Produit scalaire de deux vecteurs

1. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =8,\Vert \overrightarrow{v}\Vert =3$ et $\theta =60^{\circ }.$

2. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =2,\Vert \overrightarrow{v}\Vert =1$ et $\theta =135^{\circ }.$

3. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\frac{2}{5},\Vert \overrightarrow{v}\Vert =\frac{5}{6}$ et $\theta =0^{\circ }.$

1. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =3,\Vert \overrightarrow{v}\Vert =2$ et $\theta =\frac{7\pi }{6}.$

2. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =5,\Vert \overrightarrow{v}\Vert =9$ et $\theta =\frac{5\pi }{2}.$

3. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{3},\Vert \overrightarrow{v}\Vert =7$ et $\theta =-\frac{5\pi }{6}.$

4. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\frac{2}{9},\Vert \overrightarrow{v}\Vert =\frac{\sqrt{3}}{3}$ et $\theta =\frac{4\pi }{3}.$

1. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =3-\sqrt{5},\Vert \overrightarrow{v}\Vert =3+\sqrt{5}$ et $\theta =\frac{\pi }{3}.$

2. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\frac{2}{2+\sqrt{3}},\Vert \overrightarrow{v}\Vert =2-\sqrt{3}$ et $\theta =-\frac{2\pi }{3}.$

Dans chaque cas, déterminer la valeur en degré, arrondie éventuellement à 0,01 près, de l'angle $\theta$ entre $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}.$

1. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =6,\Vert \overrightarrow{v}\Vert =3$ et $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-4.$

2. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =2,\Vert \overrightarrow{v}\Vert =\sqrt{3}$ et $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0.$

3. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =4,\Vert \overrightarrow{v}\Vert =3$ et $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=2.$

Consigne

Pour les

exercices 70

à

72

Soient $\text{A},\text{B}$ et $\text{C}$ trois points du plan.

Les premières apparitions du produit scalaire ont lieu en 1843 dans les écrits de Sir William Rowan Hamilton. C'est vers 1880 que la notation $\cdot$ est utilisée par Josiah Willard Gibbs. Cet outil est né de problèmes physiques à résoudre.

Calculer $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ dans chaque cas.

1. $\mathrm{AB}=4,\mathrm{AC}=6$ et $\widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{5\pi }{6}.$

2. $\mathrm{AB}=\frac{4}{3},\mathrm{AC}=\frac{3}{2}$ et $\widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{3\pi }{4}.$

Calculer $\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ dans chaque cas.

1. $\mathrm{AB}=6,\mathrm{CB}=5$ et $\widehat{\mathrm{ABC}}=\frac{2\pi }{6}.$

2. $\mathrm{BA}=\frac{5}{3},\mathrm{CB}=4$ et $\widehat{\mathrm{ABC}}=\frac{9\pi }{4}.$

1. $\mathrm{AB}=9,\mathrm{AC}=2$ et $\widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{3\pi }{4}.$ Calculer $\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.$

2. $\mathrm{AC}=\sqrt{3},\mathrm{BC}=5$ et $\widehat{\mathrm{ACB}}=\frac{\pi }{6}.$ Calculer $\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}.$

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs colinéaires. On suppose que $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =3.$ Dans chaque cas, calculer $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}.$

1. $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{u}$

Insérer une formule mathématique

2. $\overrightarrow{v}=-\frac{3}{5}\overrightarrow{u}$

Insérer une formule mathématique

3. $\overrightarrow{u}=-5\overrightarrow{v}$

Insérer une formule mathématique

4. $\overrightarrow{u}=\frac{2}{7}\overrightarrow{v}$

Insérer une formule mathématique

Calculer les produits scalaires suivants.

1. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}$

2. $\overrightarrow{\mathrm{FD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$

3. $\overrightarrow{\mathrm{HG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}$

4. $\overrightarrow{\mathrm{DG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}$

Calculer les produits scalaires suivants.

1. $\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{FE}}\right)\cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}$

2. $\left(-\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{DH}}\right)\cdot \left(\frac{6}{5}\overrightarrow{\mathrm{CE}}\right)$

3. $\overrightarrow{\mathrm{GE}}\cdot (-3\overrightarrow{\mathrm{AB}})$

4. $(2\overrightarrow{\mathrm{AB}})\cdot (-5\overrightarrow{\mathrm{GH}})$

Soient $\text{ABCD}$ et $\text{BCEF}$ deux carrés de côté 2.


Parmi les produits scalaires suivants, lesquels sont nuls ?

1. $\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{EF}}$

2. $\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}$

3. $\overrightarrow{\mathrm{EF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{FE}}$

4. $\overrightarrow{\mathrm{BF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}}$

5. $\overrightarrow{\mathrm{CE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{EF}}$

6. $\overrightarrow{\mathrm{BE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}$

On se place dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ et on considère $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right),\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{w}\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime \prime }\\ y^{\prime \prime }\end{array}\right).$

En utilisant la formule $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime },$ redémontrer les égalités suivantes.

1. $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}$ et $(-\overrightarrow{u})\cdot \overrightarrow{v}=-\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}.$

2. $(k\overrightarrow{u})\cdot \overrightarrow{v}=k\times \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v},$ où $k$ désigne un réel.

3. $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}$

Soient $\mathrm{A},\mathrm{B}$ et $\text{C}$ trois points du plan muni d'un repère orthonormé.
Dans chaque cas, calculer $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}},$ puis déterminer une mesure en degré, arrondie à $10^{-2}$ près, de l'angle $\widehat{\mathrm{BAC}}.$

1. $\mathrm{A}(-3;-1),\mathrm{B}(1;2)$ et $\mathrm{C}(2;1).$

2. $\mathrm{A}(2;2),\mathrm{B}(6;-1)$ et $\mathrm{C}(5;3).$

Soient $\mathrm{A},\mathrm{B}$ et $\text{C}$ trois points du plan muni d'un repère orthonormé.
Dans chaque cas, calculer $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}},$ puis déterminer une mesure exacte en radian de l'angle $\widehat{\mathrm{BAC}}.$

1. $\mathrm{A}(3;2),\mathrm{B}(8;1)$ et $\mathrm{C}(6;4).$

Insérer une formule mathématique

2. $\mathrm{A}(3;2),\mathrm{B}(5;2)$ et $\mathrm{C}(1;2+2\sqrt{3}).$

Insérer une formule mathématique

3. $\mathrm{A}(1;1),\mathrm{B}(2\sqrt{3}+1;3)$ et $\mathrm{C}(6;5\sqrt{3}+1).$

Insérer une formule mathématique

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}n\\ 2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}4-n\\ n\end{array}\right),$ où $n$ désigne un entier naturel.

1. Démontrer que $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-n^2+6n.$

2. a. À l'aide d'une calculatrice, dresser le tableau de valeurs de $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ pour $n$ variant de 0 à 10 avec un pas de 1.

b. Conjecturer alors la valeur de $n$ pour laquelle $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=9.$

c. Démontrer la conjecture.

Le travail $\text{W},$ en joule, d'une force $\overrightarrow{\mathrm{F}},$ en newton, lors d'un déplacement rectiligne $\text{AB},$ en mètre, est défini par $\mathrm{W}=\overrightarrow{\mathrm{F}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}.$

Vincent et sa fille Anissa partent en balade à vélo équipés d'une remorque pour enfants. Vincent doit monter une côte de 2 km, faisant une pente de $\frac{\pi }{12}\mathrm{rad}$ avec l'horizontale.

La traction du vélo sur la remorque est représentée par une force $\overrightarrow{\mathrm{F}}$ d'intensité 700 newtons. Cette force forme un angle de $\frac{5\pi }{36}\mathrm{rad}$ avec l'horizontale.

Calculer le travail de cette force sur ce parcours.

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}x\\ 4\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}x\\ -1\end{array}\right),$ où $x$ désigne un entier relatif.

1. a. Reproduire dans un tableur le tableau suivant. Les colonnes $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ représentent les coordonnées de $\overrightarrow{u}$ et les colonnes $\mathbf{C}$ et $\mathbf{D}$ représentent les coordonnées de $\overrightarrow{v}.$

b. Compléter les cellules $B2$ et $D2$. Quelles formules doit‑on saisir dans les cellules $C2$ et $E2$ ?

c. En étirant les formules des colonnes $\mathbf{A}$ à $\mathbf{E}$, conjecturer les valeurs de $x$ pour lesquelles $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0.$

2. Démontrer cette conjecture.

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right).$

1. Reproduire dans un tableur le tableau suivant.


2. On choisit ici $y=2,x^{\prime }=3$ et $y^{\prime }=-3.$

a. Compléter les cellules $D2$, $E2$ et $F2$.

b. Quelle formule doit‑on saisir dans la cellule $B2$ afin d'y faire apparaître la valeur de $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ ?

c. En étirant la formule de la cellule $B2$, conjecturer la valeur de $x$ pour laquelle $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0.$

d. Démontrer cette conjecture.

3. On choisit maintenant $y=-3,x^{\prime }=-4$ et $y^{\prime }=-8.$

a. Modifier le tableur afin de conjecturer la valeur de $x$ pour laquelle $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0.$

b. Démontrer cette conjecture.

Donner la norme de deux vecteurs non colinéaires, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et une mesure de l'angle $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ de façon à ce que $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=36\sqrt{3}.$

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right).$

Déterminer des coordonnées possibles de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non colinéaires tels que $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-50.$