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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 7
Exercices

Synthèse

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Exercice 91
[Calculer, Modéliser.]

Placeholder pour Ex 91 - Lune quadratureEx 91 - Lune quadrature
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On représente la Terre par un point \text{T}, la Lune par un point \text{L} et le Soleil par un point \text{S}. On dit que la Lune est visible en quadrature lorsque exactement la moitié du disque lunaire est visible depuis la Terre. On parle de premier quartier de lune et de dernier quartier de lune.

Autrement dit, cela se produit lorsque \widehat{\text{SLT}} = 90\degree. On observe par ailleurs depuis la Terre que, dans cette position, \widehat{\text{LTS}} = 89{,}853\degree.

Ex 91 - Lune Triangle
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Calculer le rapport de longueur \frac{\text { TS }}{\text { TL }} puis interpréter le résultat par une phrase.
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Exercice 92
[Chercher, Modéliser.]

On suspend une masse m à un ressort. On note y la hauteur relative de la masse. La valeur y = 0 correspond à l'équilibre lorsque la masse est immobile.

On amène la masse à 10 cm de hauteur, puis on la lâche. On suppose ici que le modèle est parfait et qu'il n'y a pas d'amortissement des oscillations, autrement dit que les oscillations restent les mêmes au cours du temps, sans être atténuées.

Les oscillations pour t \geqslant 0 (t en seconde) sont données par y(t)=10 \cos (3 t).

Ex 92 - oscillations
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1. Pour quel temps t_1 la masse va-t-elle passer pour la première fois par sa position d'équilibre y = 0 ?

2. Pour quel temps t_2 la masse va-t-elle repasser pour la deuxième fois par sa position d'équilibre ?

3. Quelle est la période des oscillations de la masse ?

4. Quelle sera la hauteur maximale de la masse ? Et la hauteur minimale ?
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Exercice 93
En optique
[Calculer, Modéliser.]

Un héron repère un poisson dans l'eau (voir ci-dessous). Il souhaite plonger pour l'attraper, mais il sait que lorsque la lumière passe d'un milieu à un autre, elle subit une déviation. Il ne doit donc pas aller « tout droit vers le poisson ».

Rappel du cours de physique de 2de
Lorsqu'un rayon issu d'un milieu d'indice n_1 se réfracte dans un milieu d'indice n_2 en formant des angles respectivement i_1 et i_2 par rapport à la normale, alors ils sont liés par la formule : n_{1} \times \sin \left(i_{1}\right)=n_{2} \times \sin \left(i_{2}\right). Pour l'eau et l'air, on a n_{e a u}=1{,}33 et n_{a i r}=1.

Rappel du cours de physique de 2de
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Placeholder pour Un héron repère un poisson dans l'eauUn héron repère un poisson dans l'eau
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Le héron souhaite attraper sa proie en se dirigeant en ligne droite en suivant le segment [\mathrm{CA}]. On suppose le triangle \text{ABC} isocèle en \text{B}.

1. Que peut-on dire des angles \widehat{\mathrm{BCA}} et \widehat{\mathrm{BAC}} ?

2. Déterminer l'angle i_2 approché au degré près.

3. En déduire la valeur, arrondie au degré près, de l'angle \widehat{\mathrm{BCA}}.

Dans la vie professionnelle
Placeholder pour VerresVerres
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La réflexion de la lumière peut gêner la vision dans certaines conditions, comme le reflet du soleil sur l'asphalte, la neige ou encore l'eau. Certaines lunettes de soleil sont alors équipées de verres polarisants. L'opticien-lunetier (ou opticiennelunetière) est donc chargé(e) de créer des verres pour les lunettes. Des connaissances en optique et donc en trigonométrie sont nécessaires pour monter convenablement les différentes couches constituant le verre pour une protection optimale.
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Exercice 94
[Chercher, Modéliser.]

Dans un repère orthonormé de centre \text{O}, on représente les extrémités des pales d'une éolienne par les points \text{A}, \text{B} et \text{C}. Les trois pales sont de même longueur, à savoir \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=50 m, et l'éolienne est symétrique, c'est-à-dire que les angles \widehat{\mathrm{BOA}}, \widehat{\mathrm{AOC}} et \widehat{\mathrm{COB}} sont égaux. Sur le dessin, \text{A} a pour coordonnées \mathrm{A}(0 \: ; 50).

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1. a. Justifier que \widehat{\mathrm{BOA}}=\frac{2 \pi}{3}.

b. Déterminer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{BOI}} en radian, puis une mesure de l'angle (\overrightarrow{\mathrm{OI}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}).

c. En déduire les coordonnées du point \text{B}.

2. En utilisant la même méthode, calculer les coordonnées du point \text{C}.

3. L'hélice tourne à une vitesse de 15 tours par minute.
Déterminer la vitesse de déplacement du point \text{A} de l'hélice en km/h. On arrondira à l'unité.
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Exercice 95
[Raisonner.]

On a représenté dans un repère (\mathrm{O}\: ; \mathrm{I}, \mathrm{J}) le cercle trigonométrique.
On rappelle les formules de trigonométrie dans le triangle rectangle étudiées au collège : \cos (\theta)=\frac{\text { côté adjacent }}{\text { hypoténuse }} et \sin (\theta)=\frac{\text { côté opposé }}{\text { hypoténuse }}.

Ex 95 - cercle trigonométrique
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1. a. Quelle est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1 ?

b. Ici, on utilise le carré \text{OABC}. Que vaut cette diagonale ?

c. Par proportionnalité, en déduire la longueur des côtés du carré \text{OABC}.

2. On travaille maintenant dans le triangle \text{OID}.
a. Justifier que \text{OID} est équilatéral

b. On note \text{E} le pied de la hauteur issue de \text{D}. Quelle est la longueur \text{OE} ?

c. En déduire \cos \left(\frac{\pi}{3}\right).

d. En utilisant la relation \cos ^{2}(\theta)+\sin ^{2}(\theta)=1, déterminer \sin \left(\frac{\pi}{3}\right).

3. En utilisant un raisonnement similaire à la question 2., déterminer \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) et \sin \left(\frac{\pi}{6}\right).
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Club de maths

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Exercice 96
Défi

On considère un triangle \text{ABC} non aplati dont les longueurs et les angles sont définis comme sur la figure ci-dessous.
Ex 96 - triangle
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1. Montrer que l'aire \mathcal{A} de \text{ABC} est donnée par la formule suivante : \mathcal{A}=\frac{b c \sin (\alpha)}{2}.

2. En écrivant deux formules similaires pour calculer \mathcal{A}, en déduire que \frac{a}{\sin (\alpha)}=\frac{b}{\sin (\beta)}=\frac{c}{\sin (\gamma)}.
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Histoire des maths

Cette formule est appelée loi des sinus. Elle a été énoncée et démontrée par des mathématiciens arabes (XIe-XIIIe siècles) et en particulier par Abu Nasr Mansur et Nasir al-Din-al-Tusi.
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Exercice 97
Défi

On considère un triangle \text{ABC} tel que \text{AB} = 5, \text{AC} = 6 et \widehat{\mathrm{BAC}}=60\degree. Déterminer la longueur \text{BC} (on cherche une valeur exacte).
Indication
On pourra utiliser la hauteur \text{(BH)} issue de \text{B}.
Ex 97 - triangle
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