0) \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)+1
3. \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)
4. \frac{\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right) \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)}
1. \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)
2. \cos (0) \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)+1
3. \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)
4. \frac{\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right) \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)}
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Exercice 70
[Calculer.]
Résoudre les équations suivantes sur \R.
1. \cos (x)=0
2. \cos (x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}
3. \sin (x)=1
4. \sin (x)=-\frac{1}{2}
5. \sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}
6. \sin (x)=\frac{3}{2}
1. \cos (x)=0
2. \cos (x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}
3. \sin (x)=1
4. \sin (x)=-\frac{1}{2}
5. \sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}
6. \sin (x)=\frac{3}{2}
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Exercice 71
[Calculer.]
Pour chacune des équations, déterminer l'ensemble des
solutions appartenant à l'intervalle \text{I}.
1. \cos (x)=0 sur \mathrm{I}=[0 \: ; 2 \pi].
2. \sin (x)=\frac{1}{2} sur \mathrm{I}=[3 \pi \: ; 5 \pi].
3. \cos (x)=-\frac{\sqrt{3}}{2} sur \mathrm{I}=[-3 \pi \: ; \pi].
4. \sin (x)=-1 sur \mathrm{I}=[7 \pi \: ; 9 \pi].
1. \cos (x)=0 sur \mathrm{I}=[0 \: ; 2 \pi].
2. \sin (x)=\frac{1}{2} sur \mathrm{I}=[3 \pi \: ; 5 \pi].
3. \cos (x)=-\frac{\sqrt{3}}{2} sur \mathrm{I}=[-3 \pi \: ; \pi].
4. \sin (x)=-1 sur \mathrm{I}=[7 \pi \: ; 9 \pi].
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Exercice 72
Vrai / Faux
[Raisonner.]
Déterminer si chacune de ces affirmations est vraie ou fausse. Justifier lorsque c'est faux.
1. Si \frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{3 \pi}{2}, alors \sin (x) \geqslant 0.
2. Quel que soit le réel x, \cos (2 x)=2 \cos (x).
3. Quel que soit le réel x, \cos (x+\pi)=\cos (x).
4. Quel que soit le réel a, l'équation \sin (x)=a admet une infinité de solutions sur \R.
1. Si \frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{3 \pi}{2}, alors \sin (x) \geqslant 0.
2. Quel que soit le réel x, \cos (2 x)=2 \cos (x).
3. Quel que soit le réel x, \cos (x+\pi)=\cos (x).
4. Quel que soit le réel a, l'équation \sin (x)=a admet une infinité de solutions sur \R.
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Exercice 73
[Calculer.]
Résoudre les équations suivantes sur \R.
1. \cos (x) \times \sin (x)=0
2. \left(\cos (x)-\frac{1}{2}\right)(\sin (x)-2)=0
1. \cos (x) \times \sin (x)=0
2. \left(\cos (x)-\frac{1}{2}\right)(\sin (x)-2)=0
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Exercice 74
[Calculer.]
Résoudre les équations suivantes sur \R.
1. \cos (2 x)=0
2. \sin (2 x)=\frac{1}{2}
3. \sin (3 x)=-\frac{1}{2}
4. \cos\left(4 x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}
1. \cos (2 x)=0
2. \sin (2 x)=\frac{1}{2}
3. \sin (3 x)=-\frac{1}{2}
4. \cos\left(4 x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}
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Exercice 75
[Calculer.]
Dans cet exercice, on admettra la formule suivante, valable pour tous réels a et b : \cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b).
1. À l'aide de cette formule, démontrer les formules du cours suivantes.
a. Pour tout réel x, \cos (x+\pi)=-\cos (x).
b. Pour tout réel x, \cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin (x).
2. Montrer que, pour tout réel x : \cos (2 x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x).
1. À l'aide de cette formule, démontrer les formules du cours suivantes.
a. Pour tout réel x, \cos (x+\pi)=-\cos (x).
b. Pour tout réel x, \cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin (x).
2. Montrer que, pour tout réel x : \cos (2 x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x).
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Exercice 76
[Calculer.]
Dans cet exercice, on admettra que pour tout réel x : \cos (2 x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x).
1. Justifier que, pour tout réel x, \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1.
2. En déduire que pour tout réel x : \cos (2 x)=2 \cos ^{2}(x)-1.
3. En appliquant la formule suivante pour x=\frac{\pi}{8}, déterminer la valeur de \cos \left(\frac{\pi}{8}\right).
4. En utilisant la même méthode, déterminer la valeur de \cos \left(\frac{\pi}{16}\right).
1. Justifier que, pour tout réel x, \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1.
2. En déduire que pour tout réel x : \cos (2 x)=2 \cos ^{2}(x)-1.
3. En appliquant la formule suivante pour x=\frac{\pi}{8}, déterminer la valeur de \cos \left(\frac{\pi}{8}\right).
4. En utilisant la même méthode, déterminer la valeur de \cos \left(\frac{\pi}{16}\right).
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Exercice 77
Exercice inversé
Déterminer une équation dont les solutions
sont les réels x tels que x=\frac{\pi}{3}+k \times 2 \pi ou x=\frac{2 \pi}{3}+k \times 2 \pi, avec k \in \mathbb{Z}.
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Exercice 78
Exercice inversé
Déterminer une équation dont les solutions
sont les réels x tels que x=\frac{\pi}{2}+k \times \pi, avec k \in \mathbb{Z}.
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