Sommaire

Mes pages

Ouverture

p. 1-9

Partie 1 : Analyse

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 1
Suites

Ch. 2
Fonctions

Ch. 3
Dérivation

Partie 2 : Statistiques et probabilités

Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5
Variables aléatoires

Automatismes

Partie 3 : Géométrie

Ch. 6
Trigonométrie

Ch. 7
Produit scalaire

Ch. 8
Nombres complexes

Partie 4 : Analyse

Ch. 9
Compléments sur la dérivation

Ch. 10
Primitives

Révisions Genially

Page précédente

Chapitre 7

Cours 1

Produit scalaire de deux vecteurs

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

A
Définition et premières propriétés

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Définition

Lorsque $u$ et $v$ sont deux vecteurs non nuls et en notant $θ$ une mesure de l'angle formé par $u$ et $v,$ on appelle produit scalaire de $u$ et $v$ , et on note $u \cdot v$ , le nombre réel défini par :

$u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (θ) .$

Lorsque $u$ ou $v$ est nul, on pose $u \cdot v = 0.$

Remarque

u \cdot v

qui se dit «

u

scalaire

v

», est un nombre réel positif ou négatif.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exemple

Soient

u

v

deux vecteurs tels que

∥ u ∥ = 1, ∥ v ∥ = 4

θ = \frac{π}{3} .

Alors

u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (θ) = 1 \times 4 \times cos (\frac{π}{3}) = 1 \times 4 \times \frac{1}{2} = 2.

Remarque

θ

est une mesure d'angle géométrique ou orienté puisque

cos (θ) = cos (- θ) .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Propriété

Soient

A, B

C

trois points distincts. Alors :

AB \cdot AC = AB \times AC \times cos (BAC) .

Remarque

Cette propriété ne fonctionne qu'en choisissant des représentants des vecteurs de même origine.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Démonstration

On utilise la définition avec

u = AB

v = AC .

Donc

∥ u ∥ = AB, ∥ v ∥ = AC

θ = BAC .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Propriétés

u

v

sont non nuls et colinéaires :

1. de même sens, alors

u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥

;

2. de sens contraire, alors

u \cdot v = - ∥ u ∥ \times ∥ v ∥.

Remarque

En particulier,

u

et lui‑même sont colinéaires de même sens donc

u \cdot u = ∥ u ∥^{2}

.
Ce nombre est appelé carré scalaire de

u,

noté

u^{2} .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Démonstration

u

v

étant colinéaires de même sens, on a

cos (θ) = cos (0) = 1.

D'où

u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥.

u

v

étant colinéaires de sens contraires, on a

cos (θ) = cos (π) = - 1.

D'où

u \cdot v = - ∥ u ∥ \times ∥ v ∥.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exemple

Soient

A, B

C

trois points alignés tels que

AB = 2

AC = - 4 AB .

On a

AC = 8.

AB

AC

étant colinéaires de sens contraire, on obtient :

AB \cdot AC = - AB \times AC = - 2 \times 8 = - 16.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Définition

1. Deux vecteurs non nuls

u

v

sont dits orthogonaux lorsqu'une mesure de l'angle entre

u

v

est

\pm \frac{π}{2} rad .

2. Le vecteur nul est dit orthogonal à tout autre vecteur.

Remarque

Soient

A, B, C

D

quatre points du plan distincts deux à deux.

AB

CD

sont orthogonaux si, et seulement si, les droites

(AB)

(CD)

sont perpendiculaires.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Propriété

Deux vecteurs

u

v

sont orthogonaux si, et seulement si,

u \cdot v = 0.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Démonstration

Voir

Activité B

p. 190.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Application et méthode - 1

Appliquer la définition géométrique du produit scalaire

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Énoncé

Soit

ABC

un triangle isocèle rectangle en

B

tel que

AB = 3.

Calculer

AB \cdot AC

BA \cdot BC .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

On repère les informations du texte permettant d'obtenir $AB, AC$ et une mesure de l'angle $BAC .$

On applique ensuite la formule :

$AB \cdot AC = AB \times AC \times cos (BAC) .$

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Solution

ABC

est rectangle isocèle en

B .

On a donc

BAC = \frac{π}{4} .

D'après le théorème de Pythagore, on a

AC = 32 .

Donc

AB \cdot AC = AB \times AC \times cos (BAC) = 3 \times 32 \times cos (\frac{π}{4}) = 9.

Par ailleurs, le triangle est rectangle en

B

. Les vecteurs

BA

BC

sont donc orthogonaux.

D'où

BA \cdot BC = 0.

Remarque

Cet exercice peut aussi être résolu avec la projection de vecteurs étudiée plus tard dans le chapitre.

Pour s'entraîner : exercices

27 et 28

p. 202

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

B
Propriétés

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Propriétés

Soient

u, v

w

trois vecteurs du plan et

k

un nombre réel. Alors :

1.

u \cdot v = v \cdot u

(symétrie du produit scalaire).

2.

(- u) \cdot v = - u \cdot v

(- u) \cdot (- v) = u \cdot v .

(k u) \cdot v = k \times (u \cdot v)

(u + v) \cdot w = u \cdot w + v \cdot w

(linéarité à gauche du produit scalaire).

Remarque

Le produit scalaire étant symétrique (1.), la linéarité à gauche (3.) donne également la linéarité à droite. On parle de bilinéarité du produit scalaire.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Démonstration

Voir

Activité A

p. 190.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exemple

Soient

u

v

deux vecteurs tels que

u \cdot v = - 6.

Alors

(- u) \cdot v = 6

(- 5 u) \cdot v = - 5 \times (u \cdot v) = - 5 \times (- 6) = 30.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Application et méthode - 2

Utiliser les propriétés du produit scalaire

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Énoncé

Soit

ABC

un triangle équilatéral de côté 2.

Calculer

AB \cdot BC .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Solution

On a :

AB \cdot BC = - BA \cdot BC = - BA \times BC \times cos (ABC) = - 2 \times 2 \times cos (\frac{π}{3}) = - 4 \times \frac{1}{2} = - 2 .

Pour s'entraîner : exercices

30 et 40

p. 202

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

Pour appliquer la formule trigonométrique du produit scalaire, il faut que les représentants des vecteurs aient la même origine. On indique alors que $AB = - BA .$
On peut ensuite appliquer la formule du produit scalaire.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

C
Produit scalaire et repère orthonormé

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

On considère le plan muni d'un repère orthonormé

(O; i, j) .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Propriété

Pour tous vecteurs

u (x y)

v (x^{'} y^{'})

du plan, on a :

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} .

Remarque

La propriété est fausse dans un repère non orthonormé.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Démonstration

Voir

exercice 106

p. 208.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exemple

u (- 2 3)

v (05),

alors

u \cdot v = (- 2) \times 0 + 3 \times 5 = 15.

Remarque

On retrouve donc

∥ u ∥^{2} = x^{2} + y^{2},

soit

∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Application et méthode - 3

Déterminer la mesure d'un angle

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Énoncé

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère deux vecteurs

u (- 3 33)

v (02) .

Calculer

u \cdot v,

puis en déduire une mesure en radian de l'angle formé par ces deux vecteurs.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Solution

Puisqu'on travaille dans un repère orthonormé, le produit scalaire peut se calculer à l'aide des coordonnées. On a

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} = - 3 \times 0 + 33 \times 2 = 63 .

Par ailleurs, la définition géométrique donne

u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (u, v) .

∥ u ∥ = (- 3)^{2} + (33)^{2} = 9 + 27 = 36 = 6

et, de même,

∥ v ∥ = 0^{2} + 2^{2} = 4 = 2.

On a alors

63 = 6 \times 2 \times cos (u, v),

d'où

cos (u, v) = \frac{3}{2} .

Ainsi,

(u, v) = \pm \frac{π}{6} .

Pour s'entraîner : exercices

42 et 43

p. 202.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

On calcule le produit scalaire à l'aide de $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} .$

On calcule les normes des vecteurs avec $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} .$

On remplace alors les valeurs obtenues dans l'égalité $u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (u, v) .$

On en déduit la valeur exacte du cosinus de l'angle $θ$ formée par les vecteurs.

On calcule une valeur exacte, si possible, ou arrondie avec une calculatrice, de $θ .$

Page suivante

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

j'ai une idée !

Oups, une coquille

Ch. 1Suites

Ch. 2Fonctions

Ch. 3Dérivation

Ch. 4Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5Variables aléatoires

Automatismes

Ch. 6Trigonométrie

Ch. 7Produit scalaire

Ch. 8Nombres complexes

Ch. 9Compléments sur la dérivation

Ch. 10Primitives

Révisions Genially

Produit scalaire de deux vecteurs

A Définition et premières propriétés

Démonstration

Démonstration

Démonstration

Application et méthode - 1 Appliquer la définition géométrique du produit scalaire

Méthode

Solution

B Propriétés

Démonstration

Utiliser les propriétés du produit scalaire

Méthode

C Produit scalaire et repère orthonormé

Démonstration

Déterminer la mesure d'un angle

Méthode

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Ch. 1
Suites

Ch. 2
Fonctions

Ch. 3
Dérivation

Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5
Variables aléatoires

Ch. 6
Trigonométrie

Ch. 7
Produit scalaire

Ch. 8
Nombres complexes

Ch. 9
Compléments sur la dérivation

Ch. 10
Primitives

A
Définition et premières propriétés

Application et méthode - 1

Appliquer la définition géométrique du produit scalaire

B
Propriétés

C
Produit scalaire et repère orthonormé