Déterminer, en justifiant, si les affirmations sont vraies ou fausses.

1. La fonction \cos est impaire.

Vrai.

Faux.

2. La fonction \cos est paire.

Vrai.

Faux.

3. La fonction \cos est périodique de période 2\pi.

Vrai.

Faux.

4. La fonction \cos est périodique de période \pi.

Vrai.

Faux.

5. La courbe représentative de la fonction \cos est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Vrai.

Faux.

6. La courbe représentative de la fonction \cos est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Vrai.

Faux.

7. \frac{1}{2} admet exactement deux antécédents par la fonction cosinus.

Vrai.

Faux.

8. 0 admet une infinité d'antécédents par la fonction cosinus.

Vrai.

Faux.

Déterminer, en justifiant, si les affirmations sont vraies ou fausses.

1. La fonction \sin est impaire.

Vrai.

Faux.

2. La fonction \sin est paire.

Vrai.

Faux.

3. La fonction \sin est périodique de période 2\pi.

Vrai.

Faux.

4. La fonction \sin est périodique de période \pi.

Vrai.

Faux.

5. La courbe représentative de la fonction \sin est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Vrai.

Faux.

6. La courbe représentative de la fonction \sin est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Vrai.

Faux.

7. \frac{1}{2} admet exactement deux antécédents par la fonction sinus.

Vrai.

Faux.

8. 0 admet une infinité d'antécédents par la fonction sinus.

Vrai.

Faux.

On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f vérifiant, pour tout réel t, f(t)=\mathrm{A} \cos (\omega t), où \text{A} et \omega sont deux réels strictement positifs.


1. Rappeler le nom des paramètres \text{A} et \omega.

2. Déterminer graphiquement la valeur de \text{A}.

3. a. Déterminer graphiquement la période de la fonction f.

b. En déduire la valeur de \omega.

En physique, l'intensité i(t) du courant alternatif, en ampère, en fonction du temps t, en seconde, est donné par la formule : i(t)=i_{0} \times \sin (\omega t+\varphi) avec \omega=100 \pi rad/s.
On a tracé ci-dessous quatre fonctions représentant différentes intensités de courant alternatif pour lesquelles i_{0}=2 \mathrm{~A}.


1. i(t)=2 \sin \left(100 \pi t+\frac{3 \pi}{2}\right)

2. i(t)=2 \sin \left(100 \pi t-\frac{\pi}{6}\right)

3. i(t)=2 \sin \left(100 \pi t+\frac{\pi}{4}\right)

4. i(t)=2 \sin \left(100 \pi t+\frac{2 \pi}{3}\right)

L'objectif de l'exercice est de démontrer que la fonction f définie sur \R par f(t)=\mathrm{A} \sin (\omega t+\varphi) est périodique de période \frac{2 \pi}{\omega}.
On traite tout d'abord quelques exemples.

1. On considère la fonction f_1 définie sur \R par : f_{1}(t)=2 \sin (4 t).
Montrer que f_{1} est périodique de période \frac{\pi}{2}, c'est-à-dire que, pour tout réel t, f_{1}\left(t+\frac{\pi}{2}\right)=f_{1}(t).

2. On considère la fonction f_2 définie sur \R par : f_{2}(t)=5 \sin \left(3 t+\frac{\pi}{2}\right).
Montrer que f_2 est périodique de période \frac{2 \pi}{3}, c'est‑à‑dire que, pour tout réel t, f_{2}\left(t+\frac{2 \pi}{3}\right)=f_{2}(t) .

3. Dans le cas général, montrer que la fonction f définie sur \R par f(t)=\mathrm{A} \sin (\omega t+\varphi) est périodique de période \frac{2 \pi}{\omega}, c'est-à-dire que, pour tout réel t, f\left(t+\frac{2 \pi}{\omega}\right)=f(t).

On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f de la forme f(t)=\mathrm{A} \sin (\omega t+\varphi).


1. Rappeler le nom des paramètres \text{A}, \omega et \varphi.

2. Déterminer la valeur de \omega sachant que \omega est un nombre entier dans le cas de cette fonction.

3. Déterminer graphiquement la valeur de |\text{A}|.

4. a. Déterminer graphiquement f(0).

b. Calculer f(0) en fonction de \text{A} et de \varphi.

c. Déterminer la valeur de \varphi sachant que \varphi appartient à l'intervalle \left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right].

En physique, un pendule simple est constitué d'un fil auquel est accrochée une masse de forme sphérique à l'extrémité. On forme un angle de 0{,}3, radian avec la verticale, comme sur la figure ci-dessous, avant de lâcher le pendule qui se met alors à osciller


Il est possible de montrer que l'angle \theta dépend du temps t de la façon suivante : \theta(t)=0{,}3 \cos \left(\sqrt{\frac{g}{\mathrm{~L}}} \times t\right), où \text{L} désigne la longueur du fil constituant le pendule et g = 9{,}81 m/s² l'accélération de la pesanteur.

1. Dans le cas où \text{L} = 1 m, calculer la période de la fonction \theta.

2. Déterminer le temps t_1 au bout duquel le pendule repassera pour la première fois par sa position d'origine.

3. Déterminer le temps t_2 au bout duquel le pendule passera pour la première fois à la verticale.

En physique, les oscillations harmoniques (pendules, ressorts, ondes, etc.) sont décrites par des fonctions de la forme \cos (\omega t+\varphi) ou \sin (\omega t+\varphi), où \omega est appelé pulsation et où \varphi est la phase à l'origine.


1. La courbe ci-dessus représente l'oscillation f: t \mapsto \cos (4 t). Déterminer par lecture graphique la période \text{T} de ce signal. Vérifier ce résultat par le calcul.

2. Rappeler la formule reliant la pulsation \omega et la période \text{T}.

3. Tester cette formule sur les oscillations suivantes.
a. g(t)=\cos (6 t+2)

b. h(t)=\cos \left(\frac{t}{2}\right)

4. Démontrer la formule.

Déterminer une expression d'une fonction périodique de période \frac{\pi}{3}.

Déterminer une expression d'une fonction périodique de période \pi et telle que f(0)=4.