1. \mathrm{A}(-7 \: ; 4), \mathrm{B}(-1 \: ; 6), \mathrm{C}(-10 \: ; 3) et \mathrm{D}(-8 \: ;-3).

2. \mathrm{A}(2 \: ; 4), \mathrm{B}(-1 \: ; 3), \mathrm{C}(2 \: ; 1) et \mathrm{D}(-11 \: ; 5).

3. \mathrm{A}(4 \: ;-1), \mathrm{B}(1 \: ; 4), \mathrm{C}(7 ;-6) et \mathrm{D}(14 \: ;-2).

1. \mathrm{A}\left(\frac{1}{2} \: ;-\frac{3}{2}\right), \mathrm{B}\left(\frac{2}{5} \: ; \frac{3}{5}\right), \mathrm{C}(1 \: ;-12) et \mathrm{D}\left(15 \: ;-\frac{34}{3}\right).

2. \mathrm{A}(2 \sqrt{2} \: ;-2 \sqrt{2}), \mathrm{B}(-2 \: ; 2), \mathrm{C}(\sqrt{3} \: ;-\sqrt{3}) et \mathrm{D}(3 \sqrt{3} \: ; \sqrt{3}).

3. \mathrm{A}(1-\sqrt{3} \: ; 2), \mathrm{B}(\sqrt{3} \: ; 1), \mathrm{C}(\sqrt{3} \: ;-5) et \mathrm{D}(3 \sqrt{3}+1 \: ; 6).

Soient \mathrm{A}(5 \: ;-2), \mathrm{B}(x \: ;-1), \mathrm{C}(-3 \: ; 4) et \mathrm{D}(7 \: ;-4) quatre points du plan muni d'un repère orthonormé.
Dans chaque cas, déterminer le réel x tel que les vecteurs donnés soient orthogonaux.

1. \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}}

2. \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}

3. \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{BD}}

4. \overrightarrow{\mathrm{BC}} et \overrightarrow{\mathrm{AD}}

Soit \text{ABCD} un carré de centre \text{S} tel que \mathrm{AB}=8. On note \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G} et \text{H} les milieux respectifs des segments [\mathrm{AB}],[\mathrm{BC}],[\mathrm{CD}] et [\mathrm{AD}].


Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

1. \overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}

Vrai

Faux

2. \overrightarrow{\mathrm{EH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FG}}=0

Vrai

Faux

3. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{SC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EB}}

Vrai

Faux

4. \overrightarrow{\mathrm{DS}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EB}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}

Vrai

Faux

5. \overrightarrow{\mathrm{GF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GE}}=\overrightarrow{\mathrm{SF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{SE}}

Vrai

Faux

6. \overrightarrow{\mathrm{BH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FD}}=\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FF}}

Vrai

Faux

Soit \text{ABCD} un rectangle tel que \mathrm{AD}=6 et \mathrm{AB}=2 \times \mathrm{AD}.

On définit les points \text{E} et \text{F} par les relations vectorielles suivantes : {\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{5}{3} \overrightarrow{\mathrm{AD}}} et {\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AC}}.}

Démontrer que les droites \text{(AF)} et \text{(EF)} sont perpendiculaires.

Soit \text{ABCD} un rectangle tel que \mathrm{AB}=6 et \mathrm{AD}=2.

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Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

Dans un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}) du plan, on considère un vecteur \vec{u} de norme 5 tel qu'une mesure de l'angle entre les vecteurs \vec{i} et \vec{u} soit \frac{\pi}{4}.

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Déterminer, en fonction de \vec{i}, la projection orthogonale de \vec{u} sur l'axe des abscisses.

Soit \text{ABCD} un trapèze rectangle.

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