Mathématiques 1re Techno

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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 7
Spécialité STI2D - STL

Produit scalaire

14 professeurs ont participé à cette page
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Capacités attendues

1. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de la définition géométrique.

2. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs dans un repère orthonormé.

3. Calculer la projection d'un vecteur sur un axe.

4. Utiliser les propriétés du produit scalaire.

5. . Utiliser le produit scalaire pour démontrer l'orthogonalité de vecteurs.

6. Utiliser le produit scalaire pour calculer un angle non orienté ou des longueurs.
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Placeholder pour Maths 1re Techno - Produit scalaire - Ouverture - photographie d'un appareil utilisé par les géomètre pointant vers un paysage de montagneMaths 1re Techno - Produit scalaire - Ouverture - photographie d'un appareil utilisé par les géomètre pointant vers un paysage de montagne
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Le produit scalaire possède de multiples applications. Les mesures du géomètre permettent, par exemple, le calcul de la hauteur de monuments ou d'altitudes reposant sur les propriétés de cet outil mathématique.
Le travail des forces physiques, les images 3D, les jeux vidéos, l'électricité, etc. sont autant de domaines où le produit scalaire trouve sa place.
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Rappels théoriques

Supplément numérique

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Calculer les coordonnées d'un point ou d'un vecteur
Soit (\mathrm{O}~;\mathrm{I}~,\mathrm{J}) un repère. Soient \mathrm{A} (x_\mathrm{A}~; y_\mathrm{A}) et \mathrm{B}(x_\mathrm{B}~; y_\mathrm{B}) deux points.

Propriétés :

Soit \mathrm{K} le milieu du segment [\mathrm{AB}]. Les coordonnées de \mathrm{K} sont (x_\mathrm{K}~; y_\mathrm{K}) avec x_\mathrm{K} = \dfrac{x_\mathrm{A} + x_\mathrm{B}}{2} et y_\mathrm{K} = \dfrac{y_\mathrm{A} + y_\mathrm{B}}{2}.

Propriétés :

Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} sont \begin{pmatrix} x_\mathrm{B} - x_\mathrm{A} \\ y_\mathrm{B} - y_\mathrm{A} \end{pmatrix}.
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Calculer le \boldsymbol{\cos} et le \boldsymbol{\sin} d'une mesure d'angle ou d'un réel

Méthode :

1. Repérer les valeurs remarquables utiles.
2. Utiliser les symétries du cercle.

Mesure d'angle en degrés030456090
Mesure d'angle en radian0\dfrac{\pi}{6}\dfrac{\pi}{4}\dfrac{\pi}{3}\dfrac{\pi}{2}
{\boldsymbol{\sin}}0\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt 2}{2}\dfrac{\sqrt{3}}{2}1
{\boldsymbol{\cos}}1\dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{\sqrt 2}{2}\dfrac{1}{2}0
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Utiliser la relation de Chasles

Propriété : Relation de Chasles

Soient \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} trois points du plan. Alors \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
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Calculer la norme d'un vecteur dans un repère orthonormé

Propriétés :

La norme d'un vecteur \overrightarrow{u}, de coordonnées \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} dans un repère orthonormé, est donnée par \Vert \overrightarrow{u} \Vert = \sqrt{x^2 + y^2}.

Exemple :

La norme du vecteur \overrightarrow{u} \begin {pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix} est \Vert \overrightarrow{u} \Vert = \sqrt{2^2 +(-5)^2} = \sqrt{29}.
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Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite
Maths 1re Techno - Produit scalaire - Ouverture - Rappels théoriques - Projeté orthogonal d'un point sur une droite
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Définition :

Soit d une droite et \mathrm{A} un point du plan. Le projeté orthogonal \mathrm{H} de \mathrm{A} sur d est l'unique point de d tel que (\mathrm{AH}) \perp d.

Méthode :

Tracer la droite d' perpendiculaire à d passant par \mathrm{A}. \mathrm{H} est le point d'intersection de d et d'.
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Exercices

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Prérequis

1. Calculer le \cos et le \sin d'une mesure d'angle ou d'un réel.
2. Calculer la norme d'un vecteur dans un repère orthonormé.
3. Calculer les coordonnées d'un point ou d'un vecteur.
4. Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite.
5. Utiliser la relation de Chasles.
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Exercice 1
Un peu de trigonométrie

1. À l'aide d'une calculatrice, déterminer une valeur arrondie à 0{,}01 près du cosinus et du sinus des mesures d'angles suivantes
a. \theta=35^{\circ}

b. \theta=\frac{\pi}{7} \mathrm{rad}

2. Par lecture du cercle trigonométrique, déterminer la valeur exacte des expressions suivantes.
a. \cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)

b. \sin \left(\frac{7 \pi}{6}\right)

c. \cos \left(\frac{7 \pi}{4}\right)

d. \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)
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Exercice 4
Notion de projeté orthogonal

Soit \text{ABC} un triangle tel que :
\mathrm{AB}=10 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=5 \mathrm{~cm} et \widehat{\mathrm{CAB}}=\frac{\pi}{4}.

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1. Sur la figure ci‑dessus, construire le projeté orthogonal \text{H} de \text{C} sur la droite (\mathrm{AB}).

2. Déterminer la valeur exacte de \text{CH}.

3.a. Que représente (\mathrm{CH}) pour \text{ABC} ?

b. En déduire la valeur exacte de l'aire de \text{ABC}.
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Exercice 2
Norme d'un vecteur

On considère, dans un repère orthonormé (\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}), les vecteurs \overrightarrow{u} \dbinom{2}{-3} et \overrightarrow{v} \dbinom{-3}{4}.

1. Calculer la norme de chacun de ces vecteurs.

2. a. Déterminer les coordonnées du vecteur 3 \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}.

b. En déduire \lVert 3 \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \rVert.
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Exercice 3
Calculer les coordonnées de points et de vecteurs

Dans un repère (\mathrm{O}~;\mathrm{I}~,\mathrm{J}) du plan, on considère les points \mathrm{A}(0~; 2), \mathrm{B}(-1~; 5) et \mathrm{C}\left(3~;-\frac{1}{2}\right).

1. Déterminer les coordonnées du milieu \text{K} du segment [\mathrm{AB}].

2. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CB}}.

b. En déduire les coordonnées de 2 \overrightarrow{\mathrm{CB}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.
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Exercice 5
Utiliser la relation de Chasles

Compléter les égalités vectorielles suivantes en utilisant la relation de Chasles. Plusieurs réponses sont parfois possibles.

1. \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CG}}=\overrightarrow{.\textcolor{#ffffff}{|}.\textcolor{#ffffff}{|}.}

2. \overrightarrow{\ldots \mathrm{A}}+\overrightarrow{\ldots \mathrm{D}}=\overrightarrow{\mathrm{B} \ldots}

3. \overrightarrow{\mathrm{BA}}-\overrightarrow{.\textcolor{#ffffff}{|}.\textcolor{#ffffff}{|}.}=\overrightarrow{\ldots \mathrm{G}}

4. \overrightarrow{\mathrm{A} \ldots}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{.\textcolor{#ffffff}{|}.\textcolor{#ffffff}{|}.}=\overrightarrow{0}

5. \overrightarrow{\mathrm{BD}}-\overrightarrow{\mathrm{C} \ldots}+\overrightarrow{\ldots \mathrm{A}}=\overrightarrow{.\textcolor{#ffffff}{|}.\textcolor{#ffffff}{|}.}
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Exercice 7
Problème

Dans un repère orthonormé, on considère les points \mathrm{A}(-4~; 1), \mathrm{B}(2~; 1) et \mathrm{C}(-1~; 1+\sqrt{3}).

1. a. Calculer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{AB}} et de \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

b. En déduire les longueurs \text{AB} et \text{AC}.

2. Erwan doit déterminer la valeur exacte de l'angle \widehat{\mathrm{BAC}} en radian avec l'indication suivante :
\mathrm{AB} \times \mathrm{AC} \times \cos (\widehat{\mathrm{BAC}})=18.
Aider Erwan à résoudre son exercice.
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Exercice 6
Colinéarité de vecteur

Retrouver tous les couples de vecteurs colinéaires, en précisant s'ils sont de même sens ou de sens contraires.

Maths 1re Techno - Produit scalaire - Avant de commencer - exercice 6 - Colinéarité de vecteur
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Anecdote

Le produit scalaire et les normes sont utilisés de façon très importante dans les jeux vidéos, par exemple pour déterminer des collisions entre objets ou pour calculer des éclairages.
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Testez vos connaissances sur ce quiz

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