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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 7
Entraînement 3
Applications du produit scalaire
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Exercice 98
[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer les valeurs arrondies au degré près des trois angles du triangle \text{ABC}.
1. \mathrm{AB}=5, \mathrm{AC}=3 et \mathrm{BC}=7.
2. \mathrm{AB}=\frac{3}{2}, \mathrm{AC}=2 et \mathrm{BC}=\frac{4}{5}.
3. \mathrm{AB}=\sqrt{3}, \mathrm{AC}=3 \sqrt{3} et \mathrm{BC}=4.
1. \mathrm{AB}=5, \mathrm{AC}=3 et \mathrm{BC}=7.
2. \mathrm{AB}=\frac{3}{2}, \mathrm{AC}=2 et \mathrm{BC}=\frac{4}{5}.
3. \mathrm{AB}=\sqrt{3}, \mathrm{AC}=3 \sqrt{3} et \mathrm{BC}=4.
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Jamshid Al‑Kashi (1380‑1429) est un mathématicien et astronome perse. Il démontra, en 1428, les égalités dites d'Al‑Kashi, de loi des cosinus, ou encore de théorème de Pythagore généralisé. Ce théorème porte le nom d'Al‑Kashi bien qu'il fût déjà connu d'Euclide au IIIe siècle av. J.‑C.
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Exercice 99
[Calculer.]
Soit \text{ABC} un triangle tel que :
1. Déterminer la valeur exacte de \text{BC,} puis une valeur arrondie au dixième.
2. En déduire une valeur arrondie au degré près des trois angles de ce triangle.
\mathrm{AB}=5, \mathrm{AC}=6 et \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{5 \pi}{6}.
1. Déterminer la valeur exacte de \text{BC,} puis une valeur arrondie au dixième.
2. En déduire une valeur arrondie au degré près des trois angles de ce triangle.
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Dans la vie professionnelle
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Les géomètres utilisent la notion du produit scalaire et ses applications afin de déterminer des mesures d'objets de grande taille, tels que la tour Eiffel.
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Exercice 101
[Calculer.]
Soit \text{ABC} un triangle non aplati tel que :
Déterminer la valeur exacte de \text{AC}.
\mathrm{AB}=\sqrt{3}, \mathrm{BC}=\sqrt{3} et \widehat{\mathrm{ACB}}=\frac{\pi}{4}.
Déterminer la valeur exacte de \text{AC}.
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Exercice 100
[Calculer.]
Soit \text{ABC} un triangle tel que :
1. a. Démontrer que 2 et 4 sont solutions de l'équation x^{2}-6 x+8=0.
b. Déterminer les deux valeurs possibles de \text{AB}.
2. On suppose que \mathrm{AB}=2. Déterminer une valeur arrondie au degré près des trois angles de ce triangle.
\mathrm{AC}=2 \sqrt{7}, \mathrm{BC}=6 et \widehat{\mathrm{ABC}}=\frac{\pi}{3}.
1. a. Démontrer que 2 et 4 sont solutions de l'équation x^{2}-6 x+8=0.
b. Déterminer les deux valeurs possibles de \text{AB}.
2. On suppose que \mathrm{AB}=2. Déterminer une valeur arrondie au degré près des trois angles de ce triangle.
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Exercice 102
[Raisonner.]
Soit \text{ABCd} un parallélogramme tel que :
Déterminer la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 0,01 près, de la longueur \text{BD}.
\mathrm{AB}=4, \mathrm{AD}=6 et \mathrm{AC}=7.
Déterminer la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 0,01 près, de la longueur \text{BD}.
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Exercice 103
[Raisonner.]
Soit \text{ABCD} un parallélogramme tel que :
Déterminer la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 10^{-1} près, de la longueur \text{AD.}
\mathrm{AB}=7, \mathrm{AC}=5 et \mathrm{BD}=10.
Déterminer la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 10^{-1} près, de la longueur \text{AD.}
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Avec la notation \|.\|, qui fut introduite par le mathématicien français Maurice Fréchet (1878‑1973), l'égalité du parallélogramme s'écrit aussi de manière vectorielle par \|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}+\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=2\|\vec{u}\|^{2}+2\|\vec{v}\|^{2}. Cette égalité est valable dans les espaces affines.
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Exercice 104
Exercice inversé
En réponse à un exercice, on écrit « \widehat{\mathrm{ACB}}=\frac{\pi}{4} ».
Compléter l'énoncé possible de cet exercice : « \text{ABC} est un triangle tel que \mathrm{AB}=8, \mathrm{AC}=\ldots et \mathrm{BC}=\ldots. Déterminer \ldots ».
Compléter l'énoncé possible de cet exercice : « \text{ABC} est un triangle tel que \mathrm{AB}=8, \mathrm{AC}=\ldots et \mathrm{BC}=\ldots. Déterminer \ldots ».
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Exercice 105
Exercice inversé
Soit \text{MATH} un parallélogramme tel que \mathrm{MA}=5 et \mathrm{MH}=2.
En réponse à un exercice, on écrit : « \mathrm{AH}=\sqrt{10} à l'aide de l'égalité du parallélogramme. »
Rédiger un énoncé possible de cet exercice.
En réponse à un exercice, on écrit : « \mathrm{AH}=\sqrt{10} à l'aide de l'égalité du parallélogramme. »
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