Lorsque \vec{u} et \vec{v} sont deux vecteurs non nuls et en notant \theta une mesure de l'angle formé par \vec{u} et\vec{v}, on appelle produit scalaire de \bm{\vec{u}} et \bm{\vec{v}}, et on note \vec{u} \cdot \vec{v}, le nombre réel défini par :

\vec{u} \cdot \vec{v}=\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\| \times \cos (\theta).

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Lorsque \vec{u} ou \vec{v} est nul, on pose \vec{u} \cdot \vec{v}=0.

Remarque

\vec{u} \cdot \vec{v} qui se dit « \vec{u} scalaire \vec{v} », est un nombre réel positif ou négatif.

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Exemple

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs tels que \|\vec{u}\|=1,\|\vec{v}\|=4 et \theta=\frac{\pi}{3}.

Alors \vec{u} \cdot \vec{v}=\|\vec{u}\| \times\|v\| \times \cos (\theta)=1 \times 4 \times \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)=1 \times 4 \times \frac{1}{2}=2.

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Remarque

\theta est une mesure d'angle géométrique ou orienté puisque \cos (\theta)=\cos (-\theta).

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Propriété

Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points distincts. Alors :

\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\text{AB} \times \text{AC} \times \cos (\widehat{\mathrm{BAC}}).

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Remarque

Cette propriété ne fonctionne qu'en choisissant des représentants des vecteurs de même origine.

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Démonstration

On utilise la définition avec \vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} et \vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}. Donc \|\vec{u}\|=\mathrm{AB},\|\vec{v}\|=\mathrm{AC} et \theta=\widehat{\mathrm{BAC}}.

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Propriétés

Si \vec{u} et \vec{v} sont non nuls et colinéaires :

1. de même sens, alors \vec{u} \cdot \vec{v}=\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\| ;

2. de sens contraire, alors \vec{u} \cdot \vec{v}=-\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\|.

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Remarque

En particulier, \vec{u} et lui‑même sont colinéaires de même sens donc \vec{u} \cdot \vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}.
Ce nombre est appelé carré scalaire de \vec{u}, noté \vec{u}^{2}.

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Démonstration

1. \vec{u} et \vec{v} étant colinéaires de même sens, on a \cos (\theta)=\cos (0)=1.
D'où \vec{u} \cdot \vec{v}=\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\|.

2. \vec{u} et \vec{v} étant colinéaires de sens contraires, on a \cos (\theta)=\cos (\pi)=-1.
D'où \vec{u} \cdot \vec{v}=-\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\| .

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Exemple

Soient \mathrm{A}, \mathrm{B} et \mathrm{C} trois points alignés tels que \mathrm{AB}=2 et \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-4 \overrightarrow{\mathrm{AB}}. On a \mathrm{AC}=8.
\overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} étant colinéaires de sens contraire, on obtient :

\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\mathrm{AB} \times \mathrm{AC}=-2 \times 8=-16.

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Définition

1. Deux vecteurs non nuls \vec{u} et \vec{v} sont dits orthogonaux lorsqu'une mesure de l'angle entre \vec{u} et \vec{v} est \pm \frac{\pi}{2} \: \text{rad}.

2. Le vecteur nul est dit orthogonal à tout autre vecteur.

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Remarque

Soient \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} quatre points du plan distincts deux à deux. \vec{\text{AB}} et \vec{\text{CD}} sont orthogonaux si, et seulement si, les droites \text {(AB)} et \text {(CD)} sont perpendiculaires.

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Propriété

Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux si, et seulement si, \vec{u} \cdot \vec{v}=0.

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Démonstration

Voir

Activité B

p. 190.

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Application et méthode - 1

Appliquer la définition géométrique du produit scalaire

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Énoncé

Soit \text{ABC} un triangle isocèle rectangle en \text{B} tel que \mathrm{AB}=3.

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Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.

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Méthode

On repère les informations du texte permettant d'obtenir \text{AB}, \text{AC} et une mesure de l'angle \widehat{\mathrm{BAC}}.

On applique ensuite la formule :

\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB} \times \mathrm{AC} \times \cos (\widehat{\mathrm{BAC}}).

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Solution

\mathrm{ABC} est rectangle isocèle en \mathrm{B} . On a donc \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{\pi}{4}.

D'après le théorème de Pythagore, on a \mathrm{AC}=3 \sqrt{2}.

Donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB} \times \mathrm{AC} \times \cos (\widehat{\mathrm{BAC}})=3 \times 3 \sqrt{2} \times \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=9.

Par ailleurs, le triangle est rectangle en \mathrm{B}. Les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{BA}} et \overrightarrow{\mathrm{BC}} sont donc orthogonaux.

D'où \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0.

Remarque

Cet exercice peut aussi être résolu avec la projection de vecteurs étudiée plus tard dans le chapitre.

Pour s'entraîner : exercices

27 et 28

p. 202

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B
Propriétés

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Propriétés

Soient \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} trois vecteurs du plan et k un nombre réel. Alors :

1. \vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u} (symétrie du produit scalaire).

2. (-\vec{u}) \cdot \vec{v}=-\vec{u} \cdot \vec{v} et (-\vec{u}) \cdot(-\vec{v})=\vec{u} \cdot \vec{v}.

3. (k \vec{u}) \cdot \vec{v}=k \times(\vec{u} \cdot \vec{v}) et (\vec{u}+\vec{v}) \cdot \vec{w}=\vec{u} \cdot \vec{w}+\vec{v} \cdot \vec{w} (linéarité à gauche du produit scalaire).

Remarque

Le produit scalaire étant symétrique (1.), la linéarité à gauche (3.) donne également la linéarité à droite. On parle de bilinéarité du produit scalaire.

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Démonstration

Voir

Activité A

p. 190.

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Exemple

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs tels que \vec{u} \cdot \vec{v}=-6.
Alors (-\vec{u}) \cdot \vec{v}=6 et (-5 \vec{u}) \cdot \vec{v}=-5 \times(\vec{u} \cdot \vec{v})=-5 \times(-6)=30.

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Application et méthode - 2

Utiliser les propriétés du produit scalaire

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Énoncé

Soit \text{ABC} un triangle équilatéral de côté 2.

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Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.

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Solution

On a :
\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} &=-\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=-\mathrm{BA} \times \mathrm{BC} \times \cos (\widehat{\mathrm{ABC}}) \\ &=-2 \times 2 \times \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \\ &=-4 \times \frac{1}{2}=-2 \end{aligned}.

Pour s'entraîner : exercices

30 et 40

p. 202

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Méthode

Pour appliquer la formule trigonométrique du produit scalaire, il faut que les représentants des vecteurs aient la même origine. On indique alors que {\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-\overrightarrow{\mathrm{BA}}.}
On peut ensuite appliquer la formule du produit scalaire.

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C
Produit scalaire et repère orthonormé

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On considère le plan muni d'un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i} \:, \vec{j}).

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Propriété

Pour tous vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right) du plan, on a :

\vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}.

Remarque

La propriété est fausse dans un repère non orthonormé.

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Démonstration

Voir

exercice 106

p. 208.

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Exemple

Si \vec{u}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} 0 \\ 5 \end{array}\right), alors \vec{u} \cdot \vec{v}=(-2) \times 0+3 \times 5=15.

Remarque

On retrouve donc \|\vec{u}\|^{2}=x^{2}+y^{2}, soit \|\vec{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

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Application et méthode - 3

Déterminer la mesure d'un angle

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Énoncé

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère deux vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{c} -3 \\ 3 \sqrt{3} \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} 0 \\ 2 \end{array}\right).

Calculer \vec{u} \cdot \vec{v}, puis en déduire une mesure en radian de l'angle formé par ces deux vecteurs.

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Solution

Puisqu'on travaille dans un repère orthonormé, le produit scalaire peut se calculer à l'aide des coordonnées. On a \vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}=-3 \times 0+3 \sqrt{3} \times 2=6 \sqrt{3}.

Par ailleurs, la définition géométrique donne \vec{u} \cdot \vec{v}=\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\| \times \cos (\vec{u}, \vec{v}).

Or \|\vec{u}\|=\sqrt{(-3)^{2}+(3 \sqrt{3})^{2}}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6 et, de même, \|\vec{v}\|=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=\sqrt{4}=2.

On a alors 6 \sqrt{3}=6 \times 2 \times \cos (\vec{u}, \vec{v}), d'où \cos (\vec{u}, \vec{v})=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Ainsi, (\vec{u}, \vec{v})=\pm \frac{\pi}{6}.

Pour s'entraîner : exercices

42 et 43

p. 202.

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Méthode

On calcule le produit scalaire à l'aide de \vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}.

On calcule les normes des vecteurs avec \|\vec{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

On remplace alors les valeurs obtenues dans l'égalité \vec{u} \cdot \vec{v}=\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\| \times \cos (\vec{u}, \vec{v}).

On en déduit la valeur exacte du cosinus de l'angle \theta formée par les vecteurs.

On calcule une valeur exacte, si possible, ou arrondie avec une calculatrice, de \theta.

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Produit scalaire de deux vecteurs

A Définition et premières propriétés

Démonstration

Démonstration

Démonstration

Application et méthode - 1 Appliquer la définition géométrique du produit scalaire

Méthode

Solution

B Propriétés

Démonstration

Utiliser les propriétés du produit scalaire

Méthode

C Produit scalaire et repère orthonormé

Démonstration

Déterminer la mesure d'un angle

Méthode

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A
Définition et premières propriétés

Application et méthode - 1

Appliquer la définition géométrique du produit scalaire

B
Propriétés

C
Produit scalaire et repère orthonormé