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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 6
Entraînement 3

Fonctions trigonométriques

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Différenciation

Parcours 1 : exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; et

Parcours 2 : exercices  ;  ;  ;  ;  ;et

Parcours 3 : exercices  ;  ;  ; et

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Exercice 79
Vrai / Faux
[Représenter.]

Déterminer, en justifiant, si les affirmations sont vraies ou fausses.

1. La fonction \cos est impaire.


2. La fonction \cos est paire.


3. La fonction \cos est périodique de période 2\pi.


4. La fonction \cos est périodique de période \pi.


5. La courbe représentative de la fonction \cos est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.


6. La courbe représentative de la fonction \cos est symétrique par rapport à l'origine du repère.


7. \frac{1}{2} admet exactement deux antécédents par la fonction cosinus.


8. 0 admet une infinité d'antécédents par la fonction cosinus.

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Exercice 80
Vrai / Faux
[Représenter.]

Déterminer, en justifiant, si les affirmations sont vraies ou fausses.

1. La fonction \sin est impaire.


2. La fonction \sin est paire.


3. La fonction \sin est périodique de période 2\pi.


4. La fonction \sin est périodique de période \pi.


5. La courbe représentative de la fonction \sin est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.


6. La courbe représentative de la fonction \sin est symétrique par rapport à l'origine du repère.


7. \frac{1}{2} admet exactement deux antécédents par la fonction sinus.


8. 0 admet une infinité d'antécédents par la fonction sinus.

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Exercice 81
[Représenter.]

Tracer dans un repère orthogonal, sans calculatrice et le plus précisément possible, les courbes représentatives des fonctions suivantes.

1. f_{1}(t)=2 \cos (t)

2. f_{2}(t)=3 \sin (2 t)

3. f_{3}(t)=4 \sin \left(\frac{1}{2} t\right)

4. f_{4}(t)=3 \sin (3 t)

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Exercice 82
[Représenter.]

On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f vérifiant, pour tout réel t, f(t)=\mathrm{A} \cos (\omega t), où \text{A} et \omega sont deux réels strictement positifs.

Ex 82 - courbe représentative d'une fonction
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1. Rappeler le nom des paramètres \text{A} et \omega.

2. Déterminer graphiquement la valeur de \text{A}.

3. a. Déterminer graphiquement la période de la fonction f.

b. En déduire la valeur de \omega.
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Exercice 83
[Représenter.]

Placeholder pour Ex 83 - AmpèreEx 83 - Ampère
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En physique, l'intensité i(t) du courant alternatif, en ampère, en fonction du temps t, en seconde, est donné par la formule : i(t)=i_{0} \times \sin (\omega t+\varphi) avec \omega=100 \pi rad/s.
On a tracé ci-dessous quatre fonctions représentant différentes intensités de courant alternatif pour lesquelles i_{0}=2 \mathrm{~A}.

Ex 83 - intensité du courant alternatif
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Sans calculatrice, associer à chaque courbe l'expression ci-dessous qui lui correspond.

1. i(t)=2 \sin \left(100 \pi t+\frac{3 \pi}{2}\right)

2. i(t)=2 \sin \left(100 \pi t-\frac{\pi}{6}\right)

3. i(t)=2 \sin \left(100 \pi t+\frac{\pi}{4}\right)

4. i(t)=2 \sin \left(100 \pi t+\frac{2 \pi}{3}\right)
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Exercice 84
Démo
[Chercher.]

L'objectif de l'exercice est de démontrer que la fonction f définie sur \R par f(t)=\mathrm{A} \sin (\omega t+\varphi) est périodique de période \frac{2 \pi}{\omega}.
On traite tout d'abord quelques exemples.

1. On considère la fonction f_1 définie sur \R par : f_{1}(t)=2 \sin (4 t).
Montrer que f_{1} est périodique de période \frac{\pi}{2}, c'est-à-dire que, pour tout réel t, f_{1}\left(t+\frac{\pi}{2}\right)=f_{1}(t).

2. On considère la fonction f_2 définie sur \R par : f_{2}(t)=5 \sin \left(3 t+\frac{\pi}{2}\right).
Montrer que f_2 est périodique de période \frac{2 \pi}{3}, c'est‑à‑dire que, pour tout réel t, f_{2}\left(t+\frac{2 \pi}{3}\right)=f_{2}(t) .

3. Dans le cas général, montrer que la fonction f définie sur \R par f(t)=\mathrm{A} \sin (\omega t+\varphi) est périodique de période \frac{2 \pi}{\omega}, c'est-à-dire que, pour tout réel t, f\left(t+\frac{2 \pi}{\omega}\right)=f(t).
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Exercice 85
[Représenter.]

On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f de la forme f(t)=\mathrm{A} \sin (\omega t+\varphi).

Ex 85 - courbe représentative
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1. Rappeler le nom des paramètres \text{A}, \omega et \varphi.

2. Déterminer la valeur de \omega sachant que \omega est un nombre entier dans le cas de cette fonction.

3. Déterminer graphiquement la valeur de |\text{A}|.

4. a. Déterminer graphiquement f(0).

b. Calculer f(0) en fonction de \text{A} et de \varphi.

c. Déterminer la valeur de \varphi sachant que \varphi appartient à l'intervalle \left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right].
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Exercice 86
[Représenter.]

Tracer à main levée et sans calculatrice les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus sur l'intervalle [\pi \: ; 3 \pi].
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Exercice 87
[Modéliser.]

En physique, un pendule simple est constitué d'un fil auquel est accrochée une masse de forme sphérique à l'extrémité. On forme un angle de 0{,}3, radian avec la verticale, comme sur la figure ci-dessous, avant de lâcher le pendule qui se met alors à osciller

Ex 87 - pendule
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Il est possible de montrer que l'angle \theta dépend du temps t de la façon suivante : \theta(t)=0{,}3 \cos \left(\sqrt{\frac{g}{\mathrm{~L}}} \times t\right), où \text{L} désigne la longueur du fil constituant le pendule et g = 9{,}81 m/s2 l'accélération de la pesanteur.

1. Dans le cas où \text{L} = 1 m, calculer la période de la fonction \theta.

2. Déterminer le temps t_1 au bout duquel le pendule repassera pour la première fois par sa position d'origine.

3. Déterminer le temps t_2 au bout duquel le pendule passera pour la première fois à la verticale.
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Exercice 88
En physique
[Modéliser.]

En physique, les oscillations harmoniques (pendules, ressorts, ondes, etc.) sont décrites par des fonctions de la forme \cos (\omega t+\varphi) ou \sin (\omega t+\varphi), où \omega est appelé pulsation et où \varphi est la phase à l'origine.

Ex 88 - oscillations harmoniques
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1. La courbe ci-dessus représente l'oscillation f: t \mapsto \cos (4 t). Déterminer par lecture graphique la période \text{T} de ce signal. Vérifier ce résultat par le calcul.

2. Rappeler la formule reliant la pulsation \omega et la période \text{T}.

3. Tester cette formule sur les oscillations suivantes.
a. g(t)=\cos (6 t+2)

b. h(t)=\cos \left(\frac{t}{2}\right)

4. Démontrer la formule.
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Dans la vie professionnelle
Placeholder pour MécaniqueMécanique
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L'ingénieur en mécanique utilise les mathématiques afin de prévoir le mouvement de systèmes mécaniques (voitures, avions, train, satellites, etc.) et de mettre au point des équipements plus performants (aérodynamisme, économie d'énergie, etc.).
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Exercice 89
Exercice inversé

Déterminer une expression d'une fonction périodique de période \frac{\pi}{3}.
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Exercice 90
Exercice inversé

Déterminer une expression d'une fonction périodique de période \pi et telle que f(0)=4.
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