On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}) Soient \vec{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right) deux vecteurs du plan.

1. On rappelle que \vec{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) signifie qu'on a l'égalité vectorielle \vec{u}=x \vec{i}+y \overrightarrow{j}. Écrire une égalité similaire pour \vec{v}.

2. a. Démontrer alors que :

\vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}\|\vec{i}\|^{2}+y y^{\prime}\|\vec{j}\|^{2}+\left(x y^{\prime}+x^{\prime} y\right) \vec{i} \cdot \vec{j}.

b. En déduire que \vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}.

1. Soient [\mathrm{AB}] un segment de milieu \text{I} et \text{M} un point quelconque du plan.

a. À l'aide de la relation de Chasles, démontrer que :

\overrightarrow{\mathrm{MA}}^{2}=\overrightarrow{\mathrm{MI}}^{2}+2 \overrightarrow{\mathrm{MI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IA}}+\overrightarrow{\mathrm{IA}}^{2}

b. Démontrer une égalité similaire par \overrightarrow{\mathrm{MB}}^{2}.

c. En déduire que \mathrm{MA}^{2}+\mathrm{MB}^{2}=2 \mathrm{MI}^{2}+\frac{\mathrm{AB}^{2}}{2}.

Aide

On rappelle que :

• \overrightarrow{\mathrm{MA}}^{2}=\mathrm{MA}^{2} ;
• \text{I} est le milieu de [\mathrm{AB}].

Cette égalité est appelée théorème de la médiane.

2. Application : \text{ABC} représente le triangle formé par trois habitations. Un puits \text{I} se situe au milieu des habitations \text{A} et \text{B}.

De retour à son bureau, Alicia, une topographe, s'aperçoit qu'elle a oublié de mesurer la distance séparant l'habitation \text{C} du puits.

Aider Alicia à déterminer cette distance sachant que \mathrm{AB}=60 \mathrm{~m}, \mathrm{AC}=40 \mathrm{~m} et \mathrm{BC}=20 \mathrm{~m}.

Soit \text{ABC} un triangle rectangle en \text{B} tel que \mathrm{AB}=5 et \mathrm{BC}=13. On considère un point \text{D}, comme indiqué sur la figure ci‑dessous, tel que (\overrightarrow{\mathrm{BC}} \: ; \overrightarrow{\mathrm{BD}})=\frac{\pi}{3}. On note \text{H} et \text{K} les projetés orthogonaux respectifs de \text{A} et \text{C} sur \text{(BD).}


1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

2. a. Calculer les valeurs exactes de \text{BH} et de \text{BK}.

b. En déduire \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BK}}.

3. Calculer \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BH}}.

4. Calculer les produits scalaires suivants.

a. \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{BK}})

b. \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BH}})

c. \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{KC}}

En physique, le travail \bf{W}, en joule (\text{J}), d'une force \overrightarrow{\mathrm{F}}, en newton (\text{N}), exercée sur un objet le long d'un déplacement rectiligne \overrightarrow{\mathrm{AB}}, en mètre (m), est défini par \mathrm{W}_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}(\overrightarrow{\mathrm{F}})=\overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

La force du poids \overrightarrow{\mathrm{P}} d'un objet de masse m (kg) vérifie \text{P}=m g, où g=9{,}8 ~\mathrm{N} / \mathrm{kg}.

Un solide de masse m, se déplaçant selon le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}}, subit trois forces : son poids \overrightarrow{\mathrm{P}}, la réaction du sol \overrightarrow{\mathrm{R}}, et la force de frottement du sol \vec{f}.


Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{R}} est orthogonal au vecteur déplacement \overrightarrow{\mathrm{AB}} et le vecteur \vec{f} est colinéaire de sens contraire à \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

1. Justifier que le travail de la force de réaction du sol est nul.

2. Montrer que \mathrm{W}_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}(\vec{f})=-f \times \mathrm{AB}.

3. La force résultante \overrightarrow{\mathrm{F}} est la somme des forces en présence : \overrightarrow{\mathrm{F}}=\overrightarrow{\mathrm{R}}+\overrightarrow{\mathrm{P}}+\vec{f}.

Démontrer que le travail de la force résultante est la somme des travaux des forces en présence.

Lors d'un déménagement, Cléa pousse, sur 10 m, un carton de 20 kg sur le sol horizontal. Le carton subit quatre forces : son poids \overrightarrow{\mathrm{P}}, la réaction du sol \overrightarrow{\mathrm{R}}, la force de poussée \overrightarrow{\mathrm{F}} de 130 \: \text{N} et la force de frottement du sol \vec{f} de 100 \: \text{N}.

1. Illustrer cette situation par un schéma.

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2. Calculer le travail de chacune des forces.

3. En déduire le travail de la force résultante, c'est‑à‑dire le travail de la somme des forces.

On considère un pendule constitué d'une boule de masse m=200 \mathrm{~g} et d'un fil tendu de masse négligeable. On soulève la boule afin d'effectuer un angle de \alpha=60^{\circ} avec la verticale.

On a dessiné ci‑dessous un schéma récapitulant la situation dans un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}) du plan de centre \text{O}, point d'attache du fil.

On assimile la boule à un point \text{B}.

On suppose que seulement deux forces s'exercent sur la boule : le poids \overrightarrow{\mathrm{P}} et la tension du fil \overrightarrow{\mathrm{T}}.


1. a. Déterminer \|\overrightarrow{\mathrm{P}}\|.

b. Déterminer le projeté orthogonal du vecteur \overrightarrow{\mathrm{P}} sur l'axe des abscisses, puis sur l'axe des ordonnées.

2. a. Que doit valoir \|\overrightarrow{\mathrm{T}}\| pour que le projeté orthogonal de \overrightarrow{\mathrm{T}} sur l'axe des abscisses soit -2 \vec{i} ?

b. Quel est alors le projeté orthogonal de \overrightarrow{\mathrm{T}} sur l'axe des ordonnées ?

Alexia est une acrobate. Lors d'un spectacle, elle est accrochée par deux câbles aux parois de la salle.
On note \text{A} le centre de gravité d'Alexia. \text{B} et \text{C} sont les deux points d'accroche des câbles.


On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}) de centre \text{A} et d'axes horizontal et vertical.

Trois forces s'exercent sur \text{A} : le poids \overrightarrow{\mathrm{P}} d'Alexia et les tensions des câbles \overrightarrow{\mathrm{T}}_{1} et \overrightarrow{\mathrm{T}}_{2}. L'angle entre \overrightarrow{\mathrm{T}}_{2} et l'axe des ordonnées est égal à 45° et on suppose que \overrightarrow{\mathrm{T}}_{1} et \overrightarrow{\mathrm{T}}_{2} sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

1. Alexia pèse 55 kg. Déterminer \|\overrightarrow{\mathrm{P}}\|.

2. Les câbles exercent une tension identique de 750 \mathrm{~N}, c'est‑à‑dire \left\|\overrightarrow{\mathrm{T}}_{1}\right\|=\left\|\overrightarrow{\mathrm{T}}_{2}\right\|=750.
Déterminer les projetés orthogonaux des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{T}}_{1} et \overrightarrow{\mathrm{T}}_{2} sur l'axe des abscisses, puis sur l'axe des ordonnées.

3. Alexia remonte de 2 mètres sous l'action de ces forces. Déterminer le travail de \overrightarrow{\mathrm{P}} lors de ce déplacement.

Lucia fait du ski. Lors de la remontée mécanique à vitesse constante et rectiligne, trois forces s'exercent sur son centre de gravité \text{O} : son poids \overrightarrow{\mathrm{P}}, la force de la remontée mécanique \overrightarrow{\mathrm{F}} formant un angle de 45° avec la pente et la force de réaction du sol neigeux \overrightarrow{\mathrm{R}}.


On considère le repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}) du plan d'origine \text{O}, dont l'axe des abscisses est la droite parallèle au sol.

1. Calculer \|\overrightarrow{\mathrm{P}}\| sachant que Lucia pèse 65 kg.

2. Déterminer le projeté orthogonal du vecteur \overrightarrow{\mathrm{P}} sur l'axe des abscisses, puis sur l'axe des ordonnées.

3. D'après le principe fondamental de la dynamique, pour un mouvement rectiligne uniforme, on a :

\overrightarrow{\mathrm{P}}+\overrightarrow{\mathrm{R}}+\overrightarrow{\mathrm{F}}=\overrightarrow{0}

Déterminer \|\overrightarrow{\mathrm{R}}\| et \|\overrightarrow{\mathrm{F}}\|.

4. La remontée mécanique est longue de 300 m. Déterminer le travail de chacune des trois forces.

Albéric (75 kg) emprunte un escalator à son travail. Lors de sa descente de \text{A} vers \text{B} (45 m), quatre forces s'exercent sur lui : le poids \overrightarrow{\mathrm{P}}, la réaction du sol \overrightarrow{\mathrm{R}}, la force de traction via un moteur \overrightarrow{\mathrm{M}} de 300 ~ \mathrm{N} et la force de frottement du tapis \vec{f} de 300 ~ \mathrm{N}. La droite (\mathrm{AB}) forme un angle de 30° avec l'horizontale.


1. Le travail de la force de réaction du sol lors de la descente est‑il nul ? Justifier.

2. Déterminer le signe du travail des forces lors de cette descente.

3. Calculer le travail des forces \vec{f}, \overrightarrow{\mathrm{P}} et \overrightarrow{\mathrm{M}}.

Lian (18 kg) descend en luge, à vitesse constante, une pente neigeuse formant un angle de 25° avec l'horizontale. Lors de sa descente, trois forces s'exercent sur lui : le poids \overrightarrow{\mathrm{P}}, la réaction du sol \overrightarrow{\mathrm{R}} et la force de frottement du sol neigeux \vec{f}.


On considère un repère orthonormé du plan de centre \text{L}, d'axe des abscisses la droite \text{(LB)} et d'axe des ordonnées \text{(LF)} tel que \text{B} ait une abscisse positive et \text{F} une ordonnée positive.

1. Calculer \|\overrightarrow{\mathrm{P}}\|.

2. a. Quel le projeté du vecteur \overrightarrow{\mathrm{P}} sur l'axe des abscisses ? Sur l'axe des ordonnées ?

b. Calculer les distances \mathrm{LP}_{x} et \mathrm{LP}_{y}. On arrondira les résultats à l'unité près.

3. D'après le principe d'inertie : \overrightarrow{\mathrm{P}}+\overrightarrow{\mathrm{R}}+\vec{f}=\overrightarrow{0}.
Justifier que \mathrm{LP}_{x}-f=0 et \mathrm{R}-\mathrm{LP}_{y}=0.

4. Déduire des questions précédentes une valeur arrondie à l'unité de f et de \text{R}.

Un architecte fabrique des pièces métalliques formant un cube \text{ABCDEFGH} de côté a. Il a besoin de deux tiges, [\mathrm{AG}] et [\mathrm{EC}], soudées au point \text{O}, centre du cube.


L'objectif de cet exercice est de savoir si l'angle \theta=\widehat{\mathrm{AOC}} entre les deux tiges varie selon la longueur a du côté du cube.

1. a. Démontrer que \mathrm{AC}=a \sqrt{2} et \mathrm{AG}=a \sqrt{3}.

b. En déduire une expression de \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} en fonction de a et \theta.

2. On note \text{I} le milieu du segment \text{[AC].}

a. Exprimer \overrightarrow{\mathrm{OA}}, puis \overrightarrow{\mathrm{OC}}, en fonction de \overrightarrow{\mathrm{OI}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

b. En déduire que \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\frac{1}{4} a^{2}.

3. Déterminer la valeur exacte de \cos (\theta), puis conclure.

Une usine fabrique des plaques métalliques identiques ayant la forme d'un parallélogramme \text{ABCD} tel que \mathrm{AB}=150 \mathrm{~cm}, \mathrm{AD}=230 \mathrm{~cm} et \widehat{\mathrm{BAD}} a pour mesure \frac{5 \pi}{6}.

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Un régleur doit déterminer la longueur, arrondie au centimètre près, des deux diagonales de ces plaques. Résoudre ce problème.

Dans un jeu de téléréalité, lors d'une épreuve, trois candidats sont placés sur un quadrillage comme indiqué ci‑dessous, chaque carreau représentant un carré d'un mètre de côté.


Pour remporter cette épreuve, les participants doivent évaluer les trois angles, au degré près, du triangle qu'ils forment.

On considère le plan muni d'un repère orthonormé de centre \text{J}, représentant la localisation de Jonathan, d'axe des abscisses orienté vers l'Est et d'axe des ordonnées orienté vers le Nord et d'unité 1 m.

1. a. Calculer les distances exactes séparant chaque candidat.

b. Aider les participants à remporter cette épreuve.

2. Pour obtenir un bonus, le présentateur propose à Raphaël de se déplacer selon l'axe Nord‑Sud de telle sorte que le triangle formé soit rectangle en \text{J.}
Où doit‑il se placer ?

Le but de cet exercice est de démontrer la formule de Héron. On considère un triangle \text{ABC} quelconque, d'aire \text{S,} muni des notations suivantes.

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Combiner la formule d'Al‑Kashi et la loi des sinus : \frac{a b c}{2 \text{S}}=\frac{a}{\sin (\widehat{\text{A}})}=\frac{b}{\sin (\widehat{\text{B}})}=\frac{c}{\sin (\widehat{\text{C}})} pour obtenir la formule de Héron :
\mathrm{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} où p est le demi‑périmètre : p=\frac{a+b+c}{2}.

Le but de cet exercice est de démontrer la loi des sinus.
On considère un triangle \text{ABC} quelconque, d'aire \text{S,} muni des notations suivantes.


1. On rappelle que l'aire du triangle \text{ABC} est donnée par la formule \mathrm{S}=\frac{1}{2} b c \sin (\widehat{\text{A}}).
En déduire deux autres formules s'appuyant sur des angles différents.

2. Déduire de la question précédente la loi des sinus : \frac{a b c}{2 \mathrm{S}}=\frac{a}{\sin (\widehat{\text{A}})}=\frac{b}{\sin (\widehat{\text{B}})}=\frac{c}{\sin (\widehat{\text{C}})}.

3. Application 1 : Soit \text{ABC} un triangle tel que b = 7, \widehat{\text{A}}=\frac{\pi}{4} et \widehat{\text{C}}=\frac{2 \pi}{3}.
Déterminer une valeur approchée au dixième près des deux autres longueurs du triangle.

4. Application 2 : Triangulation.
Redouane \text{(R)} et Zola \text{(Z)} sont partis à vélo chacun de leur côté. Zola veut rejoindre la ville d'Arkham City \text{(A)} tandis que Redouane roule vers Dunwich \text{(D)}. Ils échangent les mesures d'angles et de longueur ci‑dessous par SMS.

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Calculer la distance qu'il leur reste à parcourir jusqu'à leur destination respective.

Sur une montre à aiguilles classique, sans trotteuse, à quelles heures, à la seconde près, les deux aiguilles sont‑elles perpendiculaires ?

Lors d'un repas estival, un parasol de forme carrée de côté 3 m est tourné selon son axe de rotation de 60° dans le sens des aiguilles d'une montre. On résume la situation par la figure suivante.

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Démontrer que les droites \text{(ED)} et \text{(BF)} sont perpendiculaires, puis en déduire que les points \mathrm{D}, \mathrm{E} et \text{G} sont alignés.