Applications du produit scalaire

Soit $\mathrm{ABC}$ un triangle. On note $a=\mathrm{BC},b=\mathrm{AC},c=\mathrm{AB}$ et $\hat{\text{A}}=\widehat{\mathrm{BAC}}$ , $\hat{\text{B}}=\widehat{\mathrm{ABC}}$ et $\hat{\text{C}}=\widehat{\mathrm{ACB}}.$

Voir

Activité C

p. 191.

On a $a^2=b^2+c^2-2bc\cos (\hat{\text{A}}).$

Donc $\cos (\hat{\text{A}})=\frac{43}{48}.$ D'où $\hat{\text{A}}\approx 26^{\circ }.$

On obtient de même $\hat{\mathrm{B}}\approx 36^{\circ }.$

La somme des angles d'un triangle est égale à $180^{\circ .}$

Donc $\hat{\text{C}}\approx 180^{\circ }-26^{\circ }-36^{\circ },$ soit $\hat{\text{C}}\approx 118^{\circ }.$

Pour s'entraîner : exercices

60 et 61

p. 203

Voir

Activité D

p. 191.

Soit $\text{ABCD}$ un parallélogramme tel que $\text{AB}=5,\text{AD}=2$ et $\text{AC}=6.$


D'après l'égalité du parallélogramme, on a :
${\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{BD}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CD}}^2+{\mathrm{AD}}^2,$ soit
$\begin{array}{rl}{\mathrm{BD}}^2& ={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CD}}^2+{\mathrm{AD}}^2-{\mathrm{AC}}^2\\ & =5^2+2^2+5^2+2^2-6^2=22.\end{array}$

Donc $\mathrm{BD}=\sqrt{22}.$