Produit scalaire et orthogonalité

1. $\mathrm{A}(-7;4),\mathrm{B}(-1;6),\mathrm{C}(-10;3)$ et $\mathrm{D}(-8;-3).$

2. $\mathrm{A}(2;4),\mathrm{B}(-1;3),\mathrm{C}(2;1)$ et $\mathrm{D}(-11;5).$

3. $\mathrm{A}(4;-1),\mathrm{B}(1;4),\mathrm{C}(7;-6)$ et $\mathrm{D}(14;-2).$

1. $\mathrm{A}\left(\frac{1}{2};-\frac{3}{2}\right),\mathrm{B}\left(\frac{2}{5};\frac{3}{5}\right),\mathrm{C}(1;-12)$ et $\mathrm{D}\left(15;-\frac{34}{3}\right).$

2. $\mathrm{A}(2\sqrt{2};-2\sqrt{2}),\mathrm{B}(-2;2),\mathrm{C}(\sqrt{3};-\sqrt{3})$ et $\mathrm{D}(3\sqrt{3};\sqrt{3}).$

3. $\mathrm{A}(1-\sqrt{3};2),\mathrm{B}(\sqrt{3};1),\mathrm{C}(\sqrt{3};-5)$ et $\mathrm{D}(3\sqrt{3}+1;6).$

Soient $\mathrm{A}(5;-2),\mathrm{B}(x;-1),\mathrm{C}(-3;4)$ et $\mathrm{D}(7;-4)$ quatre points du plan muni d'un repère orthonormé.
Dans chaque cas, déterminer le réel $x$ tel que les vecteurs donnés soient orthogonaux.

1. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$

2. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

3. $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BD}}$

4. $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

Soit $\text{ABCD}$ un carré de centre $\text{S}$ tel que $\mathrm{AB}=8.$ On note $\mathrm{E},\mathrm{F},\mathrm{G}$ et $\text{H}$ les milieux respectifs des segments $[\mathrm{AB}],[\mathrm{BC}],[\mathrm{CD}]$ et $[\mathrm{AD}].$


Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

1. $\overrightarrow{\mathrm{AE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$

Vrai

Faux

2. $\overrightarrow{\mathrm{EH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{FG}}=0$

Vrai

Faux

3. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{SC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{EB}}$

Vrai

Faux

4. $\overrightarrow{\mathrm{DS}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{EB}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}$

Vrai

Faux

5. $\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GE}}=\overrightarrow{\mathrm{SF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{SE}}$

Vrai

Faux

6. $\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{FD}}=\overrightarrow{\mathrm{ES}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{FF}}$

Vrai

Faux

Soit $\text{ABCD}$ un rectangle tel que $\mathrm{AD}=6$ et $\mathrm{AB}=2\times \mathrm{AD}.$

On définit les points $\text{E}$ et $\text{F}$ par les relations vectorielles suivantes : $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{5}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AC}}.$

Démontrer que les droites $\text{(AF)}$ et $\text{(EF)}$ sont perpendiculaires.

Soit $\text{ABCD}$ un rectangle tel que $\mathrm{AB}=6$ et $\mathrm{AD}=2.$

Calculer $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.$

Insérer une formule mathématique

Dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ du plan, on considère un vecteur $\overrightarrow{u}$ de norme $5$ tel qu'une mesure de l'angle entre les vecteurs $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{u}$ soit $\frac{\pi }{4}.$

Déterminer, en fonction de $\overrightarrow{i},$ la projection orthogonale de $\overrightarrow{u}$ sur l'axe des abscisses.

Soit $\text{ABCD}$ un trapèze rectangle.

Déterminer tous les produits scalaires égaux à $4.$