chapitre 7
Cours 3
Applications du produit scalaire
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A
Théorème d'Al‑Kashi
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Soit \mathrm{ABC} un triangle. On note a=\mathrm{BC}, b=\mathrm{AC}, c=\mathrm{AB} et \widehat{\text{A}}=\widehat{\mathrm{BAC}} , \widehat{\text{B}}=\widehat{\mathrm{ABC}} et \widehat{\text{C}}=\widehat{\mathrm{ACB}}.
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ThéorèmeThéorème d'Al‑Kashi
On a les trois égalités suivantes.
1. a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos (\widehat{\mathrm{A}})
2. b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos (\widehat{\mathrm{B}})
3. c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos (\widehat{\mathrm{C}})
1. a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos (\widehat{\mathrm{A}})
2. b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos (\widehat{\mathrm{B}})
3. c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos (\widehat{\mathrm{C}})
Remarque
Le théorème d'Al‑Kashi permet de calculer des longueurs et des mesures d'angles dans un triangle en connaissant certaines informations.
Remarque
Lorsque le triangle est rectangle, on retrouve le théorème de Pythagore. Le théorème d'Al‑Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore.
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Voir p. 191.
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Application et méthode - 6
Exploiter la formule d'Al‑Kashi à partir des trois longueurs
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Énoncé
Soit \text{ABC} un triangle tel que \text{AB}= 6, \text{AC}= 4 et \text{BC}= 3.
Déterminer les valeurs arrondies au degré près des trois angles de ce triangle.
Déterminer les valeurs arrondies au degré près des trois angles de ce triangle.
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- Pour calculer l'angle \widehat{\text{A}} d'un triangle en connaissant les longueurs des trois côtés, on écrit l'égalité du théorème d'Al‑Kashi : a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos (\widehat{\text{A}}).
- On calcule la valeur de \cos (\widehat{\text{A}}).
- On détermine une valeur exacte ou arrondie de l'angle.
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Solution
On a a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos (\widehat{\text{A}}).
Donc \cos (\widehat{\text{A}})=\frac{43}{48}. D'où \widehat{\text{A}} \approx 26^{\circ}.
On obtient de même \widehat{\mathrm{B}} \approx 36^{\circ}.
La somme des angles d'un triangle est égale à 180^{\circ.}
Donc \widehat{\text{C}} \approx 180^{\circ}-26^{\circ}-36^{\circ}, soit \widehat{\text{C}} \approx 118^{\circ}.
Pour s'entraîner : exercices p. 203
Donc \cos (\widehat{\text{A}})=\frac{43}{48}. D'où \widehat{\text{A}} \approx 26^{\circ}.
On obtient de même \widehat{\mathrm{B}} \approx 36^{\circ}.
La somme des angles d'un triangle est égale à 180^{\circ.}
Donc \widehat{\text{C}} \approx 180^{\circ}-26^{\circ}-36^{\circ}, soit \widehat{\text{C}} \approx 118^{\circ}.
Pour s'entraîner : exercices p. 203
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B
Égalité du parallélogramme
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PropriétéÉgalité du parallélogramme
Soit \text{ABCD} un parallélogramme.
Alors, on a l'égalité suivante, appelée égalité du parallélogramme :
Alors, on a l'égalité suivante, appelée égalité du parallélogramme :
\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}.
Remarque
L'égalité du parallélogramme signifie que la somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses côtés.
Remarque
On parle aussi de l'identité du parallélogramme.
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Voir p. 191.
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Exemple
Soit \text{ABCD} un parallélogramme tel que \text{AB}= 5, \text{AD}= 2 et \text{AC}=6.
D'après l' égalité du parallélogramme, on a :
\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}, soit
\begin{aligned} \mathrm{BD}^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{AC}^{2} \\ &=5^{2}+2^{2}+5^{2}+2^{2}-6^{2}=22 . \end{aligned}
Donc \mathrm{BD}=\sqrt{22}.
D'après l' égalité du parallélogramme, on a :
\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}, soit
\begin{aligned} \mathrm{BD}^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{AC}^{2} \\ &=5^{2}+2^{2}+5^{2}+2^{2}-6^{2}=22 . \end{aligned}
Donc \mathrm{BD}=\sqrt{22}.
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