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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 7
Entraînement 1

Produit scalaire de deux vecteurs

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Différenciation

Parcours 1 : exercices  ;  ;  ;  ;  ; et

Parcours 2 :
exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ; et

Parcours 3 : exercices  ;  ;  ;  ;  ; et

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Consigne
Pour les à

Calculer \vec{u} \cdot \vec{v}, où \theta désigne une mesure de l'angle entre les vecteurs \vec{u} et \vec{v}.
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Exercice 65
[Calculer.]

1. \|\vec{u}\|=8,\|\vec{v}\|=3 et \theta=60^{\circ}.

2. \|\vec{u}\|=2,\|\vec{v}\|=1 et \theta=135^{\circ}.

3. \|\vec{u}\|=\frac{2}{5},\|\vec{v}\|=\frac{5}{6} et \theta=0^{\circ}.
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Exercice 66
[Calculer.]

1. \|\vec{u}\|=3,\|\vec{v}\|=2 et \theta=\frac{7 \pi}{6}.

2. \|\vec{u}\|=5,\|\vec{v}\|=9 et \theta=\frac{5 \pi}{2}.

3. \|\vec{u}\|=\sqrt{3},\|\vec{v}\|=7 et \theta=-\frac{5 \pi}{6}.

4. \|\vec{u}\|=\frac{2}{9},\|\vec{v}\|=\frac{\sqrt{3}}{3} et \theta=\frac{4 \pi}{3}.
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Exercice 67
[Calculer.]

1. \|\vec{u}\|=3-\sqrt{5},\|\vec{v}\|=3+\sqrt{5} et \theta=\frac{\pi}{3}.

2. \|\vec{u}\|=\frac{2}{2+\sqrt{3}},\|\vec{v}\|=2-\sqrt{3} et \theta=-\frac{2 \pi}{3}.
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Exercice 68
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[Raisonner.]

Dans chaque cas, déterminer la valeur en degré, arrondie éventuellement à 0,01 près, de l'angle \theta entre \vec{u} et \vec{v}.

1. \|\vec{u}\|=6,\|\vec{v}\|=3 et \vec{u} \cdot \vec{v}=-4.

2. \|\vec{u}\|=2,\|\vec{v}\|=\sqrt{3} et \vec{u} \cdot \vec{v}=0.

3. \|\vec{u}\|=4,\|\vec{v}\|=3 et \vec{u} \cdot \vec{v}=2.
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Exercice 69
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[Raisonner.]

Dans chaque cas, déterminer une valeur exacte en radian de l'angle \theta entre les vecteurs \vec{u} et \vec{v}.

1. \|\vec{u}\|=8,\|\vec{v}\|=3 et \vec{u} \cdot \vec{v}=-12.

2. \|\vec{u}\|=1,\|\vec{v}\|=\sqrt{3} et \vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{3}{2}.

3. \|\vec{u}\|=5,\|\vec{v}\|=2 et \vec{u} \cdot \vec{v}=-5 \sqrt{2}.
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Consigne
Pour les à

Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points du plan.
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Exercice 70
[Calculer.]

Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} dans chaque cas.

1. \mathrm{AB}=4, \mathrm{AC}=6 et \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{5 \pi}{6}.

2. \mathrm{AB}=\frac{4}{3}, \mathrm{AC}=\frac{3}{2} et \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{3 \pi}{4}.
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Histoire des maths

Les premières apparitions du produit scalaire ont lieu en 1843 dans les écrits de Sir William Rowan Hamilton. C'est vers 1880 que la notation \cdot est utilisée par Josiah Willard Gibbs. Cet outil est né de problèmes physiques à résoudre.
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Exercice 71
[Calculer.]

Calculer \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} dans chaque cas.

1. \mathrm{AB}=6, \mathrm{CB}=5 et \widehat{\mathrm{ABC}}=\frac{2 \pi}{6}.

2. \mathrm{BA}=\frac{5}{3}, \mathrm{CB}=4 et \widehat{\mathrm{ABC}}=\frac{9 \pi}{4}.
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Exercice 72
[Calculer.]

1. \mathrm{AB}=9, \mathrm{AC}=2 et \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{3 \pi}{4}. Calculer \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

2. \mathrm{AC}=\sqrt{3}, \mathrm{BC}=5 et \widehat{\mathrm{ACB}}=\frac{\pi}{6}. Calculer \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}.
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Exercice 73
[Raisonner.]

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs colinéaires. On suppose que \|\vec{u}\|=3. Dans chaque cas, calculer \vec{u} \cdot \vec{v}.

1. \vec{v}=2 \vec{u}

2. \vec{v}=-\frac{3}{5} \vec{u}

3. \vec{u}=-5 \vec{v}

4. \vec{u}=\frac{2}{7} \vec{v}
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Consigne
Pour les à

Soient \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G} et \text{H} des points tels que \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{\mathrm{FG}}=\overrightarrow{\mathrm{GH}} et \mathrm{AB}=1.

figure - pour les exercices 74 à 75
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Exercice 74
[Calculer.]

Calculer les produits scalaires suivants.

1. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}

2. \overrightarrow{\mathrm{FD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}

3. \overrightarrow{\mathrm{HG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}

4. \overrightarrow{\mathrm{DG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}
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Exercice 75
[Raisonner.]

Calculer les produits scalaires suivants.

1. \left(\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{FE}}\right) \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}

2. \left(-\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{DH}}\right) \cdot\left(\frac{6}{5} \overrightarrow{\mathrm{CE}}\right)

3. \overrightarrow{\mathrm{GE}} \cdot(-3 \overrightarrow{\mathrm{AB}})

4. (2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}) \cdot(-5 \overrightarrow{\mathrm{GH}})
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Exercice 76
[Raisonner.]

Soient \text{ABCD} et \text{BCEF} deux carrés de côté 2.

figure - exercice 76
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Parmi les produits scalaires suivants, lesquels sont nuls ?

1. \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EF}}

2. \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}

3. \overrightarrow{\mathrm{EF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FE}}

4. \overrightarrow{\mathrm{BF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}}

5. \overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EF}}

6. \overrightarrow{\mathrm{BE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}
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Exercice 77
Démo
[Chercher.]

On se place dans un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}) et on considère \vec{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right), \vec{v}\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right) et \vec{w}\left(\begin{array}{l} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{array}\right).

En utilisant la formule \vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}, redémontrer les égalités suivantes.

1. \vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u} et (-\vec{u}) \cdot \vec{v}=-\vec{u} \cdot \vec{v}.

2. (k \vec{u}) \cdot \vec{v}=k \times \vec{u} \cdot \vec{v},k désigne un réel.

3. (\vec{u}+\vec{v}) \cdot \vec{w}=\vec{u} \cdot \vec{w}+\vec{v} \cdot \vec{w}
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Exercice 78
[Raisonner.]

Soient \mathrm{A}, \mathrm{B} et \text{C} trois points du plan muni d'un repère orthonormé.
Dans chaque cas, calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}, puis déterminer une mesure en degré, arrondie à 10^{-2} près, de l'angle \widehat{\mathrm{BAC}}.

1. \mathrm{A}(-3 \: ;-1), \mathrm{B}(1 \: ; 2) et \mathrm{C}(2 \: ; 1).

2. \mathrm{A}(2 \: ; 2), \mathrm{B}(6 \: ;-1) et \mathrm{C}(5 \: ; 3).
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Exercice 79
[Raisonner.]

Soient \mathrm{A}, \mathrm{B} et \text{C} trois points du plan muni d'un repère orthonormé.
Dans chaque cas, calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}, puis déterminer une mesure exacte en radian de l'angle \widehat{\mathrm{BAC}}.

1. \mathrm{A}(3 \: ; 2), \mathrm{B}(8 \: ; 1) et \mathrm{C}(6 \: ; 4).

2. \mathrm{A}(3 \: ; 2), \mathrm{B}(5 \: ; 2) et \mathrm{C}(1 \: ; 2+2 \sqrt{3}).

3. \mathrm{A}(1 \: ; 1), \mathrm{B}(2 \sqrt{3}+1 \: ; 3) et \mathrm{C}(6 \: ; 5 \sqrt{3}+1).
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Exercice 80
Placeholder pour calculatricecalculatrice
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[Modéliser.]

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} 4-n \\ n \end{array}\right),n désigne un entier naturel.

1. Démontrer que \vec{u} \cdot \vec{v}=-n^{2}+6 n.

2. a. À l'aide d'une calculatrice, dresser le tableau de valeurs de \vec{u} \cdot \vec{v} pour n variant de 0 à 10 avec un pas de 1.

b. Conjecturer alors la valeur de n pour laquelle \vec{u} \cdot \vec{v}=9.

c. Démontrer la conjecture.
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Exercice 81
[Modéliser.]

Le travail \text{W}, en joule, d'une force \overrightarrow{\mathrm{F}}, en newton, lors d'un déplacement rectiligne \text{AB}, en mètre, est défini par \mathrm{W}=\overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

Vincent et sa fille Anissa partent en balade à vélo équipés d'une remorque pour enfants. Vincent doit monter une côte de 2 km, faisant une pente de \frac{\pi}{12} \: \mathrm{rad} avec l'horizontale.

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La traction du vélo sur la remorque est représentée par une force \overrightarrow{\mathrm{F}} d'intensité 700 newtons. Cette force forme un angle de \frac{5 \pi}{36} \: \mathrm{rad} avec l'horizontale.

Calculer le travail de cette force sur ce parcours.
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Exercice 82
Tableur
[Chercher.]

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{l} x \\ 4 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} x \\ -1 \end{array}\right),x désigne un entier relatif.

1. a. Reproduire dans un tableur le tableau suivant. Les colonnes \bf{A} et \bf{B} représentent les coordonnées de \vec{u} et les colonnes \bf{C} et \bf{D} représentent les coordonnées de \vec{v}.

Placeholder pour tableur - exercice 82tableur - exercice 82
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b. Compléter les cellules \bf{B2} et \bf{D2}. Quelles formules doit‑on saisir dans les cellules \bf{C2} et \bf{E2} ?

c. En étirant les formules des colonnes \bf{A} à \bf{E}, conjecturer les valeurs de x pour lesquelles \vec{u} \cdot \vec{v}=0.

2. Démontrer cette conjecture.
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Exercice 83
Tableur
[Chercher.]

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right).

1. Reproduire dans un tableur le tableau suivant.

Placeholder pour tableur - exercice 83tableur - exercice 83
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2. On choisit ici y=2, x^{\prime}=3 et y^{\prime}=-3.

a. Compléter les cellules \bf{D2}, \bf{E2} et \bf{F2}.

b. Quelle formule doit‑on saisir dans la cellule \bf{B2} afin d'y faire apparaître la valeur de \vec{u} \cdot \vec{v} ?

c. En étirant la formule de la cellule \bf{B2}, conjecturer la valeur de x pour laquelle \vec{u} \cdot \vec{v}=0.

d. Démontrer cette conjecture.

3. On choisit maintenant y=-3, x^{\prime}=-4 et y^{\prime}=-8.

a. Modifier le tableur afin de conjecturer la valeur de x pour laquelle \vec{u} \cdot \vec{v}=0.

b. Démontrer cette conjecture.
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Exercice 84
Exercice inversé

Donner la norme de deux vecteurs non colinéaires, \vec{u} et \vec{v} et une mesure de l'angle (\vec{u}\:, \vec{v}) de façon à ce que \vec{u} \cdot \vec{v}=36 \sqrt{3}.
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Exercice 85
Exercice inversé

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right).

Déterminer des coordonnées possibles de \vec{u} et \vec{v} non colinéaires tels que \vec{u} \cdot \vec{v}=-50.
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