Mathématiques 1re Techno

Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
chapitre 7
Cours 2

Produit scalaire et orthogonalité

11 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

A
Vecteurs orthogonaux

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Dans un repère orthonormé, deux vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right) sont orthogonaux si, et seulement si, x x^{\prime}+y y^{\prime}=0.
Rappel
Soient A,B,C et D quatre points du plan distincts deux à deux. AB et AB sont orthogonaux si, et seulement si, les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

Logo Geogebra

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Démonstration

On considère dans un repère orthonormé du plan deux vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right).

\vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux si, et seulement si, \vec{u} \cdot \vec{v}=0 si, et seulement si, x x^{\prime}+y y^{\prime}=0.

Logique
La propriété est donc valable dans les deux sens.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
On munit le plan d'un repère orthonormé. Soient \vec{u}\left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) deux vecteurs du plan.
On a \vec{u} \cdot \vec{v}=-4 \times 1+2 \times 2=0.
Donc \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux.

figure 1 - cours 1.A.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 4

Démontrer la perpendicularité de deux droites

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
On se place dans un repère orthonormé du plan. On considère les points \mathrm{A}(8 \: ; 1), \mathrm{B}(5 \: ;-1), \mathrm{C}(1 \: ;-1) et \mathrm{D}(-1 \: ; 2).

Démontrer que les droites \text{(AB)} et \text{(CD)} sont perpendiculaires.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

  • On calcule les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}}.

  • On démontre que \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=0.

  • On conclut.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
On a \overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{l} -3 \\ -2 \end{array}\right) et \overrightarrow{\mathrm{CD}}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \end{array}\right).

Donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=-3 \times(-2)+(-2) \times 3=0, ce qui signifie que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} sont orthogonaux.

Ainsi, (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) sont perpendiculaires.

Pour s'entraîner : exercices p. 203.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

B
Projection orthogonale d'un vecteur

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
On considère trois points non alignés du plan \text{A}, \text{B} et \text{C}.

Soit \text{H} le projeté orthogonal de \text{C} sur la droite (\mathrm{AB}).

Alors : \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}.

figure 1 - cours 2.B.
Le zoom est accessible dans la version Premium.


Remarque
La projection orthogonale permet d'utiliser ensuite l'expression du produit scalaire avec des vecteurs colinéaires.
Logo Geogebra

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Démonstration

Voir p. 190.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
On considère un rectangle \mathrm{ABCD} tel que \mathrm{AB}=4 et \mathrm{AD}=2.

On note respectivement \mathrm{E} et \mathrm{F} les milieux de [\mathrm{AB}] et de [\mathrm{CD}].

On observe que \mathrm{E} est le projeté orthogonal de \mathrm{F} sur (\mathrm{AB}).

Donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=+\mathrm{AB} \times \mathrm{AE} car \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AE}} sont colinéaires de même sens.

D'où \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}=4 \times 2=8.

figure 2 - cours 2.B.
Le zoom est accessible dans la version Premium.


Remarque
On observe que la largeur \text{BC} du rectangle n'influe pas sur le résultat du produit scalaire.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 5

Utiliser le projeté orthogonal

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
figure - application et méthode 5
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Soit \text{ABC} un triangle isocèle rectangle en \text{B} tel que \mathrm{AB}=3. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

  • On repère les angles droits, puis on utilise la formule du produit scalaire avec la projection orthogonale.

  • On calcule ensuite le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires.


Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
\text{B} est le projeté orthogonal de \mathrm{C} sur (\mathrm{AB}).
Donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A\color{#CE422B}C\color{black}}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A\color{#CE422B}B\color{black}}}=\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}=9.

Pour s'entraîner : exercices p. 203 et p. 206
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition

figure 3 - cours 2.B.
Le zoom est accessible dans la version Premium.

On considère un vecteur non nul \vec{u} dont un représentant est le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}}. Soit d une droite du plan.

On note respectivement \mathrm{A}^{\prime} et \mathrm{B}^{\prime} les projetés orthogonaux de \text{A} et de \text{B} sur d.

On appelle alors projeté orthogonal de \bm{\vec{u}} sur \bm{d} le vecteur \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
figure 4 - cours 2.B.
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls et \overrightarrow{u^{\prime}} le projeté orthogonal de \vec{u} sur un axe dirigé par \vec{v}.

Alors \vec{u} \cdot \vec{v}=\overrightarrow{u^{\prime}} \cdot \vec{v}, soit \vec{u} \cdot \vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}} \cdot \vec{v}.

Remarque
Il existe une propriété équivalente lorsque le vecteur \vec{v} est projeté sur un axe dirigé par \vec{u}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
figure 4 - cours 2.B.
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls tels que \|\vec{v}\|=1 (vecteur unitaire) et soit \theta une mesure de l'angle entre les deux vecteurs.

On note \overrightarrow{u^{\prime}} le projeté orthogonal de \vec{u} sur un axe dirigé par \vec{v}.

Alors \overrightarrow{u^{\prime}}=\|\vec{u}\| \cos (\theta) \vec{v}.

Remarque
Cette propriété est utile pour la projection des vecteurs forces en physique.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemples
Dans un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}\: , \vec{j}), on considère \vec{u} de norme \text{3} tel qu'une mesure de l'angle (\vec{i}, \vec{u}) soit \frac{\pi}{6}.

Le projeté orthogonal de \vec{u} sur l'axe des abscisses est donc le vecteur 3 \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \vec{i}=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \vec{i}.

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.