Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 7
Spécialité STI2D - STL
Produit scalaire
14 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
1. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de la définition géométrique.
2. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs dans un repère orthonormé.
3. Calculer la projection d'un vecteur sur un axe.
4. Utiliser les propriétés du produit scalaire.
5. . Utiliser le produit scalaire pour démontrer l'orthogonalité de vecteurs.
6. Utiliser le produit scalaire pour calculer un angle non orienté ou des longueurs.
2. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs dans un repère orthonormé.
3. Calculer la projection d'un vecteur sur un axe.
4. Utiliser les propriétés du produit scalaire.
5. . Utiliser le produit scalaire pour démontrer l'orthogonalité de vecteurs.
6. Utiliser le produit scalaire pour calculer un angle non orienté ou des longueurs.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Le produit scalaire possède de multiples applications. Les mesures du géomètre permettent, par exemple, le calcul de la hauteur de monuments ou d'altitudes reposant sur les propriétés de cet outil mathématique.
Le travail des forces physiques, les images 3D, les jeux vidéos, l'électricité, etc. sont autant de domaines où le produit scalaire trouve sa place.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Rappels théoriques
Supplément numérique
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Calculer les coordonnées d'un point ou d'un vecteur
Soit (\mathrm{O}~;\mathrm{I}~,\mathrm{J}) un repère. Soient \mathrm{A} (x_\mathrm{A}~; y_\mathrm{A}) et \mathrm{B}(x_\mathrm{B}~; y_\mathrm{B}) deux points.
Propriétés :
Soit \mathrm{K} le milieu du segment [\mathrm{AB}]. Les coordonnées de \mathrm{K} sont (x_\mathrm{K}~; y_\mathrm{K}) avec x_\mathrm{K} = \dfrac{x_\mathrm{A} + x_\mathrm{B}}{2} et y_\mathrm{K} = \dfrac{y_\mathrm{A} + y_\mathrm{B}}{2}.Propriétés :
Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} sont \begin{pmatrix} x_\mathrm{B} - x_\mathrm{A} \\ y_\mathrm{B} - y_\mathrm{A} \end{pmatrix}.Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Calculer le \boldsymbol{\cos} et le \boldsymbol{\sin} d'une mesure d'angle ou d'un réel
Méthode :
1. Repérer les valeurs remarquables utiles.2. Utiliser les symétries du cercle.
| Mesure d'angle en degrés | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
| Mesure d'angle en radian | 0 | \dfrac{\pi}{6} | \dfrac{\pi}{4} | \dfrac{\pi}{3} | \dfrac{\pi}{2} |
| {\boldsymbol{\sin}} | 0 | \dfrac{1}{2} | \dfrac{\sqrt 2}{2} | \dfrac{\sqrt{3}}{2} | 1 |
| {\boldsymbol{\cos}} | 1 | \dfrac{\sqrt{3}}{2} | \dfrac{\sqrt 2}{2} | \dfrac{1}{2} | 0 |
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Utiliser la relation de Chasles
Propriété : Relation de Chasles
Soient \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} trois points du plan. Alors \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}}.Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Calculer la norme d'un vecteur dans un repère orthonormé
Propriétés :
La norme d'un vecteur \overrightarrow{u}, de coordonnées \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} dans un repère orthonormé, est donnée par \Vert \overrightarrow{u} \Vert = \sqrt{x^2 + y^2}.Exemple :
La norme du vecteur \overrightarrow{u} \begin {pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix} est \Vert \overrightarrow{u} \Vert = \sqrt{2^2 +(-5)^2} = \sqrt{29}.Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Définition :
Soit d une droite et \mathrm{A} un point du plan. Le projeté orthogonal \mathrm{H} de \mathrm{A} sur d est l'unique point de d tel que (\mathrm{AH}) \perp d.Méthode :
Tracer la droite d' perpendiculaire à d passant par \mathrm{A}. \mathrm{H} est le point d'intersection de d et d'.Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercices
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
1. Calculer le \cos et le \sin d'une mesure d'angle ou d'un réel.
2. Calculer la norme d'un vecteur dans un repère orthonormé.
3. Calculer les coordonnées d'un point ou d'un vecteur.
4. Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite.
5. Utiliser la relation de Chasles.
2. Calculer la norme d'un vecteur dans un repère orthonormé.
3. Calculer les coordonnées d'un point ou d'un vecteur.
4. Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite.
5. Utiliser la relation de Chasles.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 1 Un peu de trigonométrie
1. À l'aide d'une calculatrice, déterminer une valeur arrondie à 0{,}01 près du cosinus et du sinus des mesures d'angles suivantes
a. \theta=35^{\circ}
b. \theta=\frac{\pi}{7} \mathrm{rad}
2. Par lecture du cercle trigonométrique, déterminer la valeur exacte des expressions suivantes.
a. \cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)
b. \sin \left(\frac{7 \pi}{6}\right)
c. \cos \left(\frac{7 \pi}{4}\right)
d. \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)
a. \theta=35^{\circ}
b. \theta=\frac{\pi}{7} \mathrm{rad}
2. Par lecture du cercle trigonométrique, déterminer la valeur exacte des expressions suivantes.
a. \cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)
b. \sin \left(\frac{7 \pi}{6}\right)
c. \cos \left(\frac{7 \pi}{4}\right)
d. \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 4 Notion de projeté orthogonal
Soit \text{ABC} un triangle tel que :
1. Sur la figure ci‑dessus, construire le projeté orthogonal \text{H} de \text{C} sur la droite (\mathrm{AB}).
2. Déterminer la valeur exacte de \text{CH}.
3.a. Que représente (\mathrm{CH}) pour \text{ABC} ?
b. En déduire la valeur exacte de l'aire de \text{ABC}.
\mathrm{AB}=10 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=5 \mathrm{~cm} et \widehat{\mathrm{CAB}}=\frac{\pi}{4}.
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
1. Sur la figure ci‑dessus, construire le projeté orthogonal \text{H} de \text{C} sur la droite (\mathrm{AB}).
2. Déterminer la valeur exacte de \text{CH}.
3.a. Que représente (\mathrm{CH}) pour \text{ABC} ?
b. En déduire la valeur exacte de l'aire de \text{ABC}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 2 Norme d'un vecteur
On considère, dans un repère orthonormé (\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}), les vecteurs \overrightarrow{u} \dbinom{2}{-3} et \overrightarrow{v} \dbinom{-3}{4}.
1. Calculer la norme de chacun de ces vecteurs.
2. a. Déterminer les coordonnées du vecteur 3 \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}.
b. En déduire \lVert 3 \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \rVert.
1. Calculer la norme de chacun de ces vecteurs.
2. a. Déterminer les coordonnées du vecteur 3 \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}.
b. En déduire \lVert 3 \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \rVert.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 3 Calculer les coordonnées de points et de vecteurs
Dans un repère (\mathrm{O}~;\mathrm{I}~,\mathrm{J}) du plan, on considère les points \mathrm{A}(0~; 2), \mathrm{B}(-1~; 5) et \mathrm{C}\left(3~;-\frac{1}{2}\right).
1. Déterminer les coordonnées du milieu \text{K} du segment [\mathrm{AB}].
2. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CB}}.
b. En déduire les coordonnées de 2 \overrightarrow{\mathrm{CB}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.
1. Déterminer les coordonnées du milieu \text{K} du segment [\mathrm{AB}].
2. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CB}}.
b. En déduire les coordonnées de 2 \overrightarrow{\mathrm{CB}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 5 Utiliser la relation de Chasles
Compléter les égalités vectorielles suivantes en utilisant la relation de Chasles. Plusieurs réponses sont parfois possibles.
1. \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CG}}=\overrightarrow{.\textcolor{#ffffff}{|}.\textcolor{#ffffff}{|}.}
2. \overrightarrow{\ldots \mathrm{A}}+\overrightarrow{\ldots \mathrm{D}}=\overrightarrow{\mathrm{B} \ldots}
3. \overrightarrow{\mathrm{BA}}-\overrightarrow{.\textcolor{#ffffff}{|}.\textcolor{#ffffff}{|}.}=\overrightarrow{\ldots \mathrm{G}}
4. \overrightarrow{\mathrm{A} \ldots}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{.\textcolor{#ffffff}{|}.\textcolor{#ffffff}{|}.}=\overrightarrow{0}
5. \overrightarrow{\mathrm{BD}}-\overrightarrow{\mathrm{C} \ldots}+\overrightarrow{\ldots \mathrm{A}}=\overrightarrow{.\textcolor{#ffffff}{|}.\textcolor{#ffffff}{|}.}
1. \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CG}}=\overrightarrow{.\textcolor{#ffffff}{|}.\textcolor{#ffffff}{|}.}
2. \overrightarrow{\ldots \mathrm{A}}+\overrightarrow{\ldots \mathrm{D}}=\overrightarrow{\mathrm{B} \ldots}
3. \overrightarrow{\mathrm{BA}}-\overrightarrow{.\textcolor{#ffffff}{|}.\textcolor{#ffffff}{|}.}=\overrightarrow{\ldots \mathrm{G}}
4. \overrightarrow{\mathrm{A} \ldots}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{.\textcolor{#ffffff}{|}.\textcolor{#ffffff}{|}.}=\overrightarrow{0}
5. \overrightarrow{\mathrm{BD}}-\overrightarrow{\mathrm{C} \ldots}+\overrightarrow{\ldots \mathrm{A}}=\overrightarrow{.\textcolor{#ffffff}{|}.\textcolor{#ffffff}{|}.}
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 7 Problème
Dans un repère orthonormé, on considère les points \mathrm{A}(-4~; 1), \mathrm{B}(2~; 1) et \mathrm{C}(-1~; 1+\sqrt{3}).
1. a. Calculer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{AB}} et de \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
b. En déduire les longueurs \text{AB} et \text{AC}.
2. Erwan doit déterminer la valeur exacte de l'angle \widehat{\mathrm{BAC}} en radian avec l'indication suivante :
1. a. Calculer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{AB}} et de \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
b. En déduire les longueurs \text{AB} et \text{AC}.
2. Erwan doit déterminer la valeur exacte de l'angle \widehat{\mathrm{BAC}} en radian avec l'indication suivante :
\mathrm{AB} \times \mathrm{AC} \times \cos (\widehat{\mathrm{BAC}})=18.
Aider Erwan à résoudre son exercice.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 6 Colinéarité de vecteur
Retrouver tous les couples de vecteurs colinéaires, en précisant s'ils sont de même sens ou de sens contraires.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Le produit scalaire et les normes sont utilisés de façon très importante dans les jeux vidéos, par exemple pour déterminer des collisions entre objets ou pour calculer des éclairages.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
Oups, une coquille
j'ai une idée !
Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah