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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 8
Exercices

Synthèse

13 professeurs ont participé à cette page
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Exercice 106
Démo
[Raisonner, Calculer.]

On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}) Soient \vec{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right) deux vecteurs du plan.

1. On rappelle que \vec{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) signifie qu'on a l'égalité vectorielle \vec{u}=x \vec{i}+y \overrightarrow{j}. Écrire une égalité similaire pour \vec{v}.

2. a. Démontrer alors que :

\vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}\|\vec{i}\|^{2}+y y^{\prime}\|\vec{j}\|^{2}+\left(x y^{\prime}+x^{\prime} y\right) \vec{i} \cdot \vec{j}.


b. En déduire que \vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}.
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Exercice 107
Démo
[Raisonner, Calculer.]

1. Soient [\mathrm{AB}] un segment de milieu \text{I} et \text{M} un point quelconque du plan.

a. À l'aide de la relation de Chasles, démontrer que :

\overrightarrow{\mathrm{MA}}^{2}=\overrightarrow{\mathrm{MI}}^{2}+2 \overrightarrow{\mathrm{MI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IA}}+\overrightarrow{\mathrm{IA}}^{2}


b. Démontrer une égalité similaire par \overrightarrow{\mathrm{MB}}^{2}.

c. En déduire que \mathrm{MA}^{2}+\mathrm{MB}^{2}=2 \mathrm{MI}^{2}+\frac{\mathrm{AB}^{2}}{2}.
Aide
On rappelle que :
  • \overrightarrow{\mathrm{MA}}^{2}=\mathrm{MA}^{2} ;
  • \text{I} est le milieu de [\mathrm{AB}].
Cette égalité est appelée théorème de la médiane.

2. Application : \text{ABC} représente le triangle formé par trois habitations. Un puits \text{I} se situe au milieu des habitations \text{A} et \text{B}.

De retour à son bureau, Alicia, une topographe, s'aperçoit qu'elle a oublié de mesurer la distance séparant l'habitation \text{C} du puits.

Aider Alicia à déterminer cette distance sachant que \mathrm{AB}=60 \mathrm{~m}, \mathrm{AC}=40 \mathrm{~m} et \mathrm{BC}=20 \mathrm{~m}.
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Exercice 108
[Chercher, Raisonner.]

Soit \text{ABC} un triangle rectangle en \text{B} tel que \mathrm{AB}=5 et \mathrm{BC}=13. On considère un point \text{D}, comme indiqué sur la figure ci‑dessous, tel que (\overrightarrow{\mathrm{BC}} \: ; \overrightarrow{\mathrm{BD}})=\frac{\pi}{3}. On note \text{H} et \text{K} les projetés orthogonaux respectifs de \text{A} et \text{C} sur \text{(BD).}

figure - exercice 108
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1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

2. a. Calculer les valeurs exactes de \text{BH} et de \text{BK}.

b. En déduire \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BK}}.

3. Calculer \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BH}}.

4. Calculer les produits scalaires suivants.

a. \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{BK}})

b. \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BH}})

c. \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{KC}}
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Consigne
Pour les à

En physique, le travail \bf{W}, en joule (\text{J}), d'une force \overrightarrow{\mathrm{F}}, en newton (\text{N}), exercée sur un objet le long d'un déplacement rectiligne \overrightarrow{\mathrm{AB}}, en mètre (m), est défini par \mathrm{W}_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}(\overrightarrow{\mathrm{F}})=\overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

La force du poids \overrightarrow{\mathrm{P}} d'un objet de masse m (kg) vérifie \text{P}=m g,g=9{,}8 ~\mathrm{N} / \mathrm{kg}.
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Exercice 109
[Raisonner, Communiquer.]

Un solide de masse m, se déplaçant selon le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}}, subit trois forces : son poids \overrightarrow{\mathrm{P}}, la réaction du sol \overrightarrow{\mathrm{R}}, et la force de frottement du sol \vec{f}.

figure - exercice 109
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Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{R}} est orthogonal au vecteur déplacement \overrightarrow{\mathrm{AB}} et le vecteur \vec{f} est colinéaire de sens contraire à \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

1. Justifier que le travail de la force de réaction du sol est nul.

2. Montrer que \mathrm{W}_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}(\vec{f})=-f \times \mathrm{AB}.

3. La force résultante \overrightarrow{\mathrm{F}} est la somme des forces en présence : \overrightarrow{\mathrm{F}}=\overrightarrow{\mathrm{R}}+\overrightarrow{\mathrm{P}}+\vec{f}.

Démontrer que le travail de la force résultante est la somme des travaux des forces en présence.
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Exercice 110
[Représenter, Raisonner.]

Lors d'un déménagement, Cléa pousse, sur 10 m, un carton de 20 kg sur le sol horizontal. Le carton subit quatre forces : son poids \overrightarrow{\mathrm{P}}, la réaction du sol \overrightarrow{\mathrm{R}}, la force de poussée \overrightarrow{\mathrm{F}} de 130 \: \text{N} et la force de frottement du sol \vec{f} de 100 \: \text{N}.

1. Illustrer cette situation par un schéma.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
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2. Calculer le travail de chacune des forces.

3. En déduire le travail de la force résultante, c'est‑à‑dire le travail de la somme des forces.

Placeholder pour cartons de déménagement - exercice 110cartons de déménagement - exercice 110
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Exercice 111
[Raisonner, Modéliser.]

On considère un pendule constitué d'une boule de masse m=200 \mathrm{~g} et d'un fil tendu de masse négligeable. On soulève la boule afin d'effectuer un angle de \alpha=60^{\circ} avec la verticale.

On a dessiné ci‑dessous un schéma récapitulant la situation dans un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}) du plan de centre \text{O}, point d'attache du fil.

On assimile la boule à un point \text{B}.

On suppose que seulement deux forces s'exercent sur la boule : le poids \overrightarrow{\mathrm{P}} et la tension du fil \overrightarrow{\mathrm{T}}.

figure - exercice 111
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1. a. Déterminer \|\overrightarrow{\mathrm{P}}\|.

Aide
On prendra garde aux unités.

b. Déterminer le projeté orthogonal du vecteur \overrightarrow{\mathrm{P}} sur l'axe des abscisses, puis sur l'axe des ordonnées.

2. a. Que doit valoir \|\overrightarrow{\mathrm{T}}\| pour que le projeté orthogonal de \overrightarrow{\mathrm{T}} sur l'axe des abscisses soit -2 \vec{i} ?

b. Quel est alors le projeté orthogonal de \overrightarrow{\mathrm{T}} sur l'axe des ordonnées ?
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Exercice 112
[Raisonner, Modéliser.]

Alexia est une acrobate. Lors d'un spectacle, elle est accrochée par deux câbles aux parois de la salle.
On note \text{A} le centre de gravité d'Alexia. \text{B} et \text{C} sont les deux points d'accroche des câbles.

figure - exercice 112
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On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}) de centre \text{A} et d'axes horizontal et vertical.

Trois forces s'exercent sur \text{A} : le poids \overrightarrow{\mathrm{P}} d'Alexia et les tensions des câbles \overrightarrow{\mathrm{T}}_{1} et \overrightarrow{\mathrm{T}}_{2}. L'angle entre \overrightarrow{\mathrm{T}}_{2} et l'axe des ordonnées est égal à 45° et on suppose que \overrightarrow{\mathrm{T}}_{1} et \overrightarrow{\mathrm{T}}_{2} sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

1. Alexia pèse 55 kg. Déterminer \|\overrightarrow{\mathrm{P}}\|.

2. Les câbles exercent une tension identique de 750 \mathrm{~N}, c'est‑à‑dire \left\|\overrightarrow{\mathrm{T}}_{1}\right\|=\left\|\overrightarrow{\mathrm{T}}_{2}\right\|=750.
Déterminer les projetés orthogonaux des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{T}}_{1} et \overrightarrow{\mathrm{T}}_{2} sur l'axe des abscisses, puis sur l'axe des ordonnées.

3. Alexia remonte de 2 mètres sous l'action de ces forces. Déterminer le travail de \overrightarrow{\mathrm{P}} lors de ce déplacement.
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Exercice 113
[Raisonner, Modéliser.]

Lucia fait du ski. Lors de la remontée mécanique à vitesse constante et rectiligne, trois forces s'exercent sur son centre de gravité \text{O} : son poids \overrightarrow{\mathrm{P}}, la force de la remontée mécanique \overrightarrow{\mathrm{F}} formant un angle de 45° avec la pente et la force de réaction du sol neigeux \overrightarrow{\mathrm{R}}.

figure - exercice 113
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On considère le repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}) du plan d'origine \text{O}, dont l'axe des abscisses est la droite parallèle au sol.

1. Calculer \|\overrightarrow{\mathrm{P}}\| sachant que Lucia pèse 65 kg.

2. Déterminer le projeté orthogonal du vecteur \overrightarrow{\mathrm{P}} sur l'axe des abscisses, puis sur l'axe des ordonnées.

3. D'après le principe fondamental de la dynamique, pour un mouvement rectiligne uniforme, on a :

\overrightarrow{\mathrm{P}}+\overrightarrow{\mathrm{R}}+\overrightarrow{\mathrm{F}}=\overrightarrow{0}

Déterminer \|\overrightarrow{\mathrm{R}}\| et \|\overrightarrow{\mathrm{F}}\|.

Aide
On utilisera les projections sur les axes des abscisses et des ordonnées.

4. La remontée mécanique est longue de 300 m. Déterminer le travail de chacune des trois forces.
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Exercice 114
[Modéliser, Chercher.]

Albéric (75 kg) emprunte un escalator à son travail. Lors de sa descente de \text{A} vers \text{B} (45 m), quatre forces s'exercent sur lui : le poids \overrightarrow{\mathrm{P}}, la réaction du sol \overrightarrow{\mathrm{R}}, la force de traction via un moteur \overrightarrow{\mathrm{M}} de 300 ~ \mathrm{N} et la force de frottement du tapis \vec{f} de 300 ~ \mathrm{N}. La droite (\mathrm{AB}) forme un angle de 30° avec l'horizontale.

Placeholder pour figure - exercice 114figure - exercice 114
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1. Le travail de la force de réaction du sol lors de la descente est‑il nul ? Justifier.

2. Déterminer le signe du travail des forces lors de cette descente.

3. Calculer le travail des forces \vec{f}, \overrightarrow{\mathrm{P}} et \overrightarrow{\mathrm{M}}.
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Exercice 115
[Raisonner, Modéliser.]

Lian (18 kg) descend en luge, à vitesse constante, une pente neigeuse formant un angle de 25° avec l'horizontale. Lors de sa descente, trois forces s'exercent sur lui : le poids \overrightarrow{\mathrm{P}}, la réaction du sol \overrightarrow{\mathrm{R}} et la force de frottement du sol neigeux \vec{f}.

figure - exercice 115
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On considère un repère orthonormé du plan de centre \text{L}, d'axe des abscisses la droite \text{(LB)} et d'axe des ordonnées \text{(LF)} tel que \text{B} ait une abscisse positive et \text{F} une ordonnée positive.

1. Calculer \|\overrightarrow{\mathrm{P}}\|.

2. a. Quel le projeté du vecteur \overrightarrow{\mathrm{P}} sur l'axe des abscisses ? Sur l'axe des ordonnées ?

b. Calculer les distances \mathrm{LP}_{x} et \mathrm{LP}_{y}. On arrondira les résultats à l'unité près.

3. D'après le principe d'inertie : \overrightarrow{\mathrm{P}}+\overrightarrow{\mathrm{R}}+\vec{f}=\overrightarrow{0}.
Justifier que \mathrm{LP}_{x}-f=0 et \mathrm{R}-\mathrm{LP}_{y}=0.

4. Déduire des questions précédentes une valeur arrondie à l'unité de f et de \text{R}.
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Exercice 116
[Chercher, Modéliser.]

Un architecte fabrique des pièces métalliques formant un cube \text{ABCDEFGH} de côté a. Il a besoin de deux tiges, [\mathrm{AG}] et [\mathrm{EC}], soudées au point \text{O}, centre du cube.

figure - exercice 116
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L'objectif de cet exercice est de savoir si l'angle \theta=\widehat{\mathrm{AOC}} entre les deux tiges varie selon la longueur a du côté du cube.

1. a. Démontrer que \mathrm{AC}=a \sqrt{2} et \mathrm{AG}=a \sqrt{3}.

b. En déduire une expression de \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} en fonction de a et \theta.

2. On note \text{I} le milieu du segment \text{[AC].}

a. Exprimer \overrightarrow{\mathrm{OA}}, puis \overrightarrow{\mathrm{OC}}, en fonction de \overrightarrow{\mathrm{OI}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

b. En déduire que \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\frac{1}{4} a^{2}.

3. Déterminer la valeur exacte de \cos (\theta), puis conclure.
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Exercice 117
[Raisonner, Calculer.]

Une usine fabrique des plaques métalliques identiques ayant la forme d'un parallélogramme \text{ABCD} tel que \mathrm{AB}=150 \mathrm{~cm}, \mathrm{AD}=230 \mathrm{~cm} et \widehat{\mathrm{BAD}} a pour mesure \frac{5 \pi}{6}.

figure - exercice 117
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Un régleur doit déterminer la longueur, arrondie au centimètre près, des deux diagonales de ces plaques. Résoudre ce problème.
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Exercice 118
[Chercher, Modéliser.]

Placeholder pour coucher de soleil - exercice 118coucher de soleil - exercice 118
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Dans un jeu de téléréalité, lors d'une épreuve, trois candidats sont placés sur un quadrillage comme indiqué ci‑dessous, chaque carreau représentant un carré d'un mètre de côté.

figure - exercice 118
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Pour remporter cette épreuve, les participants doivent évaluer les trois angles, au degré près, du triangle qu'ils forment.

On considère le plan muni d'un repère orthonormé de centre \text{J}, représentant la localisation de Jonathan, d'axe des abscisses orienté vers l'Est et d'axe des ordonnées orienté vers le Nord et d'unité 1 m.

1. a. Calculer les distances exactes séparant chaque candidat.

b. Aider les participants à remporter cette épreuve.

2. Pour obtenir un bonus, le présentateur propose à Raphaël de se déplacer selon l'axe Nord‑Sud de telle sorte que le triangle formé soit rectangle en \text{J.}
Où doit‑il se placer ?
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Exercice 119
[Raisonner.]

Le but de cet exercice est de démontrer la formule de Héron. On considère un triangle \text{ABC} quelconque, d'aire \text{S,} muni des notations suivantes.

figure - exercice 119
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Combiner la formule d'Al‑Kashi et la loi des sinus : \frac{a b c}{2 \text{S}}=\frac{a}{\sin (\widehat{\text{A}})}=\frac{b}{\sin (\widehat{\text{B}})}=\frac{c}{\sin (\widehat{\text{C}})} pour obtenir la formule de Héron :
\mathrm{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}p est le demi‑périmètre : p=\frac{a+b+c}{2}.
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Exercice 120
[Raisonner.]

Le but de cet exercice est de démontrer la loi des sinus.
On considère un triangle \text{ABC} quelconque, d'aire \text{S,} muni des notations suivantes.

figure 1 - exercice 120
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1. On rappelle que l'aire du triangle \text{ABC} est donnée par la formule \mathrm{S}=\frac{1}{2} b c \sin (\widehat{\text{A}}).
En déduire deux autres formules s'appuyant sur des angles différents.

2. Déduire de la question précédente la loi des sinus : \frac{a b c}{2 \mathrm{S}}=\frac{a}{\sin (\widehat{\text{A}})}=\frac{b}{\sin (\widehat{\text{B}})}=\frac{c}{\sin (\widehat{\text{C}})}.

3. Application 1 : Soit \text{ABC} un triangle tel que b = 7, \widehat{\text{A}}=\frac{\pi}{4} et \widehat{\text{C}}=\frac{2 \pi}{3}.
Déterminer une valeur approchée au dixième près des deux autres longueurs du triangle.

4. Application 2 : Triangulation.
Redouane \text{(R)} et Zola \text{(Z)} sont partis à vélo chacun de leur côté. Zola veut rejoindre la ville d'Arkham City \text{(A)} tandis que Redouane roule vers Dunwich \text{(D)}. Ils échangent les mesures d'angles et de longueur ci‑dessous par SMS.

figure 2 - exercice 120
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Calculer la distance qu'il leur reste à parcourir jusqu'à leur destination respective.
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Club de maths

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Exercice 121
Défi

Placeholder pour montre à gousset - exercice 121montre à gousset - exercice 121
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Sur une montre à aiguilles classique, sans trotteuse, à quelles heures, à la seconde près, les deux aiguilles sont‑elles perpendiculaires ?
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Exercice 122
Énigme

Lors d'un repas estival, un parasol de forme carrée de côté 3 m est tourné selon son axe de rotation de 60° dans le sens des aiguilles d'une montre. On résume la situation par la figure suivante.

figure - exercice 122
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Démontrer que les droites \text{(ED)} et \text{(BF)} sont perpendiculaires, puis en déduire que les points \mathrm{D}, \mathrm{E} et \text{G} sont alignés.
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