Produit scalaire

Découvrir une définition géométrique du produit scalaire de deux vecteurs non nuls et étudier quelques‑unes de ses propriétés.

Soit $\text{ABC}$ un triangle rectangle en $\text{A}$. On note respectivement $\theta =\widehat{\mathrm{ABC}}$ et $\alpha =\widehat{\mathrm{BCA}}$.



1. Démontrer que $\mathrm{BA}=\mathrm{BC}\times \cos (\theta )$, puis que ${\mathrm{BA}}^2=\mathrm{BA}\times \mathrm{BC}\times \cos (\theta )$.

L'expression $\mathrm{BA}\times \mathrm{BC}\times \cos (\theta )$ est appelée produit scalaire des deux vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{BA}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{BC}}$, et est notée $\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$. Cette définition reste valable dans un triangle quelconque.

2. On a de même $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB}\times \mathrm{AC}\times \cos (\widehat{\mathrm{BAC}})$. Que vaut cette expression ?

3. Donner, sans la calculer, une expression du produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$.

On considère à présent un triangle non aplati ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$ et on note ${\theta }^{\prime }$ une mesure de l'angle formé par les vecteurs $\overrightarrow{{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }}$ et $\overrightarrow{{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }}$. On s'intéresse à quelques propriétés du produit scalaire.



1. Calculer $\overrightarrow{{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }}$ et $\overrightarrow{{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }}$. Que semble‑t‑on pouvoir conjecturer ?

2. Démontrer que $\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }}=-\left(\overrightarrow{{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }}\right)$ et $\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}=\overrightarrow{{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }}$.

3. Que vaut $\overrightarrow{{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }}$ ? On appelle ce nombre le carré scalaire de $\overrightarrow{{\mathbf{B}}^{\prime }{\mathbf{A}}^{\prime }}$ et on le note ${\overrightarrow{{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }}}^2$.

On considère deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ et $\mathbf{\theta }$ une mesure de l'angle formé par $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

1. Donner une expression de $\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}$, en fonction de $\mathbf{\theta }$, $\Vert \overrightarrow{\mathbf{u}}\Vert$ et $\Vert \overrightarrow{\mathbf{v}}\Vert$.

2. Exprimer $\overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}$, $(-\overrightarrow{\mathbf{u}})\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}$ et $(-\overrightarrow{\mathbf{u}})\cdot (-\overrightarrow{\mathbf{v}})$ en fonction de $\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Établir un critère permettant de caractériser l'orthogonalité de deux vecteurs.

On considère deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et on note $\theta$ une mesure de l'angle entre $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.
Lorsque $\theta$ est égal à $\pm \frac{\pi }{2}$ à un multiple de $2\pi$ près, on dit que ces vecteurs sont orthogonaux.

1. a. On suppose dans cette question que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux. Calculer $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$.

b. On suppose ici que $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

2. Application :
On considère trois points non alignés $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$, puis le projeté orthogonal $\text{H}$ de $\text{C}$ sur la droite $(\mathrm{AB})$.

En utilisant la relation de Chasles, démontrer que $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

Compléter :

• « $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ sont orthogonaux si, et seulement si,...
  
  . »
• « Si $\mathbf{H}$ est le projeté orthogonal de $\mathbf{C}$ sur $(\mathbf{AB})$, alors $\overrightarrow{\mathbf{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{AC}}=$...
  
  . »

Démontrer et utiliser le théorème d'Al‑Kashi.

Soit $\text{ABC}$ un triangle quelconque non aplati.
On note $a=\mathrm{BC},b=\mathrm{AC}$ et $c=\mathrm{AB},$ puis $\hat{\text{A}}=\widehat{\text{BAC}},\hat{\text{B}}=\widehat{\text{ABC}}$ et $\hat{\text{C}}=\widehat{\text{ACB}}.$


1. a. En utilisant la définition du produit scalaire, démontrer que $\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=a^2.$

b. En déduire la relation $a^2=b^2+c^2+2\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.$

c. Démontrer la relation $a^2=b^2+c^2-2bc\cos (\hat{\text{A}}).$
Cette relation est appelée formule du théorème d'Al‑Kashi.

2. Lorsque le triangle $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{A},$ quel théorème bien connu retrouve‑t‑on ? Justifier la réponse.

3. On suppose ici que $\text{ABC}$ est un triangle rectangle isocèle en $\text{B}.$
a. Démontrer que la relation de la question 1. c. permet d'obtenir $b^2=ab\sqrt{2}.$

b. En déduire une expression de $b$ en fonction de $a.$

4. Dans cette question, on utilisera l'égalité $a^2=b^2+c^2-2bc\cos (\hat{\text{A}})$
a. On suppose ici que $\text{ABC}$ est un triangle tel que $a=7\text{cm},b=5\text{cm}$ et $c=3\text{cm}.$
Déterminer la valeur de l'angle $\widehat{\mathrm{BAC}}$ en degré.

b. On suppose ici que $\text{ABC}$ est un triangle tel que $b=2\text{cm},c=5\text{cm}$ et $\widehat{\text{BAC}}=\frac{\pi }{4}\text{rad}.$
Déterminer la valeur exacte de $\text{BC}.$

Écrire les trois égalités du théorème d'Al‑Kashi dans un triangle $\mathbf{ABC}$ quelconque non aplati.

Démontrer l'égalité du parallélogramme.

On considère un parallélogramme $\text{ABCD}.$


1. En utilisant la relation de Chasles, démontrer que ${\mathrm{AC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$

2. En introduisant le point $\text{A}$ à l'aide de la relation de Chasles, déterminer une relation similaire pour ${\mathrm{BD}}^2.$

3. Justifier l'égalité suivante : $\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.$

Soit $\mathbf{ABCD}$ un parallélogramme.
Démontrer l'égalité ${\mathbf{AC}}^2+{\mathbf{BD}}^2={\mathbf{AB}}^2+{\mathbf{BC}}^2+{\mathbf{CD}}^2+{\mathbf{AD}}^2,$ c'est‑à‑dire que la somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses côtés.