Produit scalaire et orthogonalité

On considère dans un repère orthonormé du plan deux vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right).$

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$ si, et seulement si, $x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }=0.$

On considère trois points non alignés du plan $\text{A},\text{B}$ et $\text{C}.$

Soit $\text{H}$ le projeté orthogonal de $\text{C}$ sur la droite $(\mathrm{AB}).$

Alors : $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}.$

On considère un rectangle $\mathrm{ABCD}$ tel que $\mathrm{AB}=4$ et $\mathrm{AD}=2.$

On note respectivement $\mathrm{E}$ et $\mathrm{F}$ les milieux de $[\mathrm{AB}]$ et de $[\mathrm{CD}].$

On observe que $\mathrm{E}$ est le projeté orthogonal de $\mathrm{F}$ sur $(\mathrm{AB}).$

Donc $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=+\mathrm{AB}\times \mathrm{AE}$ car $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ sont colinéaires de même sens.

D'où $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}=4\times 2=8.$

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls et $\overrightarrow{u^{\prime }}$ le projeté orthogonal de $\overrightarrow{u}$ sur un axe dirigé par $\overrightarrow{v}.$

Alors $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u^{\prime }}\cdot \overrightarrow{v}$, soit $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{v}.$

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls tels que $\Vert \overrightarrow{v}\Vert =1$ (vecteur unitaire) et soit $\theta$ une mesure de l'angle entre les deux vecteurs.

On note $\overrightarrow{u^{\prime }}$ le projeté orthogonal de $\overrightarrow{u}$ sur un axe dirigé par $\overrightarrow{v}.$

Alors $\overrightarrow{u^{\prime }}=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \cos (\theta )\overrightarrow{v}.$